ÁLGEBRA LINEAR ALGORÍTMICALISTA 9

Prévia do material em texto

<p>INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO - UFRJ - 2023.1</p><p>ÁLGEBRA LINEAR ALGORÍTMICA–LISTA 9</p><p>1. Escreva a matriz correspondente a cada uma das transformações lineares de-</p><p>scritas abaixo:</p><p>(a) a projeção do R5 no hiperplano definido por x − y − z + 2w + 5t = 0;</p><p>(b) a reflexão do R3 cujo espelho é o plano de equação x − 3y − 2z = 0;</p><p>2. Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo de cada uma das</p><p>transformações lineares dadas abaixo:</p><p>(a) T ∶ R4 → R3 definida por T (x, y, z,w) = (x − y + z −w,x + y,3z − 3w);</p><p>(b) T ∶ R3 → R4 definida por T (x, y, z) = (x + y − z, x − y − 3z, x − 2z, y + z);</p><p>3. Seja B = {(1,0,1), (0,1,1), (−1,1,−1)} uma base de R3. Determine:</p><p>(a) as matrizes de mudança de base ( id)Bε e ( id)εB;</p><p>(b) a equação cartesiana, em relação às coordenadas na base B, do plano</p><p>gerado pelos vetores (1,0,1) e (0,1,1).</p><p>4. Seja β = {v1, . . . , vn} uma base do Rn e considere o conjunto</p><p>β′ = {v1 − v2, v1 − v3, . . . , v1 − vn, v1 + v2 +⋯ + vn}.</p><p>(a) Mostre que β′ também é uma base de Rn.</p><p>(b) Calcule a matriz de mudança de base de β para β′.</p><p>5. Use mudança de base para determinar a matriz na base canônica de um</p><p>operador linear injetivo T do R4 que leva o hiperplano x1 − x2 − x4 = 0 no</p><p>hiperplano x1 − 2x2 − 3x3 = 0.</p><p>6. Use mudança de base para determinar a matriz na base canônica de um</p><p>operador linear T do R3 cujo núcleo seja gerado por (1,−1,1) e cuja imagem</p><p>seja gerada por (1,0,1) e (1,2,2).</p><p>7. Para cada um dos itens abaixo, determine um operador linear injetivo de R3</p><p>que faz o que se pede:</p><p>(a) leva a reta y − 3x = z = 0 na reta y − x = z = 0;</p><p>(b) leva o plano x + y − z = 0 no plano z = 0;</p><p>(c) leva o plano x + y + z = 0 na reta x − y = z = 0;</p><p>(d) leva a reta y − 3x = z = 0 no plano y − x = 0.</p><p>1</p>