Exercícios de Métodos Quantitativos

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Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 1 
 
 
Exercícios 
1. A modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de descrever um fenômeno pela 
representação de sistemas, a fim de prever o comportamento deles ou propor soluções não 
previstas. Com relação ao processo de modelagem matemática em Pesquisa Operacional, 
assinale a alternativa INCORRETA. 
Fonte: questão adaptada do Concurso da Fundação o de Desenvolvimento da Pesquisa – UFMG 
(FUNDEP) para Indústrias Nucleares do Brasil (INB) 2018 para o cargo de Engenheiro de 
Produção. 
Todas as variáveis de decisão devem ser inteiras para que um modelo matemático seja 
considerado inteiro. 
Basta que apenas uma variável de decisão seja inteira para termos um modelo inteiro. Todas as 
variáveis de decisão precisam estar livres para assumir valores fracionais para o modelo ser não 
inteiro. 
2. A qualidade da solução de um modelo matemático depende da qualidade dos dados de entrada 
no modelo. Para o desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de Pesquisa 
Operacional, o processo de coleta de dados ocorre no seguinte passo: 
Observação do sistema 
Após a formulação do problema, os dados necessários devem ser coletados, na fase de observação 
do sistema, para que sejam estimados os valores das variáveis e os parâmetros a serem adotados na 
modelagem do problema analisado. Tais estimativas são adotadas no desenvolvimento do modelo 
(passo 3) e em sua análise (passo 4). 
3. Entre os principais elementos de um modelo de programação linear, os fatores não controláveis 
do problema a ser analisado, ou seja, os dados de entrada que devem ser coletados previamente 
a etapa de modelagem do problema, são denominados: 
Parâmetros 
Os principais elementos de um modelo de programação linear são as variáveis de decisão, os 
parâmetros, a função objetivo e o conjunto de restrição. 
As variáveis de decisão são os fatores controláveis do problema a ser analisado, ou seja, são as 
incógnitas a serem definidas na solução do problema de otimização. Os parâmetros são os fatores 
não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, são os dados de entrada que devem ser 
coletados previamente à etapa de modelagem do problema. 
É importante ressaltar que os parâmetros influenciam diretamente os valores obtidos para a solução 
ótima do problema de otimização. 
4. Um sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Para fazer um par de 
sapatos novos, o sapateiro leva 2 horas, se fizer somente sapatos. Ele gasta 4 unidades de couro 
para fabricar um par de sapatos. Para consertar uma unidade de sapato, ele gasta uma unidade 
de couro. 
Sabe-se que o total disponível de couro é de 12 unidades e que o sapateiro trabalha 10 horas por 
dia. O lucro unitário por par de sapatos é de 8 unidades monetárias e o do conserto de uma 
unidade de sapato é de 2 unidades monetárias. O sapateiro deseja planejar seu sistema de 
produção diário de modo a maximizar seu lucro por hora. 
Pedido 1 – A função objetivo do problema é: 
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Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão, que, no caso, são: 
x1: unidade de sapato consertada. 
x2: unidade de sapato fabricada. 
O lucro por unidade de sapato fabricada é de 4,00 unidades monetárias (8,00 pelo par). O lucro por 
unidade de sapato consertado é de 2,00 unidades monetárias. Logo, a função objetivo é: Max Z = 2x1 
+ 4x2. 
5. Pedido 2 – A restrição em referente à disponibilidade de couro é: 
x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada. 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão. Nesse caso, as variáveis 
de decisão são: 
x1: unidade de sapato consertada. 
x2: unidade de sapato fabricada. 
O sapateiro tem disponível um total de 12 unidades de couro, de modo que a restrição será uma 
inequação do tipo ≤. 
O sapateiro gasta uma unidade de couro para consertar uma unidade de sapato e 4 unidades de couro 
para fabricar um par de sapatos. Com isso, para fabricar uma unidade de sapato, o sapateiro precisa 
de 2 unidades de couro. Podemos afirmar, portanto, que a restrição referente à disponibilidade de 
couro para a produção ou conserto de sapatos é x1 + 2x2 ≤ 12. 
6. Pedido 3 – A restrição referente às horas trabalhadas é: 
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão, que são: 
x1: unidade de sapato consertada. 
x2: unidade de sapato fabricada. 
A jornada diária do sapateiro é de 10 horas. Logo, ele trabalha um total de 10 horas diárias, no máximo, 
e podemos concluir que a restrição será uma inequação do tipo ≤. 
O sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Logo, ele leva 20 minutos 
(1/3 da hora) para consertar cada unidade de sapato. O sapateiro leva 2 horas para fazer um par de 
sapatos novos. Desse modo, ele fabrica uma unidade de sapato por hora, levando 1 hora para fabricar 
cada unidade de sapato. 
Podemos afirmar, portanto, que a restrição referente às horas trabalhadas para a produção ou o 
conserto de sapatos é 
 
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7. Utilize o Método Gráfico para a solução do Programação Linear a seguir: 
MAX: 350X1 + 300X2 
Sujeito a: 
 
1X1 + 1X2 = 0 
X2 >= 0 
 
O valor de z para a solução ótima para o problema apresentado é igual a: 
66.100 
A resposta correta é 66.100, conforme pode ser verificado na solução obtida pelo Método Gráfico 
apresentada na figura a seguir: 
 
Solução pelo método gráfico. 
8. Ao solucionar um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico, foi obtido o seguinte 
gráfico: 
 
Solução para um problema de programação linear. 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que se trata de um problema de: 
Maximização ilimitado 
Trata-se de um problema de maximização ilimitado. Observe que o vetor Z está apontando para cima 
– na direção oposta da origem –, o que nos mostra que este é um problema de maximização. 
Não há uma região de espaço de soluções delimitada pelo cruzamento das retas do conjunto de 
restrições. Dessa forma, as restrições formam um espaço aberto de soluções viáveis, de modo que a 
solução tende ao infinito, caracterizando um problema ilimitado. 
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9. A fábrica XYZ produz rações para a alimentação de gado. As rações são elaboradas a partir da 
mistura de três diferentes tipos de grãos: grão 1, 2 e 3. Três nutrientes são considerados no 
produto final: o nutriente A, B e C. 
Sabe-se que o grão do tipo 1 custa R$35,00 por kg. Um quilo de grão 1 possui 30mg de nutriente 
A, 10mg de nutriente B e 43mg de nutriente C. O grão do tipo 2 custa R$23,00 por kg. Além disso, 
1kg do grão 2 possui 28mg do nutriente A, 17mg do nutriente B e 40mg do nutriente C. O grão 
do tipo 3 possui apenas 70mg do nutriente tipo A, e 1kg deste tipo de grão custa R$78,00. 
A ração para gado deve conter, no mínimo, 1.250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 
980mg do nutriente C. 
O analista deseja determinar a composição da ração que minimize os custos de produção, 
considerando que as necessidades mínimas dos nutrientes sejam atendidas. Logo, é possível 
afirmar que: 
A função objetivo do modelo é Min Z= 35x1+23x2+78x3, sendo x1 = quilos de grão tipo 1 usado na 
produção de um quilo de ração, x2 = quilos de grão tipo 2 usado na produção de um quilo de 
ração, e x3 = quilos de grão tipo 3 usado na produção de um quilo de ração. 
Como as rações são elaboradas a partir de três diferentes tipos de grãos, temos que as variáveis de 
decisão são: 
x1 = quilos de grão tipo 1 usado na produção de um quilo de ração; 
x2 = quilos de grão tipo 2 usado na produção de um quilo de ração; 
x3 = quilos de grão tipo 3 usado na produção de umque eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 
70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. Mas essa mãe também está preocupada com os custos. 
Ela deseja oferecer aos filhos a dieta equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar 
nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre informações nutricionais para diferentes tipos de 
alimento, conforme apresentado a seguir. 
 
Tabela de informações nutricionais em mg: 
 
 
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa 2,00, um quilo de carne 
custa 20,00, um quilo de peixe custa 25,00, e que para preparar 100g de salada ela gastaria 3,00. 
O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, buscando minimizar o 
custo, é dado por: 
 
Sendo: 
X1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças 
X2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças 
X3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças 
X4 = 100 g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças 
O custo mínimo que a mãe vai ter é de $ 6,46. Sobre o problema, é correto afirmar que: 
Mesmo que o custo do kg de carne passasse a ser de $ 5,00/unidade, carne não passaria a ser 
adquirida para a alimentação familiar. 
 
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75. Para se atingir o lucro máximo exige uma abordagem holística e dinâmica, que considere tanto a 
eficiência interna quanto a adaptabilidade ao ambiente de mercado. Considere o estudo de caso 
da confeitaria, já abordado antes, e assinale o que se pede. 
Uma confeitaria produz três tipos de bolos: de chocolate, de laranja e de limão. As quantidades 
de alguns ingredientes de cada tipo de bolo estão na tabela a seguir: 
 
 
O modelo matemático para o planejamento da produção diária de bolos, com o objetivo de 
maximizar o lucro da confeitaria, é dado por: 
 
 
Com base nesses dados, respondonda às questões. O lucro máximo obtido com a produção dos 
três tipos de bolo é de $ 160,00. Caso a disponibilidade de farinha aumentasse para 30 kg, o lucro 
máximo da confeitaria: 
Não sofreria alteração. 
 
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76. Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma 
nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 
70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. 
Mas essa mãe também está preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos filhos a dieta 
equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre 
informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado a seguir. 
 
Tabela de informações nutricionais em mg: 
 
 
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa $ 2,00, um quilo de 
carne custa $ 20,00, um quilo de peixe custa $ 25,00, e que para preparar 100 g de salada ela 
gastaria $ 3,00. O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, 
buscando minimizar o custo, é dado por: 
 
 
Sendo: 
x1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças 
x2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças 
x3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças 
x4 = 100 g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças 
Com base nesses dados responda: A função objetivo do dual do problema é: 
Max W = 10Y1 + 70Y2 + 250Y3 
 
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77. Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma 
nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 
70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. 
Mas essa mãe também está preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos filhos a dieta 
equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre 
informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado a seguir. 
 
Tabela de informações nutricionais em mg: 
 
 
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa $ 2,00, um quilo de 
carne custa $ 20,00, um quilo de peixe custa $ 25,00, e que para preparar 100 g de salada ela 
gastaria $ 3,00. O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, 
buscando minimizar o custo, é dado por: 
 
 
Sendo: 
x1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças 
x2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças 
x3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças 
x4 = 100 g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças 
Em relação ao dual para o problema, é correto afirmar que: 
As restrições do dual são do tipo ≥ 
 
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78. Um treinador necessita formar um time de nadadores para competir em uma prova olímpica de 
400 metros medley. Os nadadores apresentam as seguintes médias de tempo em cada estilo: 
 
O treinador deseja designar os nadadores para os diferentes estilos de modo a obter o menor 
tempo possível para completar o medley. Considere que a variável de decisão do modelo 
matemático para este problema é xij, que recebe o valor igual a "1" se decidirmos que o estilo “i” 
será alocado ao designado "j", sendo "0" se decidirmos o contrário, de tal forma: 
 
X11 = 1, se o nado livre é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário. 
X12 = 1, se o estilo peito é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário. 
X13 = 1, se o estilo borboleta é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário. 
X14 = 1, se o estilo costas é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário. 
X21= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário. 
X22= 1, se o estilo peito é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário. 
X23= 1, se o estilo borboleta é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário. 
X24 = 1, se o estilo costas é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário. 
X31 = 1, se o nado livre é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário. 
X32 = 1, se o estilo peito é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário 
X33 = 1, se o estilo borboleta é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário. 
X34 = 1, se o estilo costas é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário. 
X41= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
X42= 1, se o estilo peito é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
X43= 1, se o estilo borboleta o é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
X44= 1, se o estilo costas é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
 
Assim, na configuração da equipe que minimiza o tempo total para completar o medley, é correto 
afirmar que: 
O nadador 4 é alocado para o estilo peito. 
79. Uma empresa tem dois tipos de produtos, A e B. Ela tem disponíveis 8 horas de mão de obra para 
produzir os produtos A e 12 horas para produzir os produtos B. Cada produto A tem um lucro de 
R 50,00 e cada produto B tem um lucro de R 80,00. A empresa tem como objetivo maximizar seu 
lucro e deve produzir pelo menos 2 unidades de A e não pode produzir mais de 4 unidades de B. 
Qual é o número máximo de unidades de B que a empresa deve produzir para maximizar seu 
lucro? 
4 unidades 
 
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80. A Tabela a seguir apresenta a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas 
passíveis de fabricação por uma metalúrgica que deseja maximizar sua receita bruta. O preço 
está cotado em reais por tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as 
restrições de disponibilidade de matéria-prima. 
 
 
A variável de decisão para a modelagem deste problema é xi, que indica a quantidade em 
toneladas produzidas da liga especial de baixa resistência (i = 1) e da especial de alta resistência 
(i = 2). Assim, para a solução ótima deste problema, a produção de ligas especiais de alta 
resistência pela metalúrgica deve ser de: Fonte: Adaptado de Goldbarg e Luna (2005, p. 36) 
1,481. Fonte: Adaptado de Cesgranrio - Concurso Petrobrás/2004, cargo: Analista de Pesquisa 
Operacional Júnior. Considere o seguinte problema de programação linear. 
Minimize f = 4x + 5y, 
 
Sujeito a: 
 
O valor ótimo da função objetivo é: 
11,2 
82. Uma pequena empresa de doces recebeu um pedido de duas lojas. A loja A encomendou 100 
caixas de chocolates e 200 caixas de balas, enquanto a loja B pediu 150 caixas de chocolates e 
100 caixas de balas. A empresa pode produzir até 300 caixas de chocolates e 400 caixas de balas 
por dia devido às limitações de equipamento e mão de obra. O lucro por caixa de chocolate é de 
R$8 e por caixa de bala é de R$5. Qual é a melhor estratégia de produção para maximizar o lucro, 
considerando as demandas e capacidades? 
Produzir 250 caixas de chocolates e 300 caixas de balas. 
 
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83. Os problemas resolvidos pelo método simplex devem ter suas restrições convertidas para a 
forma canônica. Dessa forma, as restrições que apresentam uma desigualdade devem ser 
convertidas em igualdade. Quando a restrição é do tipo maior ou igual, devemos introduzir que 
tipo de varável para a conversão para a forma canônica? 
Excesso 
84. Fonte: Adaptado de Centro de Seleção - Universidade Federal de Goiás (CS-UFG) - Concurso da 
Universidade Federal de Goiás (UFG) para o cargo de Engenheiro de Produção, 2018. Considere 
o seguinte problema de programação linear: 
 
O valor ótimo da função objetivo deste problema é: 
30 
 
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85. Um treinador necessita formar um time de nadadores para competir em uma prova olímpica de 
400 metros medley. Os nadadores apresentam as seguintes médias de tempo em cada estilo: 
 
O treinador deseja designar os nadadores para os diferentes estilos de modo a obter o menor 
tempo possível para completar o medley. Considere que a variável de decisão do modelo 
matemático para este problema é xij que recebe o valor igual a "1" se decidirmos que o estilo “i” 
será alocado ao designado "j", sendo "0" se decidirmos o contrário de tal forma: 
X11 = 1, se o nado livre é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário. 
X12 = 1, se o estilo peito é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário. 
X13 = 1, se o estilo borboleta é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário. 
X14 = 1, se o estilo costas é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário. 
X21 = 1, se o nado livre é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário. 
X22 = 1, se o estilo peito é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário. 
X23 = 1, se o estilo borboleta é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário. 
X24 = 1, se o estilo costas é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário. 
X31 = 1, se o nado livre é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário. 
X32 = 1, se o estilo peito é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário 
X33 = 1, se o estilo borboleta é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário. 
X34 = 1, se o estilo costas é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário. 
X41 = 1, se o nado livre é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
X42 = 1, se o estilo peito é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
X43 = 1, se o estilo borboleta é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
X44 = 1, se o estilo costas é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
Assim, na configuração da equipe que minimiza o tempo total para completar o medley, é correto 
afirmar que: 
O nadador 2 é alocado para o estilo costas. 
86. Fonte: Adaptado de Cesgranrio - Concurso Petrobrás/2012, cargo: Analista de Pesquisa 
Operacional Júnior 
Considere o seguinte problema de programação linear: 
Maximize Z = x1 + 2x2 
Sujeito a: 
 
O valor ótimo da função objetivo deste problema é: 
8 
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87. Fonte: Adaptado de Cesgranrio - Concurso Petrobrás/2012, cargo: Analista de Pesquisa 
Operacional Júnior Determinada fábrica de móveis produz mesas, escrivaninhas e cadeiras de 
madeira. Esses três produtos passam pelo setor de carpintaria. Se o setor de carpintaria se 
dedicasse apenas à fabricação de mesas, 1.000 unidades seriam produzidas por dia; caso o setor 
se dedicasse apenas à fabricação de escrivaninhas, 500 unidades seriam produzidas por dia; se 
o setor de carpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras, seriam produzidas 1.500 
cadeiras por dia. Cada cadeira contribui em R 100,00 para o lucro da empresa, cada escrivaninha 
contribui em R400,00 e cada mesa contribui em R$500,00. Considere as seguintes variáveis 
inteiras como variáveis de decisão: 
X1 = quantidade de mesas produzidas 
X2 = quantidade de cadeiras produzidas 
X3 = quantidade de escrivaninhas produzidas 
500.000,00 
 
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88. Um treinador necessita formar um time de nadadores para competir em uma prova olímpica de 
400 metros medley. Os nadadores apresentam as seguintes médias de tempo em cada estilo: 
 
O treinador deseja designar os nadadores para os diferentes estilos de modo a obter o menor 
tempo possível para completar o medley. Considere que a variável de decisão do modelo 
matemático para este problema é xij, que recebe o valor igual a "1” se decidirmos que o estilo “i” 
será alocado ao designado sendo "0" se decidirmos o contrário, de tal forma: 
 
Assim, na configuração da equipe que minimiza o tempo total para completar o medley, é correto 
afirmar que: 
O nadador 3 é alocado para o nado livre.quilo de ração. 
Como se deseja minimizar o custo de produção, conhecendo o custo do quilo de cada tipo de grão, 
temos a seguinte função objetivo: 
Min Z= 35x1+23x2+78x3 
Logo, podemos afirmar que a resposta certa para o exercício é a alternativa E. Porém, vamos seguir na 
construção do modelo matemático para este problema. 
A ração deve conter, no mínimo, 1250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 980mg do nutriente C. 
Assim, teremos três restrições com relação à quantidade dos diferentes tipos de nutrientes. São elas: 
30x1+28x2+70x3≥1250→Nutriente A 
10x1+17x2≥380→Nutriente B 
43x1+40x3≥980→Nutriente C 
Logo, temos que o modelo para este exercício é: 
Min Z= 35x1+23x2+78x3 
Sujeito a: 
30x1+28x2+70x3≥1250 
10x1+17x2≥380 
43x1+40x3≥980 
x1, x2, x3, x4≥0 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 5 
 
10. Uma fábrica de eletrodomésticos está planejando seus níveis de estoque para as próximas 
quatro semanas. A loja tem capacidade máxima de estoque de 100 geladeiras. Os dados com 
relação à produção máxima semanal, ao custo unitário de produção e à demanda semanal são 
apresentados na tabela a seguir. 
30x1+28x2+70x3≥1250 
10x1+17x2≥380 
43x1+40x3≥980 
x1, x2, x3, x4≥0 
Mês 1 2 3 4 
Custo unitário de produção (R$) 1.240,00 1.300,00 1.265,00 1.285,00 
Demanda (unidades) 60 50 65 70 
Produção máxima (unidades) 100 100 100 100 
Dados de produção de geladeiras. Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira 
Sabe-se que o estoque inicial do mês é de 30 unidades e que o custo de estoque é equivalente a 
2% do custo unitário de produção da semana. Ao desenvolver o modelo matemático para 
minimizar o custo total da fábrica no próximo mês, consideramos que as variáveis de decisão 
devem ser xi, sendo x o número de unidades de geladeiras a serem produzidas na semana “i”, e 
ei, sendo e o inventário inicial da semana “i”. Assim, a(s) restrição(ões) referente(s) ao estoque 
na semana 3 é(são) representada(s) pela(s) seguinte(s) equação(ões): 
x3 + e3 - 65tempo possível para completar o medley. Sobre o modelo matemático que representa este 
problema, é possível afirmar que: 
O modelo matemático possui 16 variáveis de decisão, que são variáveis binárias. 
Neste problema de alocação, a variável de decisão xij recebe valor igual a “1” se decidirmos que o estilo 
“i” será alocado ao designado “j”, sendo “0” se decidirmos o contrário. De tal forma, temos: 
 
X11= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário; 
X12= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário; 
X13 =1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário; 
X14=1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário; 
X21= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário; 
X22= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário; 
X23= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário; 
X24= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário; 
X31= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário; 
X32= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário; 
.X33= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário; 
X34= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário; 
X41= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário; 
X42= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário; 
X43= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário; 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 9 
 
X44= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário. 
 
Logo, temos 16 variáveis de decisão binárias, o que faz com que a alternativa D seja a resposta correta. 
O modelo matemático para este problema da alocação é: 
 
Min Z= 
54X11+54X12+51X13+53X14+51X21+57X22+52X23+52X24+50X31+53X32+54X33+56X34+56X41+54X42+55X43
+53X44 
 
Sujeito a: 
 
X11+X12+X13+X14=1 
X21+X22+X23+X24=1 Cada nadador desempenha apenas um estilo. 
X31+X32+X33+X34=1 
X41+X42+X43+X44=1 
 
X11+X21+X31+X41=1 
X13+X23+X33+X43=1 Cada estilo é alocado para apenas um nadador. 
X12+X22+X32+X42=1 
X14+X24+X34+X44=1 
 
X11, X12, X13, X14, X21, X22, X23, X24, X31, X32, X33, X34, X41, X42, X43, X44 ꞓ {0,1} 
14. Um treinador necessita formar um time de nadadores para competir em uma prova olímpica de 
400 metros medley. Os nadadores apresentam as seguintes médias de tempo em cada estilo: 
Nadador 
Tempo (s) / 100m 
Livre Peito Golfinho Costas 
1 54 54 51 53 
2 51 57 52 52 
3 50 53 54 56 
4 56 54 55 53 
O treinador deseja designar os nadadores para os diferentes estilos, a fim de obter o menor 
tempo possível para completar o medley. Considere que a variável de decisão do modelo 
matemático para este problema seja xij, que recebe o valor igual a “1” se decidirmos que o estilo 
“i” será alocado ao designado “j”, sendo “0” se decidirmos o contrário. Logo, é possível afirmar 
que: 
A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o estilo 1 será desempenhado por apenas um 
nadador. 
A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o estilo 1 será desempenhado por apenas um nadador, 
pois determina que apenas uma das variáveis X11, X12, X13 e X14 pode receber o valor 1. As demais 
passam a ser zero, para que a soma seja igual a 1. 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 10 
 
15. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
Max z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
Em relação ao dual para esse problema, é correto afirmar que: 
As variáveis de decisão para o dual são não negativas. 
O dual para o problema é: 
 
Min W = 48Y1 + 20Y2 + 8Y3 
s.a 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≥ 60 
 6Y1 + 2Y2 + 1,5Y3 ≥ 30 
 Y1 + 1,5Y2 + 0,5Y3 ≥ 20 
 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 
 
Logo, verifica-se que as variáveis de decisão para o dual são não negativas. 
 
16. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
Max Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 + 4X4 + X5, 
s.a. X1 + 3X2 + 2X3 + 3X4 + X5 ≤ 6 
4X1 + 6X2 + 5X3 + 7X4 + X5 ≤ 15 
X1, X2, X3 , X4, X5 > 0 
Em relação ao dual para esse problema, é correto afirmar que: 
O dual do problema tem cinco restrições. 
O problema primal apresenta cinco variáveis de decisão e duas restrições, de modo que o dual tem 
cinco restrições e duas variáveis de decisão. 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 11 
 
17. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
Max Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤8 
X1, X2, X3 ≥ 0 
 
Na solução ótima para esse problema, o valor de X1 é 2, X2 é nulo e x3 é igual a 8, sendo z igual 
a 280. Sobre os coeficientes das variáveis de decisão, é correto afirmar que: 
O coeficiente da variável X1 na função objetivo (c1) pode variar entre 56 e 80 sem que a solução 
ótima para o problema seja alterada. 
Para solucionar esse problema, é necessário implementá-lo no Excel e resolvê-lo a partir do Solver. A 
figura a seguir apresenta a tela do Excel com a implantação do modelo no Solver após a sua solução. 
 
Solução do problema da atividade 1 após implementação no Excel. 
A próxima figura apresenta o Relatório de Sensibilidade do problema. 
 
Relatório de Sensibilidade para o problema da atividade 1. Captura de tela do Excel. 
Esse problema pode ser resolvido por meio da análise das colunas Permitido Aumentar e Permitido 
Reduzir da tabela Células Variáveis, do Relatório de Sensibilidade. Pelo valor de Permitido Aumentar, 
observa-se que o coeficiente da função objetivo c1 pode aumentar em até 20 unidades, sendo que a 
solução ótima permaneceria a mesma. Aumentos superiores a 20 unidades implicam alterações na 
solução ótima. Da mesma forma, o valor de Permitido Reduzir indica que o coeficiente c1 da variável 
X1 pode reduzir em até 4 unidades, sem alterações na solução ótima. Assim, o coeficiente c1 da variável 
X1 pode variar entre 56 e 80, sem alterações na solução ótima. 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 12 
 
18. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
Max Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
X1, X2, X3 ≥ 0 
Na solução ótima para esse problema, o valor de X1 é 2, X2 é nulo e x3 é igual a 8, sendo z igual 
a 280. Em relação às restrições do problema, é correto afirmar que: 
Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da inequação dessa 
restrição) aumentar de 20 para 24, o valor de z para a solução ótima do problema passa a 320. 
Para solucionar esse problema, é necessário implementá-lo no Excel e resolvê-lo a partir do Solver. A 
figura a seguir apresenta a tela do Excel com a implantação do modelo no Solver após a sua solução. 
 
 
Solução do problema da atividade 2 após implementação no Excel. 
A próxima figura apresenta o Relatório de Sensibilidade do problema. 
 
 
Relatório de Sensibilidade para o problema da atividade 2. Captura de tela do Excel. 
Esse problema pode ser resolvido por meio da análise das colunas Permitido Aumentar e Permitido 
Reduzir da tabela Restrições, do Relatório de Sensibilidade. O valor de Permitido Aumentar mostra que 
o termo independente b2 pode aumentar em até 4 unidades sem que haja alteração na base da solução 
ótima. Porém, como o preço-sombra é igual a 10, se o valor de b2 aumentar em 4 unidades, o valor de 
Z passa de 280 para 280+4*10=320. O valor de Permitido Reduzir indica que o termo independente b2 
pode reduzir em até 4 unidades sem alterações na base da solução ótima. Porém, se o termo 
independente b2 passar de 20 para 16, o valor de z para a solução ótima passa a ser 280-4*10=240. 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 13 
 
19. A Fitwear S/A é uma confecção de roupas esportivas, tendo uma linha fitness feminina, na qual 
produz roupas de ginástica exclusivaspara mulheres, como tops e calças de lycra. 
Cada top de ginástica é vendido por R$80,00 e utiliza R$20,00 de matéria-prima, como tecido e 
alinhamentos, e R$32,00 de mão de obra. Trinta minutos de corte e 15 minutos de costura são 
demandados para a confecção de um top de ginástica. 
Cada calça de ginástica é vendida por R$120,00 e utiliza R$35,00 de matéria-prima, como tecido 
e alinhamentos, e R$40,00 de mão de obra. Quinze minutos de corte e 30 minutos de costura são 
demandados para a confecção de uma calça de ginástica. 
A Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por semana e 160 horas de costura. A 
confecção não tem problemas no fornecimento de matérias-primas, de modo que seu suprimento 
pode ser considerado ilimitado, bem como a demanda semanal de seus produtos. 
Considerando que seria possível produzir números não inteiros, qual deve ser a produção 
semanal a ser adotada pela Fitwear de modo a maximizar seus lucros? Considere as seguintes 
variáveis de decisão: 
x1 = número de tops de ginástica confeccionados a cada semana 
x2 = número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana 
x1=320, x2=160 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 14 
 
 
20. Utilize o método simplex para a solução desta programação linear: 
 
66.100 
A resposta correta é a letra E, conforme pode ser verificado na solução obtida pelo método gráfico, 
apresentada na figura a seguir. 
 
Solução da atividade 2 pela tabela simplex. Captura de tela do Excel. 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 15 
 
21. A fábrica XYZ produz rações para a alimentação de gado. As rações são elaboradas a partir da 
mistura de três diferentes tipos de grãos: 1, 2 e 3. Três nutrientes são considerados no produto 
final: A, B e C. 
Sabe-se que o grão do tipo 1 custa R$35,00 por kg. Um quilo de grão 1 possui 30mg de nutriente 
A, 10mg de nutriente B e 43mg de nutriente C. O grão do tipo 2 custa R$23,00 por kg. Ainda, um 
quilo do grão 2 possui 28mg do nutriente A, 17mg do nutriente B e 40mg do nutriente C. O grão 
do tipo 3 possui apenas 70mg do nutriente tipo A e um quilo deste tipo de grão custa R$78,00. 
A ração para gado deve conter, no mínimo, 1250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 980mg 
do nutriente C. 
O analista deseja determinar uma composição da ração que minimize os custos de produção, 
considerando que as necessidades mínimas dos nutrientes sejam atendidas. Desse modo, é 
possível afirmar que a solução ótima para o problema tem um valor de z igual a: 
1262,84 
Como as rações são elaboradas a partir de três diferentes tipos de grãos, temos que as variáveis de 
decisão são: 
 
x1 = quilos de grão tipo 1 usados na produção de um quilo de ração 
x2 = quilos de grão tipo 2 usados na produção de um quilo de ração 
x3 = quilos de grão tipo 3 usados na produção de um quilo de ração 
 
Como se deseja minimizar o custo de produção e sabe-se o custo do quilo de cada tipo de grão, temos 
a seguinte função objetivo: 
 
Logo, podemos afirmar que a resposta certa para o exercício é a Letra E. Porém, vamos continuar a 
construção do modelo matemático para este problema. 
 
A ração deve conter, no mínimo, 1250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 980mg do nutriente C. 
Assim, teremos três restrições com relação à quantidade dos diferentes tipos de nutrientes. São elas: 
 
Portanto, temos que o modelo para este problema é: 
 
Sujeito a: 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 16 
 
 
 
 
Solução ótima para o problema da Atividade 1. Captura de tela do Excel. 
22. Uma mãe está muito preocupada com a alimentação de seus filhos. Ela deseja que as crianças 
tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma nutricionista que lhe 
recomendou que eles comam, no mínimo, 10mg de vitamina A, 70mg de vitamina C e 250mg de 
vitamina D por dia. 
Porém, além de se preocupar com a qualidade da alimentação, essa mãe também está 
preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos seus filhos essa dieta equilibrada, porém ao 
menor custo possível. Por isso, ela fez uma pesquisa e descobriu as informações nutricionais 
para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado na tabela. 
Vitamina Leite (l) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) 
A 2 2 10 20 
C 50 20 10 80 
D 80 70 10 80 
Informações nutricionais em mg 
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa R$2,00, um quilo de 
carne custa R$20,00, um quilo de peixe custa R$25,00 e para preparar 100g de salada ela gastaria 
R$3,00. Desse modo, é possível afirmar que a solução ótima para o problema tem um valor de z 
igual a: 
6,46 
A variável de decisão deve ser xi, sendo x a quantidade de alimento do tipo “i” a ser consumida por dia. 
Logo, temos: 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 17 
 
x1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças 
x2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças 
x3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças 
x4 = 100g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças 
 
O modelo para este problema é: 
 
Sujeito a: 
 
 
 
Solução ótima para o problema da Atividade 2. Captura de tela do Excel. 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 18 
 
23. Construção de Pontes com Integrais 
Caso Prático 
João, um engenheiro civil, está supervisionando a construção de uma ponte sobre um rio em 
uma cidade do interior de Minas Gerais. A ponte, projetada para ser um arco parabólico, deve ter 
um comprimento total de 100 metros e uma altura máxima de 20 metros no ponto médio. Durante 
o planejamento, João percebeu que o cálculo preciso do comprimento do arco da ponte é 
essencial para estimar a quantidade de materiais necessários e o custo total da obra. Ele precisa 
determinar o comprimento exato do arco utilizando os conceitos de integração aprendidos na 
faculdade. A construção está prevista para começar no próximo mês, e o tempo está apertado 
para realizar esses cálculos complexos. João acredita que o problema surge devido à falta de 
uma fórmula direta e clara para calcular o comprimento de curvas não lineares, o que exige o 
uso de integrais definidas e técnicas de aproximação. 
Diante da situação apresentada, discuta como João pode utilizar o conceito de integrais 
definidas para calcular o comprimento do arco da ponte. Considere as propriedades das 
integrais e as técnicas de aproximação por somas de Riemann. Quais passos João deve seguir 
para resolver este problema e quais possíveis dificuldades ele pode enfrentar durante o 
processo? 
Chave de resposta 
 
Para resolver a integral, João pode usar técnicas de integração numérica, como a soma de 
Riemann, especialmente se a integral não tiver uma solução analítica simples. Ele dividirá o 
intervalo de integração em subintervalos pequenos, calculará a soma das áreas dos retângulos 
formados, e fará a aproximação do comprimento do arco. Esta técnica aproxima melhor o 
comprimento real da curva à medida que os subintervalos se tornam mais finos. 
Uma possível dificuldade que João pode enfrentar é a complexidade do cálculo da integral se a 
função resultante for complicada, exigindo o uso de software de cálculo simbólico ou numérico. 
Além disso, a precisão da aproximação depende do número de subintervalos escolhidos, o que 
pode aumentar significativamente o tempo de cálculo e a carga computacional. 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 19 
 
Limite Conceitos, Propriedades e Exemplos 
24. Desafio 1 
Imagine que você é um engenheiro responsável pela análise de um projeto que envolve o cálculo 
de limites de funções em situações críticas. Durante uma inspeção, você precisa determinar o 
comportamento da função quando x se aproxima de 0 . Essa análise é essencial para 
prever possíveis falhas ou instabilidades no sistema. Qual o limite desta função? 
∞ 
 
Definição de Limite 
"Em muitas aplicações da matemática, será necessário conhecer o comportamento deuma função 
quando a variável independente se aproximar de determinado valor. Em outras palavras, será 
importante saber para que valor essa função tende (ou se aproxima) quando o valor do seu domínio 
tender (ou se aproximar) de um número dado. Essa análise do comportamento de uma função real de 
variável real é obtida por meio da operação matemática denominada de limite de uma função." 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 20 
 
25. Desafio 2 
Como engenheiro civil, você está projetando uma ponte que deve resistir a diversas tensões. 
Uma das funções que descreve o comportamento de certas forças é Para garantir a 
segurança da construção, é crucial determinar o limite dessa função quando x se aproxima do 
infinito. Determine este limite. 
½ 
 
Cálculo de Limite 
 "A aplicação dessa abordagem vai permitir que você descubra o valor do limite da função quando a 
variável de seu domínio tender a um número real. Você pode fazer isso observando o comportamento 
da função por meio de seu gráfico ou de uma tabela contendo seus valores." 
 
26. Desafio 3 
Como um analista financeiro, você precisa prever tendências de mercado usando funções 
matemáticas. Uma função que você está analisando é Para interpretar 
corretamente os dados, você deve determinar se essa função possui uma assíntota horizontal. 
Assinale a alternativa correta que apresenta a assíntota desta função. 
X = 7 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 21 
 
27. Desafio 4 
Imagine que você é um pesquisador de matemática aplicada estudando o comportamento de 
funções logarítmicas em valores próximos de zero. Você está investigando a função 
 para determinar seu limite quando x tende a zero. Esta análise é crucial para a 
modelagem de comportamentos logarítmicos em fenômenos naturais. Qual o limite da função? 
1 
 
Cálculo de Limite 
"A aplicação dessa abordagem vai permitir que você descubra o valor do limite da função quando a 
variável de seu domínio tender a um número real. Você pode fazer isso observando o comportamento 
da função por meio de seu gráfico ou de uma tabela contendo seus valores." 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 22 
 
Derivadas conceitos, propriedades e cálculos 
28. Você é um engenheiro de software trabalhando em uma empresa de tecnologia e precisa ajustar 
uma função matemática em um algoritmo para que ele seja derivável em todos os pontos do seu 
domínio. Determine o valor correto de M + 4P para garantir que a função H(x) atenda a essa 
condição de derivabilidade. 
 
2 
A) Incorreta. O valor 0 não garante a derivabilidade da função H(x) em todos os pontos do seu domínio. 
Para que uma função seja derivável em todos os pontos, é necessário que ela seja contínua e que suas 
derivadas laterais sejam iguais em cada ponto do domínio. Quando M + 4P = 0, a função pode 
apresentar descontinuidades ou pontos de não derivabilidade. 
B) Incorreta. Similarmente ao valor 0, o valor 1 não assegura a derivabilidade da função H(x) em todos 
os pontos. A função precisa atender a condições específicas que garantem que sua derivada existe e é 
contínua em todos os pontos. Com M + 4P = 1, essas condições podem não ser satisfeitas, resultando 
em uma função que não é completamente derivável. 
C) Correta. O valor 2 para M + 4P é o que permite que a função H(x) seja derivável em todos os pontos 
do seu domínio. Este valor satisfaz as condições necessárias de continuidade e existência de derivada 
finita. Conforme discutido no material, a derivada de uma função real em um ponto é a taxa de variação 
instantânea dessa função no ponto, além de ser o coeficiente angular da reta tangente à função nesse 
ponto. Para garantir que a função H(x) seja derivável, M + 4P deve ser igual a 2. 
D) Incorreta. O valor 3 não é suficiente para garantir que H(x) seja derivável em todos os pontos. Para 
que uma função seja derivável, a continuidade e a existência de uma derivada finita são essenciais. 
Com M + 4P = 3, a função pode não atender a essas condições. 
E) Incorreta. O valor 4 também não satisfaz as condições necessárias para que H(x) seja derivável em 
todos os pontos do seu domínio. A função precisa atender a critérios específicos que não são atingidos 
com M + 4P igual a 4, podendo resultar em descontinuidades ou pontos de não derivabilidade. 
 
Derivada de uma Função Real 
"A derivada de uma função real em um ponto será a taxa de variação instantânea dessa função no 
ponto, como também será o valor do coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto. 
Portanto, pela abordagem gráfica, podemos afirmar o seguinte: A derivada será positiva nos pontos 
onde a reta tangente for crescente ou quando a taxa instantânea for positiva. A derivada será negativa 
nos pontos onde a reta tangente for decrescente ou quando a taxa instantânea for negativa. A derivada 
será nula se a tangente no ponto for horizontal, representando uma taxa instantânea nula." 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 23 
 
29. Você está trabalhando em um laboratório de biotecnologia, onde o crescimento de uma 
população de fungos está sendo modelado ao longo do tempo. A quantidade de fungos 
, em milhares, é dada pelo tempo , em dias, desde o início do experimento. O modelo adotado 
é ,com Foi também traçado um gráfico de QF pelo tempo 
para o intervalo entre Determine a interpretação correta para a derivada de QF, 
em relação ao tempo, no instante . 
Representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos, em milhares/dia, que existiu no 
quinto dia do experimento, como também, o valor do coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico de QF(T), no ponto T=5T. 
A) Incorreta. A derivada de QF(T) no instante T=5T não representa a quantidade de fungos, mas sim a 
taxa de crescimento instantânea da população de fungos nesse momento específico. A derivada de 
uma função é a taxa de variação instantânea, e não a quantidade total. 
 
B) Correta. A derivada de QF(T) em T=5 fornece a taxa de crescimento da população de fungos em 
milhares por dia no quinto dia do experimento. Além disso, representa o valor do coeficiente angular da 
reta tangente ao gráfico de QF(T) no ponto T = 5 . Isso está de acordo com a definição de derivada 
como a taxa de variação instantânea de uma função. Calculando a derivada de QF(T), temos: 
 
Substituindo T=5, temos: 
 
C) Incorreta. Esta alternativa confunde a quantidade total de fungos com a taxa de crescimento. A 
quantidade de fungos é dada pela função QF(T), enquanto a derivada fornece a taxa de crescimento. 
 
D) Incorreta. A aceleração do crescimento se referiria à derivada de segunda ordem, não à primeira. 
Além disso, não está relacionada diretamente com a assíntota do gráfico de QF(T). 
 
E) Incorreta. A taxa de crescimento instantânea é dada pela derivada, que se refere à reta tangente, 
não à reta secante. A reta secante considera a média entre dois pontos, não a taxa instantânea. 
 
Abordagem Gráfica da Derivada de uma Função Real 
 "A derivada de uma função real em um ponto será a taxa de variação instantânea dessa função no 
ponto, como também será o valor do coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto. 
Portanto, pela abordagem gráfica, podemos afirmar o seguinte: A derivada será positiva nos pontos 
onde a reta tangente for crescente ou quando a taxa instantânea for positiva. A derivada será negativa 
nos pontos onde a reta tangente for decrescente ou quando a taxa instantânea for negativa. A derivada 
será nula se a tangente no ponto for horizontal, representando uma taxa instantânea nula." 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 24 
 
30. Como um analista financeiro, você está estudando uma função que modela o comportamento de 
uma variável econômica. A função é Determine a derivada 
dessa função. 
 
 
 
Regras de Derivação 
 
"Aplicar as regras de derivação para o cálculo da derivada. As primeiras regras tratam de operações 
matemáticasem geral. Sejam as funções f(x) e g(x) deriváveis e uma constante real k. Assim: (f + q)'(x) 
= f'(x) + g'(x): a derivada da soma é a soma da derivada. (kf)'(x) = kf'(x): a derivada de uma função 
multiplicada por uma constante é a constante que multiplica a derivada. (f × g)'(x) = f'(x) × g'(x) + f(x) × 
g'(x): regra do produto, a derivada do produto de duas funções é a soma dos produtos da derivada de 
uma função vezes a outra, ou seja, derivada da primeira função vezes a segunda somado a derivada 
da segunda função vezes a primeira. (f ÷ g)'(x) = (f'(x)g(x) − f(x)g'(x)) ÷ (g(x))² para g(x) ≠ 0: regra do 
quociente, a derivada da divisão de duas funções é o produto das duas funções divido pelo quadrado 
da função quociente no ponto." 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 25 
 
31. Como um engenheiro de produção, você está otimizando um processo que depende de uma 
função matemática. A função é Você precisa determinar a taxa de 
crescimento dessa função no ponto 
28 
 
Título: Derivada de uma Função Real 
 "Graficamente, pode ser verificada a interpretação da derivada como uma taxa de variação instantânea 
ou como a inclinação da reta tangente à função em um ponto. A derivada de uma função real em um 
ponto será a taxa de variação instantânea dessa função no ponto, como também será o valor do 
coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto. Portanto, pela abordagem gráfica, podemos 
afirmar o seguinte: A derivada vai ser positiva nos pontos onde a reta tangente for crescente ou quando 
a taxa instantânea for positiva." 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 26 
 
Derivadas aplicações 
32. Você é um analista de processos industriais responsável por otimizar os pontos de operação de 
uma máquina que segue um comportamento modelado por uma função matemática. A função 
em questão é , e você precisa determinar a equação da reta tangente a 
essa função no ponto onde . A identificação correta dessa reta permitirá ajustar os 
parâmetros da máquina para operar de maneira mais eficiente. Portanto, determine a equação da 
reta. 
Y = 15x + 10. 
 
Derivada como coeficiente angular da reta tangente 
 "A derivada de uma função real é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto. 
Desta forma, a aplicação da derivada permite a obtenção da equação da reta tangente e da reta normal 
ao gráfico. [...] A equação da reta tangente no ponto q é dada por t: y -f(q) = f’(q) (x – q).” 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 27 
 
33. Você é um engenheiro de uma empresa de telecomunicações e precisa ajustar uma linha de 
transmissão que segue uma função logarítmica. A linha de transmissão é modelada pela função 
f(x) = 13ln (x² + 4x + 8), e você deve determinar o valor do coeficiente p para que a reta px + y + 
r = 0 seja tangente a essa função no ponto onde a abscissa é igual a 1. 
6 
 
Retas tangentes e normais ao gráfico de uma função 
 "Uma das interpretações gráficas para a derivada de uma função real é que esta representa a inclinação 
da reta tangente ao gráfico da função em um determinado ponto. Desta forma, a aplicação da derivada 
permite a obtenção da equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico." 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 28 
 
34. Você trabalha como consultor financeiro e utiliza modelos matemáticos para prever variações 
de mercado. Um desses modelos é a função quadrática f(x) = x² - 6x + 9, que precisa ser analisada 
para identificar pontos de tangência. Sabe-se que uma reta tangente passa pelo ponto P(4,1) e 
intercepta outra reta tangente no ponto de ordenada -1. Sua tarefa é determinar a soma das 
coordenadas (a,b) do ponto de tangência entre a segunda reta e o gráfico de f(x). 
3 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 29 
 
35. Imagine que você está trabalhando como engenheiro de uma empresa de tecnologia que 
desenvolve sistemas de controle automatizado. Sua tarefa é analisar o comportamento de uma 
função que modela a eficiência de um sistema, variando de acordo com diferentes condições 
operacionais. Para isso, você precisa determinar os pontos extremos dessa função definida por 
partes. A função H(x) é dada por: 
 
Seu objetivo é descobrir quantos pontos extremos locais essa função apresenta. 
1 
A) 4: Incorreta. Para uma função ter quatro pontos extremos locais, seriam necessários mais intervalos 
ou mais complexidade na definição das partes da função. Analisando a função H(x) dada, observamos 
que ela é composta por duas expressões, cada uma válida em um intervalo diferente. A primeira parte 
da função, 2ex, não apresenta extremos locais no intervalo [−4,0) porque sua derivada 2ex é sempre 
positiva, indicando que a função é estritamente crescente nesse intervalo. Portanto, não há pontos de 
máximo ou mínimo local. A segunda parte, x² - 4x + 2, é uma parábola com a concavidade voltada para 
cima e apresenta um ponto de mínimo local no vértice, localizado em x=2, que está dentro do intervalo 
[0,4). Portanto, a alternativa que sugere quatro pontos extremos locais está incorreta. 
 
B) 0: Incorreta. Como discutido anteriormente, a segunda parte da função x² - 4x + 2 possui um ponto 
de mínimo local em x = 2, dentro do intervalo [0,4). Este é um ponto extremo local. Logo, afirmar que 
não existem pontos extremos locais é incorreto. 
 
C) 2: Incorreta. A função possui um ponto extremo local na parte parabólica x²- 4x + 2 , especificamente 
em x = 2, como determinado pela análise de sua derivada. Na primeira parte da função, 2ex, não existem 
pontos extremos locais, conforme analisado anteriormente. Portanto, há um total de apenas um ponto 
extremo local, não dois. 
 
D) 1: Correta. A análise da derivada das duas partes da função H(x) revela que a primeira parte, 2ex, 
não possui extremos locais, pois a derivada , 2ex é sempre positiva, indicando uma função estritamente 
crescente. A segunda parte, x² - 4x + 2, é uma parábola voltada para cima e tem um mínimo local em x 
= 2. Este é o único ponto extremo local da função. Portanto, a alternativa correta é que existe um único 
ponto extremo local. 
 
E) 3: Incorreta. Esta alternativa também está errada pela mesma razão que a alternativa A. A função 
analisada tem uma única expressão com um ponto extremo local, resultando em apenas um ponto 
extremo local e não três. 
 
Estudo de Máximos e Mínimos de uma Função 
"A primeira derivada de uma função está associada à inclinação da reta tangente ao seu gráfico, assim, 
pode ser relacionada ao comportamento da função em relação ao seu crescimento ou decrescimento 
em um determinado ponto do seu domínio. Da mesma forma, a segunda derivada da função mede a 
variação da primeira derivada, podendo ser relacionada com a concavidade de uma função em um 
ponto. Ao se combinar a análise de crescimento e de concavidade, pode-se obter os pontos de máximo 
ou mínimo local da função, denominados pontos extremos." 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 30 
 
Integrais conceitos, propriedades e técnicas de integração 
36. Você é um engenheiro de software e precisa resolver um problema que envolve a integração de 
funções complexas como parte do desenvolvimento de um algoritmo para otimização de dados. 
Considere a integral dada e determine o valor correto. Determine o valor da integral 
 
2 tan y + 3 arctan y + y + k, k real. 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 31 
 
37. Imagine que você é um físico trabalhando em um laboratório de pesquisa e precisa calcular uma 
integral específica que modela o comportamento de um oscilador harmônico em um campo 
magnético. Resolva a integral abaixo para determinar o comportamento do sistema. Determine 
o valor da integral : 
 
 
Técnica de integração por substituição de variável 
 "Para resolver integrais complexas envolvendo produtos de funções trigonométricas, é fundamental 
utilizar a técnica de substituição de variável.Isso permite transformar o integrando em uma função de 
integral conhecida, facilitando a resolução. A técnica frequentemente envolve reescrever o integrando 
de forma que a substituição reduza a complexidade da integral." 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 32 
 
38. Como analista financeiro, você precisa calcular o comportamento de uma função de custo que 
depende de diversas variáveis. Considere a função abaixo e determine o valor correto conforme 
as condições fornecidas. 
 Sabe-se que faz parte da família de primitivas obtidas pela integral Sabendo 
que determine g(1). 
 
 
Técnica de integração por frações parciais 
 "Para resolver integrais onde o integrando é uma fração racional, utilizamos a técnica de frações 
parciais. Essa técnica transforma o integrando em uma soma de frações parciais mais simples, 
facilitando a integração. A aplicação correta dessa técnica e as condições iniciais fornecidas permitem 
determinar a solução exata da integral." 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 33 
 
39. Imagine que você é um químico e está analisando uma reação que depende de várias 
concentrações de reagentes ao longo do tempo. Calcule a integral dada para entender o 
comportamento da reação. Determine o valor da integral : 
 
 
Técnica de integração por partes 
"Para resolver integrais complexas envolvendo funções racionais e radicais, é essencial usar técnicas 
como integração por partes. Isso permite transformar o integrando em uma função cuja integral é 
conhecida, facilitando a solução. A técnica frequentemente envolve reescrever o integrando e aplicar 
substituições apropriadas para simplificar a integral." 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 34 
 
Integrais aplicações 
40. Como engenheiro civil, você está trabalhando no projeto de uma área de lazer que inclui um lago 
artificial. Para calcular o volume necessário de escavação, você precisa determinar a área da 
região limitada superiormente pela função e inferiormente pela função 
 
. Este cálculo é essencial para garantir que o lago tenha o tamanho e a profundidade adequados. 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 35 
 
41. Como arquiteto paisagista, você está projetando um jardim zen com caminhos sinuosos. Para 
calcular o custo do material necessário para pavimentar esses caminhos, você precisa 
determinar a integral da função , limitada pelo eixo x e pela reta Este 
cálculo é crucial para estimar com precisão a quantidade de material a ser utilizado. Determine 
a integral desta função. 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 36 
 
42. Como matemático, você está estudando o comportamento de várias curvas para otimizar a 
construção de um novo tipo de ponte. Calcule a área delimitada entre as curvas 
 Esse conhecimento é essencial para o 
design da ponte, garantindo que a estrutura seja estável e esteticamente agradável. Assinale a 
alternativa que apresenta o valor correto da área. 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 37 
 
43. Você é um engenheiro entrada composta por funções e 
.O custo estimado para cada metro de tubo é de R$ 5.000,00. Calcule 
o custo total da obra. 
R$ 146.274,17. 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 38 
 
Cálculo a várias variáveis para economia 
44. Como gerente de uma empresa, você precisa analisar a função que descreve o lucro mensal da 
sua organização para otimizar as operações financeiras. A função 
 representa o lucro em 
termos de duas variáveis: X (quantidade de produto A vendido) e Y (quantidade de produto B 
vendido). Seu objetivo é calcular as derivadas parciais no ponto (4.000, 150) para entender como 
o lucro varia em relação às quantidades de cada produto vendido e, assim, ajustar a produção e 
vendas para maximizar os lucros. 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 39 
 
45. Como analista financeiro, você precisa determinar o domínio de uma função que representa um 
modelo econômico. A função precisa ser avaliada para 
garantir que os valores de entrada ( U,V ) são válidos e viáveis no modelo econômico. Determine 
qual é o domínio dessa função. 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 40 
 
46. Você é um economista que trabalha com modelos matemáticos complexos e precisa entender o 
comportamento de uma função em relação a duas variáveis. Considere a função 
 , onde (F) e (G) são funções reais quaisquer, 
deriváveis até segunda ordem. Sabendo que para todo (X) e (Y), determine o valor 
de 
16 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 41 
 
47. Como engenheiro, você precisa calcular o volume de um sólido obtido a partir da interseção de 
várias superfícies. Maria e José estão discutindo uma lista de exercícios sobre integrais duplas 
quando se deparam com o problema de calcular o volume do sólido S , obtido a partir da 
interseção das superfícies (2X+4Y+Z=8),(Z= 0),(Y=0) e (X=0). José afirma que é possível resolver 
o problema através do cálculo da integral dupla definida. Maria também acredita que é possível 
resolver através do cálculo da integral dupla definida. Analise as afirmações a seguir e assinale 
a alternativa correta. 
Ambos estão corretos. 
 
48. A Pesquisa Operacional é uma técnica que pode ser utilizada em conjunto com outras técnicas 
de gestão. A Pesquisa Operacional é uma abordagem que pode ser utilizada para resolver quais 
tipos de problemas? 
Problemas complexos e não-rotineiros 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 42 
 
49. A programação linear é uma técnica matemática utilizada para maximizar ou minimizar uma 
função objetivo, sujeita a restrições lineares. Para construir um modelo de programação linear, é 
necessário seguir alguns passos importantes. Quais são os passos para a construção de um 
modelo de programação linear? 
Identificar as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições 
50. A Pesquisa Operacional (PO) se destaca por fornecer uma ferramenta quantitativa para apoio ao 
processo de tomada de decisão para problemas complexos. Assinale a alternativa, a seguir, que 
não corresponde a uma das diferentes técnicas de Pesquisa Operacional. 
Teoria da Contingência 
51. Uma empresa produz dois tipos de produtos, A e B, com lucro de R 10,00 e R 8,00 por unidade, 
respectivamente. Sabendo que a produção de A demanda 2 horas de trabalho e 1 hora de 
máquina, enquanto a produção de B demanda 1 hora de trabalho e 2 horas de máquina, e que a 
empresa tem disponíveis 100 horas de trabalho e 80 horas de máquina, qual a quantidade de cada 
produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro? 
40 unidades de A e 20 unidades de B 
52. O desenvolvimento de um modelo matemático para estudos em pesquisa operacional pode ser 
dividido em diferentes etapas. Uma dessas etapas versa sobre a identificação das variáveis de 
decisão, sua função objetivo e suas restrições. Qual etapa seria essa? 
Formulação do modelo matemático 
53. Fonte: adaptado de Cesgranrio, Concurso Petrobrás (2012), cargo: Analista de Pesquisa 
Operacional Júnior. Uma fábrica de móveis produz mesas, escrivaninhas e cadeiras de madeira, 
e todos esses produtos passam pelo setor de carpintaria. Se o setor de carpintaria se dedicasse 
apenas à fabricação de mesas, 1000 unidades seriam produzidas por dia; se o setor se dedicasse 
apenas à fabricação de escrivaninhas, 500 unidades seriam produzidas por dia; se o setor de 
carpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras, seriam produzidas 1500 cadeiras por 
dia. 
Cada cadeira contribui em R 100,00 para o lucro da empresa, cada escrivaninha contribui em R 
400,00, e cada mesa contribui em R$ 500,00 para o lucro da fábrica de móveis. 
 
Considere as seguintes variáveis inteiras como variáveis de decisão: 
 
X1 = quantidade de mesas produzidas; 
X2 = quantidade de cadeiras produzidas; 
X3 = quantidade de escrivaninhas produzidas. 
 
A fábrica de móveisdeseja programar a sua produção de modo a obter o maior lucro possível. A 
função objetivo desse problema é: 
Max Z=500X1 + 100X2 + 400X3 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 43 
 
54. Foi desenvolvido um modelo para a análise de um problema complexo. Sabe-se que todas as 
variáveis de decisão desse modelo estão livres para assumir valores fracionais. Desse modo, 
pode-se afirmar que esse modelo é: 
Não inteiro 
55. A Pesquisa Operacional tem como objetivo principal a otimização de processos e recursos. Quais 
são as principais técnicas utilizadas na Pesquisa Operacional? 
Modelagem matemática, programação linear e análise de sensibilidade 
56. (IBADE/2019) Na Programação Linear, a tarefa primordial é o reconhecimento e a formulação do 
problema de forma tal que ele possa ser trabalhado e, assim, fornecer um objetivo desejável a 
ser otimizado. O Método Gráfico da Programação Linear consiste em um sistema: 
De coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono convexo que contém os pontos 
representativos das possibilidades. 
57. O gerenciamento de recursos nem sempre é uma tarefa trivial. Nesse sentido, avalie as assertivas 
a seguir: 
 
l. Tornar o processo decisório mais criterioso e com menos incertezas. 
II. Ganhar conhecimento e entendimento sobre o problema investigado. 
III. Maior dispêndio de recursos, tanto financeiros quanto de tempo, para a análise do problema. 
 
Assinale a alternativa que corresponde a uma vantagem obtida por meio da utilização de modelos. 
l e II, apenas. 
58. Os modelos de programação linear são amplamente aplicados em diversas áreas, como logística, 
produção, finanças e transporte. Com relação ao problema de transbordo, analise as seguintes 
asserções: 
 
l. No problema de transbordo, os pontos de suprimento são responsáveis pelo fornecimento de 
insumos e também podem recebê-los. 
 
PORQUE 
 
II. Diferentemente dos pontos de demanda, que recebem insumos de outros pontos, mas não 
podem remetê-los. 
 
Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta razão entre 
elas. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
59. Existem classes de modelos de programação linear que são adaptáveis a uma série de situações 
práticas, sendo considerados como "problemas típicos". O problema em que o tomador de 
decisão deseja determinar níveis de utilização de matérias-primas na composição de uma ração 
alimentar, respeitando certas características nutricionais e estando limitado à disponibilidade de 
matérias-primas e insumos, bem como ao atendimento da demanda, é um exemplo do seguinte 
problema típico de programação linear: 
Problema da mistura. 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 44 
 
60. Uma empresa de transporte precisa alocar motoristas para realizar entregas em diferentes 
regiões da cidade. Considere as seguintes afirmações sobre o Problema da Alocação: 
 
l. O Problema da Alocação visa designar tarefas a designados, como pessoas, máquinas, veículos 
ou fábricas. 
II. No Problema da Alocação, não há custos associados ao desempenho de cada tarefa. 
III. O objetivo final do Problema da Alocação é minimizar o custo total. 
É correto o que se afirmar em: 
Apenas I e III. 
61. Uma empresa de computadores norte-americana possui fábricas em São Francisco e em Chicago. 
A empresa fornece para a costa oeste, com uma base em Los Angeles, e para a costa leste, com 
uma base na Flórida. A fábrica de São Francisco tem capacidade de produção de 5.000 notebooks, 
enquanto a de Chicago tem capacidade para 2.000 notebooks. Os revendedores em Los Angeles 
precisam receber 4.800 unidades, enquanto na Flórida são 3.000 unidades. Os custos de 
transporte são apresentados a seguir: 
 
O modelo para minimizar os custos de transporte incorridos é um exemplo do seguinte problema 
típico de programação linear: 
Problema de transporte. 
62. Um fazendeiro está definindo a sua estratégia de plantio para as culturas de trigo, arroz e milho 
na próxima safra. A produtividade de sua terra para as culturas desejadas é: 0,3 kg/m2 para o 
trigo; 0,4 kg/m2 para o arroz; e 0,5 kg/m2 para o milho. O lucro de produção é de 11 centavos por 
kg de trigo, 5 centavos por kg de arroz e 2 centavos por kg de milho. 
 
O fazendeiro dispõe de 400.000m2 de área cultivável, sendo que, para atender às demandas de 
sua própria fazenda, deve ser plantado, no mínimo, 500m2 de trigo, 1000m2 de arroz e 20.000m2 
de milho. Ainda, devido à restrição de capacidade de armazenamento dos silos da fazenda, a 
produção está limitada a 100 toneladas. 
 
Adote a área a ser plantada como a variável de decisão para o modelo matemático deste 
problema, ou seja, xi = área em m2 a ser plantada da cultura do tipo i = (T-Trigo, A-Arroz, M-Milho). 
Assim, a restrição associada à área total disponível para plantio é: 
Xt+Xa+Xm≤400.000 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 45 
 
63. (Adaptado de GOLDBARG; LUNA, 2005) A Tabela a seguir apresenta a proporção de cada material 
na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação por uma metalúrgica que deseja 
maximizar sua receita bruta. O preço está cotado em Reais por tonelada da liga fabricada. 
Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. 
 
 
A variável de decisão para a modelagem deste problema é xi que indica a quantidade em 
toneladas produzidas da liga especial de baixa resistência (i = 1) e especial de alta resistência (i 
= 2). Assim, a função objetivo deste problema é: 
Max f(x) = 3.000 x 1 + 5.000 x 2 
64. (Adaptado de GOLDBARG; LUNA, 2005) Um fazendeiro está definindo a sua estratégia de plantio 
para as culturas de trigo, arroz e milho na próxima safra. A produtividade de sua terra para as 
culturas desejadas é: 0,3 kg/m2 para o trigo; 0,4 kg/m2 para o arroz; e 0,5 kg/m2 para o milho. O 
lucro de produção é de 11 centavos por kg de trigo, 5 centavos por kg de arroz e 2 centavos por 
kg de milho. 
 
O fazendeiro dispõe de 400.000m2 de área cultivável, sendo que, para atender às demandas de 
sua própria fazenda, deve ser plantado, no mínimo, 500m2 de trigo, 1000m2 de arroz e 20.000m2 
de milho. Ainda, devido à restrição de capacidade de armazenamento dos silos da fazenda, a 
produção está limitada a 100 toneladas. 
 
Adote a área a ser plantada como a variável de decisão para o modelo matemático deste 
problema, ou seja, xi = área em m2 a ser plantada da cultura do tipo i = (T-Trigo, A-Arroz, M-Milho). 
Assim, a função objetivo é: 
Max f(x) = 0,033xt + 0,02xa + 0,01xm 
65. A programação linear é uma técnica matemática usada para otimizar recursos limitados e tomar 
decisões eficientes em situações em que existem restrições. Os modelos de programação linear 
são amplamente aplicados em diversas áreas, como logística, produção, finanças e transporte. 
Com relação a esse tema, analise as seguintes asserções: 
 
l. A definição correta das variáveis de decisão é o passo mais importante no desenvolvimento de 
modelos de programação linear. 
 
PORQUE 
 
II. Um equívoco na seleção das variáveis de decisão resulta em erros na identificação da função 
objetivo e do conjunto de restrições. 
 
Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta razão entre 
elas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da l. 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 46 
 
66. Um hospital precisa alocar enfermeiros para diferentes turnos de trabalho, levando em 
consideração os custos associados a cada alocação. Qual é o objetivo final do Problema da 
Alocação? 
Minimizar o custo total. 
67. No desenvolvimento de modelos de programação linear, existem classes de modelos que são 
considerados como "problemas típicos". Esses modelos são adaptáveis a diversas situações 
práticas e seguem padrões semelhantes, formando diferentes "classes" de problemas. Conheceresses padrões e entender a lógica por trás da construção desses modelos matemáticos é crucial 
para a modelagem eficiente de problemas de programação linear. 
 
Qual é a importância de conhecer os padrões e entender a lógica por trás da construção dos 
modelos matemáticos de programação linear? 
Simplifica a construção de modelos matemáticos complexos. 
68. A seguir, será apresentado um estudo de caso que propõem uma oportunidade de otimização 
de recursos financeiros enquanto promovem um estilo de vida saudável. Analise o estudo de 
caso nutricionista e assinale o que se pede. Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma 
alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma nutricionista, que lhe recomendou que eles 
consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. 
Mas essa mãe também está preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos filhos a dieta 
equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre 
informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado a seguir. 
Tabela de informações nutricionais em mg: 
 
 
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa 2,00, um quilo de carne 
custa 20,00, um quilo de peixe custa 25,00, e que para preparar 100g de salada ela gastaria 3,00. 
O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, buscando minimizar o 
custo, é dado por: 
 
Sendo: X1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças 
X2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças 
X3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças 
X4 = 100 g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças 
O custo mínimo que a mãe vai ter é de $ 6,46. Caso a recomendação de ingestão mínima de 
vitamina A passasse para 60 mg por dia, o custo mínimo: 
Aumentaria em $ 2,78. 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 47 
 
69. A busca por uma alimentação equilibrada que atenda às necessidades nutricionais das crianças, 
dentro de um orçamento familiar controlado, é um desafio que muitos pais enfrentam. Neste 
cenário, o objetivo é minimizar o custo total da dieta diária, garantindo ao mesmo tempo que as 
recomendações nutricionais sejam atendidas. Vamos olhar o exemplo da mãe buscando uma 
dieta balanceada, mas agora em função da minimização do custo total. 
Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma 
nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 
70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. Mas essa mãe também está preocupada com os custos. 
Ela deseja oferecer aos filhos a dieta equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar 
nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre informações nutricionais para diferentes tipos de 
alimento, conforme apresentado a seguir. 
Tabela de informações nutricionais em mg: 
 
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa 2, 00, um quilo de carne 
custa 20,00, um quilo de peixe custa 25, 00, e que para preparar 100g de salada ela gastaria 3,00. 
O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, buscando minimizar o 
custo, é dado por: 
 
Sendo: X1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças 
X2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças 
X3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças 
X4 = 100 g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças 
O custo mínimo para esse problema é de: 
6,46 
 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 48 
 
70. Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma 
nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 
70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. 
Essa mãe também está preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos filhos a dieta 
equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre 
informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado a seguir. 
 
Tabela de informações nutricionais em mg: 
 
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa 2, 00, um quilo de carne 
custa 20,00, um quilo de peixe custa 25, 00, e que para preparar 100g de salada ela gastaria 3,00. 
O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, buscando minimizar o 
custo, é dado por: 
 
 
71. Uma confeitaria produz três tipos de bolos: de chocolate, de laranja e de limão. As quantidades 
de alguns ingredientes de cada tipo de bolo estão na tabela a seguir: 
 
O modelo matemático para o planejamento da produção diária de bolos, com o objetivo de 
maximizar o lucro da confeitaria, é dado por: 
 
Com base nesses dados, respondonda às questões. Em relação ao dual para o problema, é 
correto afirmar que: 
As variáveis de decisão do dual são não-negativas. 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 49 
 
72. No cenário de uma confeitaria que busca otimizar sua produção diária de bolos para maximizar o 
lucro, enfrenta-se o desafio de equilibrar a demanda do mercado, os custos dos ingredientes e 
as limitações da capacidade de produção. A formulação do problema dual neste contexto oferece 
uma perspectiva valiosa, focando na análise dos recursos e restrições ao invés dos produtos 
finais. Uma confeitaria produz três tipos de bolos: de chocolate, de laranja e de limão. As 
quantidades de alguns ingredientes de cada tipo de bolo estão na tabela a seguir: 
 
O modelo matemático para o planejamento da produção diária de bolos, com o objetivo de 
maximizar o lucro da confeitaria, é dado por: 
 
 
Com base nesses dados, respondonda às questões. A função objetivo do dual do problema é: 
Min w = 8Y1 + 10Y2 + 70Y3 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 50 
 
73. A aplicação de Métodos Quantitativos é uma ferramenta que visa a solução de problemas, como 
o custo mínimo, no estudo de caso de nutrição a seguir. O custo mínimo para resolver este 
problema de nutrição não se resume apenas a um número; ele representa uma abordagem 
holística que equilibra saúde, nutrição e economia doméstica. Considere o seguinte estudo de 
caso. 
Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma 
nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 
70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. 
Mas essa mãe também está preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos filhos a dieta 
equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre 
informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado a seguir. 
 
Tabela de informações nutricionais em mg: 
 
 
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa 2,00, um quilo de carne 
custa 20,00, um quilo de peixe custa 25,00, e que para preparar 100g de salada ela gastaria 3,00. 
O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, buscando minimizar o 
custo, é dado por: 
 
Sendo: 
X1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças 
X2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças 
X3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças 
X4 = 100 g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças 
O custo mínimo que a mãe vai ter é de $ 6,46. Caso recomendação de ingestão mínima de vitamina 
C passasse para 100 mg por dia, o custo mínimo: 
Não sofreria alteração. 
 
Métodos Quantitativos 
Marcio Quirino - 51 
 
74. A tomada de decisões é crucial para se determinar o custo e lucro de uma determinada ação. 
Sobre o custo mínimo, no caso de nutricional a seguir, analise o que se pede. 
Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma 
nutricionista, que lhe recomendou