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UFRGS – Instituto de Matema´tica Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA Teste 2 – 11/11/15 – Fila A – 08h30min 1 2 3 Total 0,75 0,75 1,5 3 Nome: Carta˜o: Se necessa´rio, use o verso como rascunho. Marque a resposta final a caneta. Questa˜o 1. 0,75 ponto Calcule a integral indefinida usando integrac¸a˜o por partes∫ ln (x− 2)dx. Soluc¸a˜o 1: Antes de aplicar a integrac¸a˜o por partes e´ poss´ıvel usar a substituic¸a˜o t = x− 2, assim ∫ ln (x− 2) dx = ∫ ln t dt A nova integral pode ser calculada por meio de integrac¸a˜o por partes da seguinte maneira: u = ln t =⇒ du = dt t d v = 1d t =⇒ v = t ignorando a constante Dessa forma a integral pode ser reescrita como∫ ln (x− 2)dx = ∫ ln td t = t ln t− ∫ t · d t t = t ln t− ∫ 1d t = t ln t− t+ C = (x− 2) ln (x− 2)− (x− 2) + C = (x− 2) ln (x− 2)− x+ C Soluc¸a˜o 2. Tambe´m e´ poss´ıvel integral por partes diretamente: u = ln (x− 2) =⇒ du = dx x− 2 d v = 1 d x =⇒ v = x Assim, ∫ ln (x− 2)dx = x ln(x− 2)− ∫ x · dx x− 2 = x ln (x− 2)− ∫ x x− 2 dx = x ln (x− 2)− ∫ (x− 2) + 2 x− 2 dx = x ln (x− 2)− ∫ 1 + 2 x− 2 dx = x ln (x− 2)− x+ 2 ln (x− 2) + C = (x− 2) ln (x− 2)− x+ C Soluc¸a˜o 3: Certamente o me´todo menos o´bvio e´ integrar por partes COM A CONS- TANTE na func¸a˜o v: u = ln (x− 2) =⇒ du = dx x− 2 d v = 1 dx =⇒ v = x− 2 Observe a constante C = −2 Assim, ∫ ln (x− 2) dx = (x− 2) ln (x− 2)− ∫ (x− 2) · dx x− 2 = (x− 2) ln (x− 2)− ∫ 1 dx = (x− 2) ln (x− 2)− x+ C Questa˜o 2. 0,75 ponto A a´rea total entre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 12 − 3x2 e o intervalo [0, 3] e´ ( X ) 23 u.a. ( ) 27 u.a. ( ) 9 u.a. ( ) 5 u.a. ( ) 3 u.a. Soluc¸a˜o : Observe na figura que a func¸a˜o muda de sinal no ponto x = 2. Figura 1: Gra´fico de y = 12− 3x2 Assim, a a´rea total A e´ dada por A = ∫ 3 0 |12− 3x2|dx = ∫ 2 0 12− 3x2 dx− ∫ 3 2 12− 3x2 dx = [ 12x− x3 ]2 0 − [ 12x− x3 ]3 2 = [( 12 · 2− 23 ) − ( 12 · 0− 03 )] − [( 12 · 3− 33 ) − ( 12 · 2− 23 )] = [(24− 8)− (0)]− [(36− 27)− (24− 8)] = (16− 0)− (9− 16) = 16− (−7) = 16 + 7 = 23 Ou seja, a a´rea total entre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 12− 3x2 e o intervalo [0, 3] e´ 23 unidades de a´rea. Questa˜o 3. Calcule as seguintes integrais definidas: a) 0,5 ponto ∫ 1/2 −1/2 1 1 + 4x2 dx = ( ) √ 2 2 ( ) √ 3 3 ( ) pi 2 ( ) pi 3 ( X ) pi 4 Soluc¸a˜o : Primeiro reescrevemos a integral:∫ 1/2 −1/2 1 1 + 4x2 dx = ∫ 1/2 −1/2 1 1 + (2x)2 dx Fac¸a a substituic¸a˜o u = 2x =⇒ 1 2 du = dx, u(−1/2) = −1 e u(1/2) = 1 ∫ 1/2 −1/2 1 1 + 4x2 dx = 1 2 ∫ 1 −1 1 1 + u2 du = 1 2 arctan(u) ]1 −1 = 1 2 [ arctan(1)− arctan(−1) ] = 1 2 [ pi 4 − ( − pi 4 )] = 1 2 · [ pi 4 + pi 4 ] = 1 2 · 2pi 4 = pi 4 b) 0,5 ponto ∫ 1 0 √ 4− 3x dx = ( ) 63 2 ( X ) 14 9 ( ) 7 9 ( ) 2 9 ( ) 1 Soluc¸a˜o : Substituic¸a˜o : u = 4 − 3x =⇒ du = −3dx =⇒ −1 3 du = dx, com u(0) = 4 e u(1) = 1. ∫ 1 0 √ 4− 3x dx = −1 3 ∫ 1 4 √ u du = 1 3 ∫ 4 1 u1/2 du = 1 3 [ u3/2 3/2 ]4 1 = 2 9 u3/2 ∣∣∣∣4 1 = 2 9 [ (22)3/2 − 13/2 ] = 2 9 [8− 1] = 14 9 c) 0,5 ponto ∫ 3 −1 f(x) dx, onde f e´ a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ representado abaixo. ( ) 0 ( ) 6 ( X ) −4 ( ) −6 ( ) 4 Figura 2: Gra´fico de y = f(x) Soluc¸a˜o : A integral definida dada representa a a´rea l´ıquida com sinal sob o gra´fico de y = f(x) e o intervalo [−1, 3], ou ainda, A = Al´ıquida = Aamarelo − Averde = 1 · 2 2 − (3 + 2) · 2 2 = 1− 5 = −4
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