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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA Professor: Comp. Curricular: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Turno: Manha˜ Aluno(a): Matr´ıcula: Curso: Data: 20 / 07 / 2017 2a¯ Prova 1. (2,0 pontos) Assinale V ou F e justifique. ( ) Se o plano pi e´ ortogonal a` reta r, ~n e´ um vetor normal de pi e ~v e´ um vetor diretor de r, enta˜o ~v · ~u = 0. ( ) Considere as retas concorrentes r1 e r2, de direc¸o˜es ~v1 e ~v2, respectivamente. Se o plano pi//r1 e pi//r2, enta˜o ~v1 × ~v2 e´ um vetor normal a pi. ( ) As equac¸o˜es pi1 : 5x + y − z + 3 = 0 e pi2 : −10x − 2y + 2z − 6 = 0 representam o mesmo plano. ( ) O vetor ~v = (2, 1, 3) e´ vetor diretor da reta r : x− 5 2 = −y = z − 2 3 . 2. (2,0 pontos) Determine: (a) a equac¸a˜o parame´trica da reta r1 que passa por A(2, 0, 0) e tem direc¸a˜o ~v = (4, 5, 3). (b) o valor de n, para que seja de 45◦ o aˆngulo entre a reta r1 (obtida no ı´tem anterior) e a reta r2 : y = nx+ 5z = 2x− 2. 3. (3,0 pontos) Determine: (a) uma equac¸a˜o geral para o plano pi que conte´m a reta r1 e e´ paralela a reta r2, onde r1 : x = −1 + t y = 3− 2t, t ∈ R z = −1− t. e r2 : y = x− 3z = −x+ 1. (b) Determinar a distaˆncia entre as retas r1 e r2 do ı´tem anterior. 4. (1,5 pontos) Determine o ponto de intersec¸a˜o da reta r : y = 2x− 3,z = −x+ 2 com o plano xOz. 5. (1,0 pontos) Escrever equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que passa pela origem e e´ ortogonal a cada uma das retas s : x = −y = −z e r : 2x− 1 3 = y + 2 −2 = 2z − 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA Professor: Comp. Curricular: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Turno: Tarde Aluno(a): Matr´ıcula: Curso: Data: 20 / 07 / 2017 2a¯ Prova 1. (2,0 pontos) Assinale V ou F e justifique. ( ) O vetor ~v = (−6, 9, 18) e´ um vetor diretor da reta r : x = 3− 2t y = −1 + 3t, t ∈ R. z = −2 + 6t ( ) As retas r1 : x = 1 + √ 2t y = 2, t ∈ R z = −1 e r2 : x = −1 + 5t y = 3, t ∈ R z = 10 sa˜o paralelas. ( ) Se a reta r e´ paralela ao plano xOy, enta˜o para a, b ∈ R, o vetor ~v = (a, b, 0) e´ diretor de r. ( ) O vetor ~v = (3, 2, 1) e´ vetor diretor da reta r : x 3 = −y + 2 2 = z − 3 . 2. (2,5 pontos) (a) (1,0 pontos) Obter equac¸o˜es reduzidas da reta r1 que passa por A(4, 0,−3) e tem a direc¸a˜o de ~v = (2, 1, 1). (b) (1,5 pontos) Determinar o aˆngulo entre as retas r1 (obtida no ı´tem anterior) e a reta r2 : x = −2− yz = 3− 2y. 3. (3,0 pontos) (a) (1,5 pontos) Encontrar o ponto N , projec¸a˜o ortogonal do ponto P (3,−1,−4) sobre o plano pi : −12x+ 6y − 6z + 54 = 0. (b) (1,5 pontos) Determinar a distaˆncia entre o plano pi : −12x + 6y − 6z + 54 = 0 e o plano pi1 que e´ paralelo a pi e passa pelo ponto P (3,−1,−4). 4. (1,5 pontos) Determinar o ponto de intersec¸a˜o da reta r com o plano pi, sendo r : y = x− 10z = −x+ 1 e pi : 2x− y + 3z − 9 = 0. 5. (1,0 pontos) Determinar na reta r : x = 2 + k y = k, k ∈ R z = −1 + 2k um ponto equidistante dos pontos A(2,−1,−2) e B(1, 0,−1).
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