0 - Derivadasexplog

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Derivadas das func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
• A func¸a˜o f(x) = 2x possui reta tangente na origem com coeficiente angular menor que 1. Uma
ide´ia para ”justificar”este fato e´ que a reta secante ao gra´fico de y = 2x passando por (0,1) e (1,2)
tem inclinac¸a˜o 1, e ”portanto”a reta tangente deve possuir inclinac¸a˜o menor que 1.
–1
0
1
2
3
y
–2 –1 1 2
x
y = 2x
coef. angular ≡ lim
h→0
2h − 20
h
< 1
y = x
y = x+ 1
• A func¸a˜o f(x) = 3x possui reta tangente na origem com coeficiente angular maior que 1. A tabela
abaixo ajuda a aceitar este fato!
h 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,00000001
3h−1
h
1,161232 1,104669 1,099216 1,098673 1,098618 1,098613 1,098612
Enta˜o, temos lim
h→0
3h − 30
h
> 1.
• Portanto, deve existir um nu´mero real entre 2 e 3, que designaremos por ”e”, de modo que a reta
tangente ao gra´fico de y = ex na origem possui coeficiente angular 1. Como 2 < e < 3, o gra´fico da
func¸a˜o y = ex e´ da forma:
–2
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
y = ex
y = x+ 1
y = x
e como a reta tangente ao gra´fico em (0,1) possui coeficiente angular igual a 1, obtemos:
1 = lim
h→0
eh − e0
h
= lim
h→0
eh − 1
h
Usando a igualdade acima temos que, para valores de h muito pro´ximos de zero, vale que 1 ≈ eh−1
h
logo, h+ 1 ≈ eh. Consequ¨entemente e ≈ (1 + h)1/h.
De fato, vale que lim
h→0
(1 + h)1/h = e. Usando a identidade obtida acima, podemos calcular o
valor aproximado de: e ≈ 2, 7182818284590452353602874713527.
h 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,00000001
(1 + h)1/h 2,593742 2,704814 2,716924 2,718146 2,718268 2,71828 2,718281694132
• d
dx
(
ex
)
=??
d
dx
(
ex
)
= lim
h→0
ex+h − ex
h
= lim
h→0
ex
(eh − 1)
h
= ex lim
h→0
(eh − 1)
h
= ex · 1 = ex
Mais tarde, calcularemos
d
dx
(
ax
)
, com a ∈ R, a > 0.
Como o gra´fico de uma func¸a˜o exponencial de base a, a > 0 y = ax e´ de uma das seguintes
formas,
–2
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
–2
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
a > 1 0 < a < 1
segue que qualquer func¸a˜o exponencial satisfaz o ”teste da reta horizontal”, e portanto e´ invert´ıvel.
A inversa func¸a˜o exponencial y = ax e´ a func¸a˜o y = logax (logaritmo de base a).
Denotaremos por ln a func¸a˜o loge (a func¸a˜o inversa de e
x!). As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
verdadeiras:
- a) Dom(loga) = Im(a
x) = (0,∞)
Im(loga) = Dom(a
x) = R
- b) loga(a
x) = x, para todo x ∈ R
aloga(x) = x para todo x ∈ (0,∞)
- c) loga(x) = y ⇔ ay = x (esta, em geral, e´ a definic¸a˜o de loga que os alunos estudam no
ensino Me´dio).
- d) • loga(xz) = loga(x) + loga(z) x, z > 0
• loga(xz) = z · loga(x) x > 0 e z ∈ R
• loga(xz ) = loga(x)− loga(z) x, z > 0
(justifica-se usando as propriedades das exponenciais: ax · az = ax+z e (ax)z = axz.
- e) O gra´fico de y = loga(x) e´ obtido refletindo-se o gra´fico de y = a
x:
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–6 –4 –2 2 4 6 8 10
x
a > 1 0 < a < 1
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–6 –4 –2 2 4 6 8 10
x
- f) • lim
x→+∞
loga(x) = +∞, a > 1
• lim
x→+∞
loga(x) = −∞, 0 < a < 1
• lim
x→0+
loga(x) = −∞, a > 1
• lim
x→0+
loga(x) = +∞, 0 < a < 1
Segue das duas u´ltimas obs que x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de y = loga(x).
- g) Derivada da func¸a˜o exponencial de base a.
Como ax = eln(a
x) = exln(a), usando a Regra da Cadeia, temos
d
dx
(
ax
)
=
d
dx
(
exln(a)
)
= exln(a) · d
dx
(xln(a)) = exln(a)·ln(a) = ax · ln(a)
- h) Derivada da func¸a˜o logar´ıtmica de base a.
Como y = loga(x)⇔ ay = x, segue, derivando implicitamente em relac¸a˜o a` x, que
d
dx
(
ay
)
= ay · ln(a) · d
dx
(y) = 1 ⇔ xln(a) · y′(x) = 1 ⇔ y′(x) = 1
x · ln(a)
Em particular,
d
dx
(
ln(x)
)
=
1
x
.