Av2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
MA71A – Cálculo Diferencial e Integral I
Profa Priscila Savulski Ferreira
Avaliação presencial 2 — 27/10/2016
Nome:.......................................................................................................................................
Instruções
Avaliação individual e sem consulta. Não serão aceitas soluções sem as devidas e corretas justificativas.
Durante a prova é vedado: sair da sala, usar aparelhos eletrônicos e calculadora.
Formulário: f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h) − f(x)
h
.
1. (3) Escolha 3 funções de cada coluna para encontrar y ′ ou f ′(x) ou
dy
dx
:
(a) f(x) = (x10 − 4x3)(2x+ 3).
(b) y =
45cos(x) +
√
x
2x4
.
(c) f(x) = x2 ln(x) + 2x.
(d) y =
x3 + 2x− 2
x2 + 1
.
(e) f(x) = ex(tan(x) + 1).
(f) f(x) =
7ex
x2 + sen(x)
.
(g) y = (sen(x) + 5)4.
(h) y = ln(x2 + 10)3.
(i) y = sen(cos(x2)).
(j) y =
√
e5x
2 + 1.
(k) y =
(
x2 + ex
sen(x)
)3
.
(l) f(x) = 2x + tan(x+ 1).
2. (2,5) Seja f(x) = x3 − 3x2 + 4. Encontre:
(a) os pontos crı́ticos de f,
(b) os intervalos de crescimento e decrescimento de f,
(c) os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo,
(d) os pontos de inflexão e pontos maximizadores e minimizadores locais.
(e) Esboce o gráfico da curva.
3. (2,5) O folium foi proposto pela primeira vez por Descartes em 1638. A curva tornou-se famosa
quando Descartes desafiou Fermat a encontrar a reta tangente à referida curva em um ponto arbitrário,
uma vez que Fermat acabara de descobrir um método para encontrar retas tangentes. Fermat resolveu
o problema facilmente, algo que Descartes foi incapaz de fazer. Nós sabemos que a inclinação de uma
reta tangente pode ser facilmente encontrada através da diferenciação implı́cita. Mostre para Descartes
que você também é capaz de encontrar a reta tangente no ponto (1, 1) considerando o seguinte folium:
x3 + y3 = 2xy.
4. (2) Use a regra de l’Hôspital para calcular: lim
x→0+
ln(x)
2x
e lim
x→0
ex − 1
sen(x)
.