Aulas da minha escolal 48E

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22. **Problema 22:** Se \( z = e^{i\frac{pi}{2}} \), qual é a parte imaginária de \( z \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( i \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a fórmula de Euler: \( e^{i\frac{pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + 
i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i(1) = i \). 
 
23. **Problema 23:** Se \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 1 - i \), qual é a soma \( z_1 + z_2 \)? 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 2i \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 1 + 1i \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** A soma é obtida: \( (1 + i) + (1 - i) = 2 \). 
 
24. **Problema 24:** Se \( z = 1 + 1i \), qual é \( z^4 \)? 
 a) \( -4 \) 
 b) \( 4 + 4i \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -4 + 0i \) 
 **Resposta:** d) \( -4 \) 
 **Explicação:** \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \) e \( (2i)^2 = -4 \). 
 
25. **Problema 25:** Se \( z = 1 - i \), qual é a representação polar de \( z \) em termos de \( 
re^{i\theta} \)? 
 a) \( \sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}} \) 
 b) \( \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 c) \( 2e^{i\frac{7\pi}{4}} \) 
 d) \( \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 **Resposta:** a) \( \sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}} \) 
 **Explicação:** O módulo é \( \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \) e o argumento em relação ao eixo 
real como \( e^{i\frac{7\pi}{4}} \). 
 
26. **Problema 26:** Qual é o valor de \( |z + \overline{z}| \) para \( z = 4 + 3i \)? 
 a) 7 
 b) 8 
 c) 3i 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 8 
 **Explicação:** Temos \( z + \overline{z} = (4 + 3i) + (4 - 3i) = 8 \). 
 
27. **Problema 27:** Se \( z = a + bi \) e \( |z|^2 = a^2 + b^2 = 9 \), qual é o módulo de \( z^2 
\)? 
 a) 9 
 b) 3 
 c) 0 
 d) 12 
 **Resposta:** a) 9 
 **Explicação:** Sabemos que \( |z^2| = |z|^2 = 9 \). 
 
28. **Problema 28:** Se \( z_1 = 3 \) e \( z_2 = 4i \), qual é \( z_1 z_2 \)? 
 a) \( 12 \) 
 b) \( 12i \) 
 c) \( -12 \) 
 d) \( 12 + 0i \) 
 **Resposta:** b) \( 12i \) 
 **Explicação:** \( z_1 z_2 = 3 \cdot 4i = 12i \). 
 
29. **Problema 29:** Se \( z = 2e^{i\pi/3} \), qual é \( z^3 \)? 
 a) \( 8 \) 
 b) \( 8e^{i\pi} \) 
 c) \( -8 \) 
 d) \( 8 + 0i \) 
 **Resposta:** b) \( 8e^{i\pi} \) 
 **Explicação:** Utilizando a propriedade da exponenciação: \( z^3 = (2e^{i\pi/3})^3 = 
8e^{i\pi} \). 
 
30. **Problema 30:** Se \( z = 1 + \sqrt{3}i \), qual é o argumento de \( z \)? 
 a) \( \frac{\pi}{3} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{6} \) 
 d) \( \frac{5\pi}{6} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{3} \) 
 **Explicação:** O \( \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \). 
 
31. **Problema 31:** Se \( |z| = 5 \) e o argumento de \( z \) é \( \frac{\pi}{2} \), qual é a 
forma retangular de \( z \)? 
 a) \( 5+0i \) 
 b) \( 0+5i \) 
 c) \( -5 - 5i \) 
 d) \( -5 + 0i \) 
 **Resposta:** b) \( 0 + 5i \) 
 **Explicação:** A forma retangular é dada por \( |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = 5(0 + 1) 
= 0 + 5i \). 
 
32. **Problema 32:** Se \( z = -1 + 0i \), qual é \( z^4 \)? 
 a) 1 
 b) -1 
 c) 0 
 d) -4 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** \( z^4 = (-1)^4 = 1 \)