Lista_3_-_CDI-1 (1)

Prévia do material em texto

<p>UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO - UFRPE</p><p>UNIDADE ACADÊMICA DE BELO JARDIM - UABJ</p><p>Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1</p><p>Turmas: EQ1 e EH1</p><p>Data: 27 de abril de 2024.</p><p>1. Calcule os seguintes limites infinitos.</p><p>a. lim</p><p>x→∞</p><p>x2 + 2x+ 4</p><p>2x3 − 4x+ 5</p><p>b. lim</p><p>x→∞</p><p>ex − e2x</p><p>c. lim</p><p>x→∞</p><p>√</p><p>2x−</p><p>√</p><p>x+ 2</p><p>d. lim</p><p>x→∞</p><p>x2 − x</p><p>Dica: (a) maior grau, (b) fatoração, (c) fatorar</p><p>√</p><p>x, (d) fatorar x.</p><p>2. Calcule os limites trigonométricos abaixo.</p><p>a. lim</p><p>x→0</p><p>sin(2x)</p><p>x</p><p>b. lim</p><p>x→0</p><p>sin(3x)</p><p>sin(2x)</p><p>c. lim</p><p>x→0</p><p>tan(2x)</p><p>cos(2x)</p><p>d. lim</p><p>x→1</p><p>sin(x− 1)</p><p>x− 1</p><p>e. lim</p><p>x→0</p><p>2x</p><p>sin(4x)</p><p>f. lim</p><p>x→0</p><p>�sin(2x)</p><p>x</p><p>+</p><p>x</p><p>sin(2x)</p><p>�</p><p>Dica: Lembre-se que lim</p><p>x→0</p><p>sinx</p><p>x</p><p>= 1.</p><p>3. Encontre o valor de cada um dos limites exponenciais apresentados abaixo.</p><p>a. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>1</p><p>x</p><p>�5x</p><p>b. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>1</p><p>5x</p><p>�x</p><p>c. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2x</p><p>�5x</p><p>d. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>4</p><p>2x</p><p>�3x</p><p>e. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>4</p><p>x</p><p>�x</p><p>2</p><p>f. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>x+ 1</p><p>x+ 2</p><p>�3x</p><p>Dica: Lembre-se que lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>1</p><p>x</p><p>�x</p><p>= e.</p><p>4. Use o Teorema do Confronto para calcular os seguintes limites.</p><p>a. lim</p><p>x→0</p><p>x sin</p><p>�</p><p>1</p><p>x</p><p>�</p><p>b. lim</p><p>x→0</p><p>x sinx</p><p>|x|</p><p>c. lim</p><p>x→0</p><p>|x| cos</p><p>�</p><p>π</p><p>2 + x</p><p>�</p><p>x</p><p>d. lim</p><p>x→∞</p><p>sinx</p><p>x2 + 4</p><p>e. lim</p><p>x→∞</p><p>e−x cosx</p><p>5. Exercícios de provas anteriores</p><p>a. Determine o valor de cada um dos limites a continuação</p><p>i. lim</p><p>x→∞</p><p>3x2 + 2x+ 4</p><p>5x2 − 4x+ 5</p><p>.</p><p>ii. lim</p><p>x→∞</p><p>3x2 + 5x− 8</p><p>7x3 − 6x+ 3</p><p>.</p><p>iii. lim</p><p>x→∞</p><p>3x2 + 5x− 8</p><p>7x2 − 6x+ 3</p><p>.</p><p>iv. lim</p><p>x→∞</p><p>x2 + 2x+ 4</p><p>2x2 − 4x+ 5</p><p>v. lim</p><p>x→∞</p><p>√</p><p>4x2 + 4</p><p>x</p><p>.</p><p>vi. lim</p><p>x→−∞</p><p>√</p><p>4x2 + 4</p><p>x</p><p>.</p><p>vii. lim</p><p>x→∞</p><p>√</p><p>2x2 + 1</p><p>3x− 5</p><p>.</p><p>viii. lim</p><p>x→∞</p><p>�√</p><p>x+ 2−</p><p>√</p><p>x− 2</p><p>�</p><p>.</p><p>b. Calcule os seguintes limites:</p><p>i. lim</p><p>x→0</p><p>sin(2x)</p><p>x</p><p>+</p><p>2x</p><p>sin(4x)</p><p>.</p><p>ii. lim</p><p>x→0</p><p>sin(3x)</p><p>2x</p><p>+</p><p>2x</p><p>sin(3x)</p><p>.</p><p>iii. lim</p><p>x→0</p><p>sin (4x)</p><p>3x</p><p>.</p><p>iv. lim</p><p>x→0</p><p>sin</p><p>�</p><p>3x</p><p>5</p><p>�</p><p>2x</p><p>.</p><p>v. lim</p><p>x→0</p><p>sin(3x)</p><p>sin(4x)</p><p>.</p><p>vi. lim</p><p>x→0</p><p>tanx</p><p>x</p><p>.</p><p>c. Calcule os seguintes limites:</p><p>i. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>5</p><p>3x</p><p>�x</p><p>2</p><p>ii. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>3</p><p>5x</p><p>�2x</p><p>iii. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>1 +</p><p>2</p><p>x</p><p>�3x</p><p>iv. lim</p><p>x→∞</p><p>�</p><p>2x+ 3</p><p>2x+ 5</p><p>�4x</p><p>d. Use o teorema do confronte em cada um dos itens abaixo</p><p>i. lim</p><p>x→0</p><p>xesin</p><p>�</p><p>1</p><p>x</p><p>�</p><p>. ii. lim</p><p>x→0+</p><p>e−</p><p>1</p><p>x sin</p><p>�</p><p>1</p><p>x</p><p>�</p><p>.</p><p>e. Considere a função</p><p>f(x) =</p><p></p><p></p><p></p><p>0, x < 0,</p><p>x2 + 4x, 0 ≤ x < 1,</p><p>3 cosx, x ≥ 1.</p><p>Responda: f é contínua em x = 0? E em x = 1?</p><p>f. Considere a função</p><p>f(x) =</p><p>(</p><p>x4 sin</p><p>�</p><p>1</p><p>x</p><p>�</p><p>, x ̸= 0,</p><p>0, x = 0.</p><p>Responda: f é contínua em x = 0?</p><p>Respostas. Questão 1: (a) 0, (b) −∞, (c) ∞, (d) ∞. Questão 2: (a) 2, (b) 3</p><p>2 , (c) 0, (d) 1, (e)</p><p>1</p><p>2 , (f) 5</p><p>2 . Questão 3: (a) e5, (b) e</p><p>1</p><p>5 , (c) e</p><p>5</p><p>2 , (d) e6, (e) e2, (f) e−3. Questão 4: (a) 0, (b) 0, (c)</p><p>0, (d) 0, (e) 0.</p><p>Questão 5:</p><p>A (i) 3</p><p>5 , (ii) 0, (iii) 3</p><p>7 , (iv) 1</p><p>2 , (v) 2, (vi) −2, (vii)</p><p>√</p><p>2</p><p>3 (viii) 0.</p><p>B (i) 5</p><p>2 , (ii) 13</p><p>6 , (iii) 4</p><p>3 , (iv) 3</p><p>10 , (v) 3</p><p>4 , (vi) 1.</p><p>C (i) e</p><p>5</p><p>6 , (ii) e</p><p>6</p><p>5 , (iii) e6, (vi) e−4.</p><p>D (i) 0, (ii) 0.</p><p>E f é contínua em x = 0, porém não é contínua em x = 1.</p><p>F f é contínua em x = 0.</p>