Equação Diferencial Transformadas

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de
f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 
8
s2+64
s+1
(s2+64)
s
(s2+64)
2s
(s2−64)
4
(s2+64)
s2
(s2+64)
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é:
s+1
(s2+64)
2 Marcar para revisão
A transformada de Laplace também é aplicada na teoria de controle, sendo utilizada para analisar e projetar
sistemas de controle lineares. Sabendo disso, calcule   , onde    .L[g(s)](s) g(t) = 5 cos(2t) +
sen(3t)
4
Quest
Corr
Inco
Em b
1
6
Lista de exercícios Transformadas (laplace e Fourier) Sair
A
B
C
D
E
A
B
C
L[g(s)](s) = + .s
s2+4
3
4(s2+9)
L[g(s)](s) = + .5s
s2+4
1
4(s2+9)
L[g(s)](s) = + .5s
s2+4
3
s2+9
L[g(s)](s) = + .5s
s2+4
3
4(s2+9)
L[g(s)](s) = + .
5s
4(s2+4)
3
4(s2+9)
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Estamos em busca de:
Sabemos que:
Logo:
Temos também:
Logo:
Substituindo os valores, temos:
L [5 cos(2t) + ] (s) = 5L[cos(2t)](s) + L[sen(3t)](s)
sen(3t)
4
1
4
L[cos(at)] = s
s2+a2
5L[cos(2t)](s) = 5 ⋅ =s
s2+4
5s
s2+4
L[sen(at)] =
a
s2+a2
L[sen(3t)](s) = ⋅ =1
4
1
4
3
s2+9
3
4(s2+9)
L[g(s)](s) = +5s
s2+4
3
4(s2+9)
3 Marcar para revisão
Obtenha a transformada de Laplace da função g(t)=
sen(2t)
t
arctg(s)
arctg + ( )2
2
π
2
π
4
D
E
A
B
C
D
E
- arctg 
π
2
( )s
2
In(2s)
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A transformada de Laplace da função g(t) = é dada pela alternativa é - arctg 
A transformada de Laplace é uma técnica matemática usada para resolver equações diferenciais lineares.
Neste caso, a função g(t) é uma função senoidal dividida por t, e sua transformada de Laplace resulta em
.
As outras alternativas não representam a transformada de Laplace correta para a função dada.
sen(2t)
t
π
2
( )s2
π
2
4 Marcar para revisão
A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais ordinárias com condições iniciais.
Sabendo que  é uma função seccionalmente contínua, definida sobre   e cuja derivada é
seccionalmente contínua e de ordem exponencial. E que   e   , calcule  
.
f [0, +∞)
f(0) = 1 L{f(t)}(s) = arctan(s)
L{e2tf ′(t)} (s)
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 1) ⋅ arctan(s − 1) − 1.
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 2) ⋅ arctan(s − 2) − 1.
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 3) ⋅ arctan(s − 3) − 1.
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 4) ⋅ arctan(s − 4) − 1.
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 5) ⋅ arctan(s − 5) − 1.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Sabemos que:
E que a transformada de uma função vezes um exponencial é:
L [f ′] (s) = s ⋅ L[f](s) − f(0)
L [f ′(t)] (s) = s ⋅ L[f(t)](s) − f(0)
L [f ′(t)] (s) = s ⋅ arctan(s) − 1
A
B
C
D
E
Agora temos substituindo s  por  s-2
L [ectf(t)] (s) = L[f(t)](s − c)
L [e2tf ′(t)] (s) = L [f ′(t)] (s − 2)
L [f ′(t)] (s)
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 2) ⋅ arctan(s − 2) − 1
5 Marcar para revisão
A transformada de Laplace é uma técnica matemática usada para resolver equações diferenciais lineares e
sistemas de equações diferenciais. Dessa forma, calcule a transformada de Laplace da função:
f(t) =
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
1, 0 ≤ tutilizadas em áreas como engenharia elétrica,
telecomunicações, processamento de sinais, controle de sistemas, acústica e física teórica. Sabendo
disso, determine   sabendo que   é definida para  .L{e5t} f(t) 0 ≤ t ≤ ∞
  para s > 2.1
2−s
  para s > 3.1
3−s
  para s > 5.1
5−s
  para s 6.1
6−s
A
B
C
D
E
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Usando a definição:
Como esta é uma integral imprópria, substituímos o limite superior por  , depois aplicamos o limite para 
 :
O limite pode assumir dois valores:
Para  
Para 
Logo, 
L{f(t)} = ∫
∞
0
f(t)e−stdt
L{e5t} = ∫
∞
0
e5te−stdt = ∫
∞
0
e5t−stdt
x
x → ∞
∫ ∞
0
e5t−stdt = limn→∞ (∫
x
0
e5t−stdt) = limn→∞
∣
∣
x
0
= limn→∞ ( − )e(5−s)t
5−s
e(5−s)x
5−s
1
5−s
s 5
limn→∞ ( − ) = 0 − =e(5−s)x
5−s
1
5−s
1
5−s
1
5−s
L{e5t} =  paras  > 51
5−s
10 Marcar para revisão
A transformada de Laplace possui uma propriedade importante chamada propriedade da derivada, que
permite calcular a transformada de Laplace de uma derivada de uma função em termos da transformada de
Laplace original da função. Calcule a inversa da transformada de Laplace de , utilizando a
fórmula  .
G(s) = 1
s(s2−1)
′
L{∫
t
0
f(τ)dτ} = F(s)/s
g(t) = e−t + et + 1.1
2
1
2
g(t) = − e−t + et − 1.1
2
1
2
g(t) = e−t + et − 1.1
2
1
2
g(t) = e−t − et − 1.1
2
1
2
g(t) = − e−t − et − 1.1
2
1
2
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Reescrevendo   , temos:
e
Calculando a inversa de   por meio de frações parciais:
Assim,
Sua transformada inversa é:
Usando a fórmula dada:
Onde  e   e  
Como  , a sua inversa  
Calculando  
Logo,
G(s) = 1
s(s2−1)
G(s) = =1
s(s2−1)
1
s
1
s2−1
F(s) = 1
s2−1
F(s)
F(s) = = = +
F(s) = = = {
A + B = 0
B − A = 1
→ {
A = −1/2
B = 1/2
1
s2 − 1
1
(s + 1)(s − 1)
A
(s + 1)
B
(s − 1)
A(s − 1) + B(s + 1)
(s + 1)(s − 1)
s(A + B) + 1(B − A)
(s + 1)(s − 1)
F(s) = +
−1/2
(s+1)
1/2
(s−1)
f(t) = − e−t + et1
2
1
2
L{∫
t
0
f(τ)dτ} = F(s)/s
(τ) = − e−τ + eτ1
2
1
2
−τ + eτ1
2
F(s) = +
−1/2
(s+1)
1/2
(s−1)
(s) = F(s)/s (t) = ∫
t
0
f(τ)dτ
g(t)
g(t) = ∫
t
0
(− e−τ + eτ) dτ = (− e−τ + eτ)∣∣
t
0
= e−t + et − 11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
g(t) = e−t + et − 11
2
1
2