provas e horas com questao F52

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C) 2 
 D) 3 
 Resposta: B) 1 
 Explicação: Para encontrar \( f'(x) \), calculamos a derivada: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). 
Substituindo \( x = 2 \), temos \( f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) = 12 - 12 = 0 \). 
 
2. Determine os pontos críticos da função \( g(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 2 \). 
 A) \( x = 1, 2 \) 
 B) \( x = 0, 3 \) 
 C) \( x = 1, 3 \) 
 D) \( x = 2, 4 \) 
 Resposta: A) \( x = 1, 2 \) 
 Explicação: Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular \( g'(x) = 4x^3 - 12x^2 
+ 12x \) e igualá-lo a zero. Resolvendo \( 4x^3 - 12x^2 + 12x = 0 \) resultará em \( x(x^2 - 3x + 
3) = 0 \). Assim, \( x = 0 \) ou as raízes da equação quadrática. 
 
3. Qual o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)? 
 A) 1 
 B) 2 
 C) 0 
 D) Infinito 
 Resposta: B) 2 
 Explicação: O limite pode ser simplificado. A expressão \( \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) pode ser 
fatorada como \( \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \) para \( x \neq 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} 
(x + 1) = 1 + 1 = 2 \). 
 
4. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). 
 A) Diverge 
 B) Converge 
 C) Não é possível determinar 
 D) Converge somente para \( n \) par 
 Resposta: B) Converge 
 Explicação: A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) converge se \( p > 1 \). Aqui, \( p 
= 2 > 1 \), então a série converge. 
 
5. Qual é a integral indefinida de \( \int (3x^2 - 2x + 1)dx \)? 
 A) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 B) \( x^3 - x^2 + C \) 
 C) \( x^3 - 2x + C \) 
 D) \( 3x^3 - x^2 + C \) 
 Resposta: A) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 Explicação: A integral é calculada aplicando a regra da potência. Assim, \( \int 3x^2 dx = 
x^3 \), \( \int -2x dx = -x^2 \), e \( \int 1 dx = x \). Portanto, temos \( x^3 - x^2 + x + C \). 
 
6. Determine o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} dx \). 
 A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 B) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
 C) \( \frac{1}{2}e \) 
 D) \( e - 1 \) 
 Resposta: A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 Explicação: Usamos a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x dx \), então \( dx = \frac{du}{2x} 
\). A integral se torna \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du = \frac{1}{2}(e - 1) \). 
 
7. Qual é a derivada da função \( h(x) = \sin(x^2) \)? 
 A) \( 2x \cos(x^2) \) 
 B) \( \cos(x^2) \) 
 C) \( \sin(x^2) \) 
 D) \( 2x \sin(x^2) \) 
 Resposta: A) \( 2x \cos(x^2) \) 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sin(u) \) é \( \cos(u) \) e 
derivamos \( u = x^2 \), que resulta em \( 2x \). Portanto, \( h'(x) = 2x \cos(x^2) \). 
 
8. Qual é a segunda derivada da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \)? 
 A) \( 6x - 6 \) 
 B) \( 6 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( 3 \) 
 Resposta: A) \( 6x - 6 \) 
 Explicação: A primeira derivada é \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \). A segunda derivada é \( f''(x) = 
6x - 6 \). 
 
9. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)? 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Infinito 
 Resposta: C) 2 
 Explicação: Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \). 
Aqui, \( k = 2 \), então \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \). 
 
10. Qual é o valor de \( \int_1^2 x^2 dx \)? 
 A) \( \frac{7}{3} \) 
 B) \( \frac{5}{3} \) 
 C) \( \frac{8}{3} \) 
 D) \( 3 \) 
 Resposta: C) \( \frac{8}{3} \) 
 Explicação: A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = 
\frac{7}{3} \). 
 
11. Determine os zeros da função \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \). 
 A) \( x = 2, 3 \) 
 B) \( x = 1, 6 \) 
 C) \( x = -1, -6 \) 
 D) \( x = 3, 4 \) 
 Resposta: A) \( x = 2, 3 \)