analitica 1

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**Explicação:** Esta é a fórmula geral para a soma dos quadrados dos primeiros \( n \) 
números naturais. 
 
30. **Problema:** Determine a integral indefinida de \( \int x e^x \, dx \). 
 **Resposta:** \( x e^x - e^x + C \) 
 **Explicação:** Usando a integração por partes, com \( u = x \) e \( dv = e^x dx \), obtemos 
\( \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C \). 
 
31. **Problema:** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
 **Resposta:** \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot 
\frac{du}{dx} \). Aqui, \( u = x^2 + 1 \) e \( \frac{du}{dx} = 2x \), então a derivada é \( 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
32. **Problema:** Qual é a diagonal de um retângulo com lados 6 e 8? 
 **Resposta:** 10 unidades 
 **Explicação:** A diagonal de um retângulo é dada por \( \sqrt{l_1^2 + l_2^2} \). Para lados 
6 e 8, a diagonal é \( \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \). 
 
33. **Problema:** Encontre a soma dos ângulos internos de um polígono com 12 lados. 
 **Resposta:** 1800 graus 
 **Explicação:** Usando a fórmula \( 180^\circ \times (n - 2) \), onde \( n = 12 \), temos \( 
180^\circ \times (12 - 2) = 1800^\circ \). 
 
34. **Problema:** Qual é a fórmula para a soma dos primeiros \( n \) termos de uma 
progressão aritmética? 
 **Resposta:** \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l) \) 
 **Explicação:** Onde \( a \) é o primeiro termo, \( l \) é o último termo, e \( n \) é o número 
de termos. 
 
35. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 - 4x + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (x - 2)^2 = 0 \), então a solução é \( x = 
2 \). 
Claro! Vou gerar uma lista com 90 problemas de Cálculo 2, cada um com a resposta e 
explicação. Vou começar com os primeiros e seguir até completar os 90. Aqui está: 
 
1. **Integral**: \(\int x^3 e^x \, dx\) 
 **Resposta**: \( (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C \) 
 **Explicação**: Use integração por partes, com \( u = x^3 \) e \( dv = e^x dx \). Após algumas 
iterações, o padrão emergente leva à resposta final. 
 
2. **Integral**: \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \( x = \sec(\theta) \), então \( dx = \sec(\theta) 
\tan(\theta) d\theta \). A integral se simplifica usando identidades trigonométricas. 
 
3. **Integral**: \(\int x e^{-x^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\frac{1}{2} e^{-x^2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \( u = -x^2 \), então \( du = -2x \, dx \). A integral 
simplifica para uma forma conhecida. 
 
4. **Integral**: \(\int \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\sqrt{4 - x^2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \( x = 2 \sin(\theta) \), então \( dx = 2 \cos(\theta) d\theta 
\). A integral se reduz a uma forma trigonométrica simples. 
 
5. **Integral**: \(\int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x} dx \). A integral 
simplifica para uma função de \( u \). 
 
6. **Integral**: \(\int x^2 \sin(x) \, dx\) 
 **Resposta**: \(-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) + C\) 
 **Explicação**: Use integração por partes duas vezes, escolhendo \( u = x^2 \) e \( dv = 
\sin(x) dx \). 
 
7. **Integral**: \(\int e^{x^2} \, dx\)