AUTOVETORES, AUTOVALORES E DIAGONALIZAÇÃO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE
CECE - CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
Bruna Stuani
	
AUTOVETORES, AUTOVALORES E DIAGONALIZAÇÃO
06 DE NOVEMBRO DE 2014
TOLEDO - PARANÁ
1 INTRODUÇÃO 
O estudo de sistemas de equações lineares originou a álgebra linear, sendo este, um estudo de suma importância na matemática. Conceitos como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações e matriz fazem parte do seu conteúdo.
Autovetores e autovalores são conceitos bastante utilizados na álgebra linear, ambos podem ser denominados ainda como valores próprios e vetores próprios. São de forma geral utilizados em problemas que envolvem sistemas dinâmicos, pois por meio deles pode ser estudada a estabilidade de sistema.
As matrizes são impresindiveis para o estudo de autovetores e autovalores. Um dos primeiros estudos realizados sobre matriz provê de Arthur Cayley (1821-1895) considerado um dos maiores matemáticos com grandes contribuições para esta ciência.
Estudos relacionados com matriz foram iniciados por volta do segundo século a. C., porém só tomaram maiores proporções nas décadas 1920 e 1930 e com os estudos relacionas com a teoria quântica que o estudo das matrizes tornaram-se fundamentais. Conceito como autovetores e autovalores devem possuir maior atenção devido as suas inúmeras aplicações como: mecânica quântica, processamento de imagem, analise de vibrações, mecânica dos sólidos, teoria dos operadores lineares diferenciais e integrais entre outros.
Para a diagonalização de matrizes, o objtivo é encontrar uma base do espaço vetorial V em que a matriz de um determinado operador linear T:V→V seja a matriz a mais simples possível.
Em geral necessita-se de uma matriz semelhante, na qual consiste em uma matriz A, B de ordem n x n na qual B só é semelhante de A, se existir matriz inversível. Uma diagonalização em A ocorre se ela for semelhante a matriz diagonal. 
Portanto, autovetores autovalores e diagonalização de matrizes, constituem de um estudo da álgebra linear na qual possui aplicação em várias ciências, sendo elas, na economia, engenharias, finanças, matemática e estatística.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
2. 1 Autovetores e autovalores 
Se f: V → V for operador linear, um vetor v E V, v é diferente de 0, o vetor o próprio operador f é o auto vetor se existir λ E R tal que:
F(v)= λv
Assim o número real λ é associado ao vetor próprio v. Um vetor f é diferente de 0 se sua imagem for f (v) e for múltiplo escalar de v. No casos de R2 e R3 diz-se que v e f(v) possuem a mesma direção.
Como uma transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então:
T(v) = Av
AoIgualar (I) e (II), tem-se:
Av =λvou Av – λv = 0 que resulta em :
(III) (A – λI) v = 0
Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).
	Os vetores v 0 para os quais existe um λque resolve a equação (III) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de λ, que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores.
	Se o fizermos o determinante da equação(III) igualado a zero teremos valores não usuais det(A – λI) = 0
o que resulta em um polinômio de grau n em l, conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.
	Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor
Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de
solução da equação (III), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor.
Se μ é um autovalor de uma matriz A, definimos o autoespaço associado a μ como o conjunto de todos os vetores obtidos pela combinação linear dos autovetores associados a μ. Denotamos este conjunto por:
Sμ = { v V : Av = μ v }
Proposição: O conjunto Sμ é um subespaço vetorial de V gerado pelos autovetores associados a μ.
Demonstração: O vetor nulo não é um autovetor mas 0 Sμ pois A 0 = μ 0.
Se v Sμ e w Sμ, então Av=μ v e Aw=μ w, logo
A(v+w) = Av + Aw = μ v + μ w = μ (v+w)
e concluímos que v+w Sμ.
Analogamente, se v Sμ e k K, então:
A(kv) = μ (kv)
e concluímos que kv Sμ.
2. 2 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES 
Uma matriz diagonal mais simples possível ocorre transformações eu envolvem o Rn, no qual pelo menos uma matriz diagonal, porém não é possível encontrar para qualquer transformação linear matrizes diagonais, um exemplo seria as rotações, pois uma rotação transforma um vetor em outro diferente. 
Existem casos em que uma matriz A e B possuem a mesma transformação linear, porém com bases distintas, se e somente se:
B= P-1 AP
Para alguns casos a matriz invesivel P; a matriz P precisamente a matriz de mudançade coordenadas, quando se passa de uma base para outra. Assim tem-se uma transformação linear, representada em uma certa base por uma matriz A, dessa forma a base que representa a transformação linear é a matriz diagonal D se reduz a encontrar uma matriz invisível P tal que:
D= P-1 AP
Assim é possível ser estabelecida a seguinte definição:
Sejam A, B matrizes n × n. Dizemos que B ´e semelhante a A, se existe uma matriz invertível tal que:
B= P-1 AP
Dizemos que uma matriz A édiagonalizável, se ela é semelhante a uma matriz diagonal.
3 CONCLUSÃO 
Autovetores, autovalores e diagonalizáção são conteúdos que fazem parte da álgebra linear e são de grande valia para conteúdos relacionados. 
Consistem em conhecimento para resoluções de matrizes e sistemas lineares, bem como determinação dos determinantes relacionados. 
Portanto, autores, autovalores e diagolizaçãosão de suma importância a várias ciências como a engenharia, além disso, atua simplificando alguns conteúdosrelacionados.
4 REFERÊNCIAS
FILHO, J. M. Sobre um método assemelhado ao de Francis para a determinação de autovalores de matrizes. Dissertação (Mestrado) – Instituto de Biociências, Letras e Ciências da Universidade Estadual de São José do Rio Preto, São Paulo.
YARTEY, J. N. A. Algebra Linear diagonalização de operadores. Universidade Estatual Vale do Acaraci - Sobral - CE.
AFONSO, A. P. Aplicações de Álgebra Linear.
Disponível em <http://www.matematiques.com.br>. 
Acesso em 06/09/2013.	
LIMA, P.E., SOUZA, L. F. R. Autovalores e autovetores: conceitos e uma aplicação a um sistema dinâmico. Revista eletrônica e ciência (REEC) v-3 n.1p. 22-28 2013.