Lista35 Derivada Direcional Vetor Gradiente

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SEÇÃO 14.6 DERIVADAS DIRECIONAIS E O VETOR GRADIENTE  1
1-5 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na 
direção indicada pelo ângulo θ.
 1. = pi+ =, , 31, 2f x, y x 2y 3 2x 4y
 2. pi= + =, , 3 44, 2f x, y sen x 2y
 3. pi== , , 25, 0f x, y xe 2y
 4. pi== , , 3 43, 1f x, y x 2 y 3
 5. pi== , , 21, 2f x, y y x
6-9
(a) Determine o gradiente de f.
(b) Calcule o gradiente no ponto P.
(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
 6. = =+ , , u 35 ,
4
5P 0, 1f x, y x 3 4x 2y y 2
 7. pi= =, , u
1
5
,
2
5
P 1, 4f x, y e x sen y
 8. = =, , u
1
3
,
1
3
,
1
3
P 1, 2, 1f x, y, z xy 2z3
 9. + += , ,
u 23,
1
3 ,
2
3
P 2, 0, 3f x, y, z xy yz2 xz3
10-17 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na 
direção do vetor v.
 10. = =, , v 1, 36, 2f x, y x y
 11. = =, , v 12, 55, 1f x, y x y
 12. += =, , v 2 i 3 j3, 0g x, y xe xy
 13. g = =, , v i j1, 6pix, y e x cos y
 
 14. = =, , v 4, 2, 42, 4, 2f x, y, z xyz
 15. = = ++ , , v i 2 j 3k2, 1, 1g x, y, z xe yz xye z
 16. = += , , v i j k1, 2, 2g x, y, z x tg 1 y z
 17. = ++= , , v 3 i 4 j 12k1, 6, 2g x, y, z z3 x 2y
18-23 Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a 
direção em que isso ocorre. 
 18. += , 4, 10f x, y x 2 2y
 19. pi pi= + , 6, 8f x, y cos 3x 2y
 20. = + , 1, 0f x, y xe y 3y
 21. = + , 1, 2f x, y ln x 2 y 2
 22. = + , 4, 3, 1f x, y, z x y z
 23. = + , 4, 2, 1f x, y, z
x
y
y
z
24-30 Determine as equações (a) do plano tangente e (b) da reta 
normal para a superfície dada no ponto especificado.
 24. =+ + , 1, 1, 1xy yz zx 3
 25. = , 1, 2, 3xyz 6
 26. =+ + , 1, 0, 1x 2 y 2 z2 2xy 4xz 4
 27. =+ , 3, 2, 1x 2 2y 2 3z2 xyz 4
 28. = , 1, 0, 5xe yz 1
 29. =++ , 2, 2, 24x 2 y 2 z 2 24
 30. =+ , 1, 1, 2x 2 2y 2 z 2 3
 
14.6 DERIVADAS DIRECIONAIS E O VETOR GRADIENTE Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
2  SEÇÃO 14.6 DERIVADAS DIRECIONAIS E O VETOR GRADIENTE
 1. 7 3 − 16 2. 22
 3. -10 4. −672 2
 5. 1
 6. (a) 3x 2 − 8xy i + 2y − 4x 2 j
(b) −2 j (c) − 85
 7. (a) ex sen y i + ex cos y j
(b) 22 e (i + j) (c)
1
10 e
 8. (a) y2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2
(b) 4,−4, 12 (c) 203
 9. (a) y + z 3 , x + z 2 , 2yz + 3xz 2
(b) 27, 11, 54 (c) 433
 10. − 2 105 11. 
7
52
 12. 29
13
 13. 1+ 32 2 e
 14. 16 15. −
e 14
7
 16. − pi4 3 17. 8
 18. 176 , 4, 1 19. 
13
2 , 3,−2
 20. 5, 1, 2 21. 2 55 , 1, 2
 22. 11, 1,−1,−3 23. 172 , 1, 0,−4
 24. (a) x + y + z = 3
(b) x = y = z
 25. (a) 6x + 3y + 2z = 18
(b) 16 (x − 1) =
1
3 (y − 2) =
1
2 (z − 3)
 26. (a) 3x − y + z = 4
(b) x − 1
3
= −y = z − 1
 27. (a) 8x + 5y = 14
(b) x − 3
8
=
y + 2
5
, z = −1
 28. (a) x + 5y = 1
(b) x − 1 = y
5
, z = 5
 29. (a) 4x + y + z = 12
(b) x − 2
4
= y − 2 = z − 2
 30. (a) x + 2y + 2z + 3 = 0
(b) x + 1 = y − 1
2
=
z + 2
2
 
14.6 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
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