Resumo EDO de Primeira Ordem.pdf

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RESUMO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM 
 
 
Equações de Variáveis Separáveis 
 
0'),(),(  yyxNyxM
, onde 
M
 e 
N
 podem ser constantes, funções de apenas uma 
variável ou produtos com fatores de uma só variável. 
 
Equações Homogêneas 
 
0'),(),(  yyxNyxM
, quando 
M
 e 
N
 são funções homogêneas de mesmo grau. Neste 
caso, faz-se a mudança de variável
xty 
, com 
'' xtty 
. 
 
Equações Redutíveis 
 
0')()( 222111  ycybxacybxa
; quando as retas 
0111  cybxa
 e 
0222  cybxa
 têm interseção 
),( 
, faz-se a mudança 
 ux
 e 
 vy
, 
recaindo em uma equação homogênea; quando as retas 
0111  cybxa
 e 
0222  cybxa
 são paralelas, faz-se a mudança 
tybxa  11
, com 
''11 tyba 
, 
recaindo em uma equação de variáveis separáveis. 
 
Equações Exatas 
 
0'),(),(  yyxNyxM
, quando 
xy NM 
. 
 
Fator Integrante 
 
Se existe 
)(x 
 (ou 
)(y 
) tal que 
0)'(  NyM
 é uma equação exata, então 
 

 dxNM
N
xy
ex
1
)( (ou    dyMNM yxey 1)( ). 
 
Equações Lineares 
 
𝒚′ +𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙); resolve-se multiplicando a equação pelo fator integrante 
dxxP
ex 
)(
)(
. 
 
Equação de Bernoulli 
 
𝒚′ +𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚𝒏, 
0n
, 
1n
; resolve-se dividindo a equação por 𝑦𝑛 e fazendo a 
substituição 𝑡 = 𝑦1−𝑛, recaindo em uma equação linear. 
 
Equação de Riccati 
 
𝒚′ +𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚𝟐 + 𝑹(𝒙); resolve-se fazendo a substituição 𝑦 = 𝑧 + 𝑦0, onde 𝑦0 é 
uma solução qualquer da equação, recaindo em uma equação de Bernoulli. 
 
 
Equação de Clairaut 
 
)(yyxy  
; resolve-se fazendo a substituição 
py 
 e derivando a equação 
resultante. 
 
Equação de Lagrange 
 













dx
dy
dx
dy
Fxy 
; resolve-se fazendo a substituição 
p
dx
dy

, derivando a equação 
resultante, multiplicando por 
dp
dx
 e recaindo em uma equação linear em 
)( pxx 
. A 
solução 
))(),(( pyypxx 
é obtida em função do parâmetro 
p
. 
 
Modelos de Equações Diferenciais 
 
- Crescimento e Decrescimento Exponencial 
 
𝑃′ = 𝑘𝑃; 𝑘 > 0 para crescimento e 𝑘 < 0 para decrescimento. 
 
- Lei de Resfriamento de Newton 
 
𝑇′ = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎); 𝑘 < 0. 
 
- Circuitos Elétricos 
 
Circuito 𝑅𝐿: 𝐿𝑖′ + 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) 
 
Circuito 𝑅𝐶: 𝑅𝑞′ +
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) 
 
- Crescimento Logístico 
 
𝑃′ = (𝑘 − 𝑎𝑃)𝑃; 𝑘 > 0 e 𝑎 > 0.