01 teoria de conjuntos- frente 02-aula 01-resolução comentada docx

Prévia do material em texto

<p>Professor:Lizias Ribeiro</p><p>TEORIA DE CONJUNTOS</p><p>Lembre-se: Matemática é com o morangão!</p><p>Exercícios de sala</p><p>1. (G1 - col. naval 2011) Sejam A, B e C conjuntos tais que: A =</p><p>{1, {1, 2},{3}}, B = {1, {2},3} e C = {{1},2,3}. Sendo X a união dos</p><p>conjuntos (A - C) e (A - B), qual será o total de elementos de X?</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>e) 5</p><p>2. (Mackenzie 2014) Se e</p><p>então a única sentença falsa é</p><p>a) O conjunto das partes da intersecção dos conjuntos A e B é</p><p>b) O conjunto complementar de B em relação a A é</p><p>c) O conjunto das partes do complementar de B em relação a A</p><p>é</p><p>d) O conjunto A intersecção com o conjunto B é</p><p>e) O número de elementos do conjunto das partes da união dos</p><p>conjuntos A e B é</p><p>3. (Upe 2011) Dados A e B conjuntos, a operação de diferença</p><p>simétrica ( ) é definida por A B A B A B =  −  . Se</p><p>     A 1, 1 , ,a e B 1,2, ,a,b=  =  então o conjunto</p><p>A B é igual a</p><p>a)     1, 1 , , ,2,a,b </p><p>b)  1,a</p><p>c)     1 , ,2,b</p><p>d)     1 , , ,2,b </p><p>e) </p><p>4. (G1 - ifsul 2017) Três irmãos trabalham na mesma indústria,</p><p>porém em turnos diferentes: um trabalha no intervalo das 8 h</p><p>às 16 h; outro das 4 h às 12 h e o terceiro das 10 h às 18 h.</p><p>Em qual intervalo de tempo esses irmãos trabalham juntos</p><p>nessa indústria?</p><p>a) Das 4 h às 18 h.</p><p>b) Das 8 h às 16 h.</p><p>c) Das 10 h às 16 h.</p><p>d) Das 10 h às 12 h.</p><p>5. (Udesc 2012) Considere em um conjunto universo, com 7</p><p>elementos, os subconjuntos A, B e C, com 3, 5 e 7 elementos,</p><p>respectivamente. É correto afirmar que:</p><p>a) (A B) C  tem no máximo 2 elementos.</p><p>b) (A B) C  tem no mínimo 1 elemento.</p><p>c) B C tem 3 elementos.</p><p>d) A C tem no mínimo 2 elementos.</p><p>e) A B pode ser vazio.</p><p>6. (G1 1996) Dados os subconjuntos de IR calcule: (faça o</p><p>gráfico)</p><p>A = {x ∈ IR / -2 ≤ x < 3};</p><p>B = {x ∈ IR / 1 ≤ x < 4};</p><p>C = {x ∈ IR / x < 0}</p><p>a) A ⋃ B</p><p>b) A ⋂ B</p><p>c) (A ⋂ C) ⋂ B</p><p>7. (Pucmg 1997) Considere os seguintes subconjuntos de</p><p>números naturais:</p><p>N = { 0,1,2,3,4,...}</p><p>P = { x ∈ │N / 6 ≤ x ≤ 20 }</p><p>A = { x ∈ P / x é par }</p><p>B = { x ∈ P / x é divisor de 48 }</p><p>C = { x ∈ P / x é múltiplo de 5 }</p><p>O número de elementos do conjunto (A - B) ⋂ C é:</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) 4</p><p>d) 5</p><p>e) 6</p><p>8. (Ueg 2019) Em uma pesquisa sobre a preferência para o</p><p>consumo de dois produtos, foram entrevistadas 970 pessoas.</p><p>Dessas, 525 afirmaram consumir o produto A, 250 o</p><p>produto B e 319 não consomem nenhum desses produtos. O</p><p>número de pessoas que consomem os dois produtos é</p><p>a) 124</p><p>b) 250</p><p>c) 525</p><p>d) 527</p><p>e) 775</p><p>9. (G1 - cotil 2019) Perguntou-se a 400 famílias de um bairro da</p><p>cidade qual era o tipo de transporte utilizado em seu dia a dia.</p><p>Segundo as respostas, 275 famílias fazem uso de transporte</p><p>público; 100 famílias utilizam o transporte público e o</p><p>transporte particular; e 105 usam exclusivamente o transporte</p><p>particular. Quantas famílias não usam nenhum tipo de</p><p>transporte?</p><p>a) 20</p><p>b) 80</p><p>c) 120</p><p>d) 125</p><p>10. (G1 - ifce 2019) No primeiro bimestre de 2019, uma escola</p><p>verificou que 24 alunos ficaram com notas abaixo do esperado</p><p>em Matemática, 18 em Português e 15 em Ciências. Desses</p><p>A x | x é ímpar e 1 x 7=   </p><p> 2B x | x 6x 5 0 ,=  − + =</p><p>( )       P A B 1 , 5 , 1, 5 . =</p><p> B</p><p>A 3, 7 .=ð</p><p>( )       B</p><p>AP , 3 , 7 , 3, 7 .= ð</p><p> A B 1, 5 . =</p><p>( )n P A B 16.  = </p><p>Lembre-se: Matemática é com o morangão!</p><p>alunos, 15 ficaram com rendimento insatisfatório em</p><p>Matemática e Português, 9 em Matemática e Ciências, e 9 em</p><p>Ciências e Português. Apenas 6 ficaram com nota baixa nas três</p><p>matérias citadas.</p><p>É correto afirmar-se que a quantidade de alunos que ficaram</p><p>com nota baixa em Matemática, mas não em Português ou</p><p>Ciências, é</p><p>a) 21.</p><p>b) 18.</p><p>c) 15.</p><p>d) 9.</p><p>e) 6.</p><p>11. (Uepg-pss 1 2019) As marcas de celulares mais vendidas em</p><p>um quiosque, em um certo mês, foram S, N e A. Os</p><p>vendedores constataram que a venda se deu de acordo com a</p><p>tabela abaixo.</p><p>Marcas vendidas</p><p>Número de</p><p>compradores</p><p>S 35</p><p>N 40</p><p>A 40</p><p>S e N 15</p><p>S e A 12</p><p>N e A 10</p><p>S, N e A 5</p><p>Outras marcas 35</p><p>A partir do que foi exposto, assinale o que for correto.</p><p>01) 115 compradores levaram apenas uma das marcas de</p><p>celular.</p><p>02) 83 compradores não levaram a marca S.</p><p>04) 23 compradores não levaram a marca S e nem a N.</p><p>08) 22 compradores levaram apenas duas das marcas de</p><p>celular.</p><p>12. (Fgvrj 2016) Em uma pesquisa para estudar a incidência de</p><p>três fatores de risco (A, B e C) para doenças cardíacas em</p><p>homens, verificou-se que, do total da população investigada,</p><p>15% da população apresentava apenas o fator A;</p><p>15% da população apresentava apenas o fator B;</p><p>15% da população apresentava apenas o fator C;</p><p>10% da população apresentava apenas os fatores A e B;</p><p>10% da população apresentava apenas os fatores A e C;</p><p>10% da população apresentava apenas os fatores B e C;</p><p>em 5% da população os três fatores de risco ocorriam</p><p>simultaneamente.</p><p>Da população investigada, entre aqueles que não apresentavam</p><p>o fator de risco A, a porcentagem dos que não apresentavam</p><p>nenhum dos três fatores de risco é, aproximadamente,</p><p>a) 20%.</p><p>b) 50%.</p><p>c) 25%.</p><p>d) 66%.</p><p>e) 33%.</p><p>Gabarito:</p><p>Resposta da questão 1:</p><p>[C]</p><p>= −  −</p><p>− = − =</p><p>− = − =</p><p>= −  − =  =</p><p>X (A C) (A B).</p><p>A C {1, {1, 2}, {3}} {{1}, 2, 3} A.</p><p>A B {1, {1, 2}, {3}} {1, {2}, 3} {{1, 2}, {3}}.</p><p>X (A C) (A B) A {{1, 2}, {3}} A.</p><p>Portanto, o número de elementos de X é = =n(X) n(A) 3.</p><p>Resposta da questão 2:</p><p>[A]</p><p>Tem-se que e Daí, e,</p><p>portanto,</p><p>Como segue-se que</p><p>Sendo tem-se que</p><p>Portanto, a única alternativa falsa é a letra [A].</p><p>Resposta da questão 3:</p><p>[D]</p><p>A B =    },2},{,},1{,1}},{,2,,},1{,1 baba  =− .</p><p>Resposta da questão 4:</p><p>[D]</p><p>Para obter em qual intervalo de tempo os três irmãos trabalham</p><p>juntos, deve-se fazer a intersecção entre os três intervalos 3(I )</p><p>de tempo:</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>I [8,16] [4,12] [10,18]</p><p>I [8,12] [10,18]</p><p>I [10,12]</p><p>=  </p><p>= </p><p>=</p><p>Intervalo: Das 10 h às 12 h.</p><p>Observe a intersecção através da reta real:</p><p>Resposta da questão 5:</p><p>[B]</p><p>Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, vem</p><p>A {1, 3, 5, 7}= B {1, 5}.= A B {1, 5} =</p><p>P(A B) { , {1}, {5}, {1, 5}}. = </p><p>B</p><p>A A B {3, 7},= − =ð</p><p>B</p><p>AP( ) { , {3}, {7}, {3, 7}}.= ð</p><p>A B A, =</p><p>4n[P(A B)] 2 16. = =</p><p>Lembre-se: Matemática é com o morangão!</p><p>n(A B) n(A) n(B) n(A B) n(A B) n(A) n(B) n(A B). = + −    = + − </p><p>Assim, para que n(A B) assuma o seu valor mínimo,</p><p>devemos ter n(A B) 7. = Logo,</p><p>n(A B) 3 5 7 1. = + − =</p><p>Além disso,</p><p>n(A B C) n(A B) n(C) n((A B) C),  =  + −  </p><p>e como queremos o valor mínimo de n(A B C),  devemos</p><p>supor que n((A B) C) 7.  = Portanto,</p><p>n(A B C) 1 7 7 1,  = + − =</p><p>ou seja,  (A B) C tem no mínimo 1 elemento.</p><p>Resposta da questão 6:</p><p>Observe a figura a seguir:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>Resposta da questão 7:</p><p>[A]</p><p>Resposta da questão 8:</p><p>[A]</p><p>Considerando que x seja o número de pessoas que consomem</p><p>os dois produtos, temos:</p><p>525 x x 250 x 319 970</p><p>x 970 1094</p><p>x 124</p><p>x 124</p><p>− + + − + =</p><p>− = −</p><p>− = −</p><p>=</p><p>Portanto, 124 pessoas consomem os dois produtos.</p><p>Resposta da questão 9:</p><p>[A]</p><p>De acordo com as informações do problema, podemos elaborar</p><p>os seguintes diagramas.</p><p>Considerando que x é o número de famílias que não utilizam</p><p>nenhum tipo de transporte, temos a seguinte equação:</p><p>175 100 105 x 400</p><p>380 x 400</p><p>x 20</p><p>+ + + =</p><p>+ =</p><p>=</p><p>Resposta da questão 10:</p><p>[E]</p><p>Considerando que:</p><p>M: conjunto dos alunos que ficaram com notas baixas em</p><p>Matemática.</p><p>P : conjunto dos alunos que ficaram</p><p>com notas baixas em</p><p>Português.</p><p>C : conjunto dos alunos que ficaram com notas baixas em</p><p>Ciências e as informações do problema, temos os seguintes</p><p>diagramas.</p><p>Portanto, o número de alunos que ficaram com nota baixa</p><p>apenas em Matemática, é 6.</p><p>Resposta da questão 11:</p><p>02 + 08 = 10.</p><p>Considere a figura.</p><p>Lembre-se: Matemática é com o morangão!</p><p>O número total de compradores é dado por</p><p>35 20 5 23 35 118.+ + + + =</p><p>[01] Falsa. Na verdade, o número de compradores que levaram</p><p>apenas uma das três marcas mencionadas é igual a</p><p>13 20 23 56.+ + =</p><p>[02] Verdadeira. Com efeito, pois 118 35 83.− =</p><p>[04] Falsa. Exatamente 23 35 58+ = compradores não levaram</p><p>a marca S e nem a N.</p><p>[08] Verdadeira. De fato, pois 7 10 5 22.+ + =</p><p>Resposta da questão 12:</p><p>[E]</p><p>De acordo com as informações do problema, podemos elaborar</p><p>o seguinte diagrama.</p><p>Considerando que x é a porcentagem de pessoas que não</p><p>apresentam nenhum dos três fatores de risco, temos:</p><p>15% 15% 15% 10% 10% 10% 5% x 100% x 20%+ + + + + + + =  =</p><p>Calculando, agora, que porcentagem x representa das pessoas</p><p>que não possuem o fator de risco A.</p><p>20% 20% 1</p><p>0,3333... 33%</p><p>15% 15% 10% 20% 60% 3</p><p>= = =</p><p>+ + +</p>