Lista2 Series de Potencias

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MAT 029 - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I – Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Segunda Lista de Exerc´ıcios - Se´ries de Poteˆncias
1. (a) Mostre que a se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n−1
(2n− 1)! converge pelo teste da se´rie alternada.
(b) Determine uma aproximac¸a˜o da soma da se´rie
+∞∑
n=1
(−1)n−1
(2n− 1)! com precisa˜o
de treˆs casas decimais.
2. Seja f(x) =
+∞∑
n=0
(−1)n(x− 2)n.
(a) Determine o domı´nio de f.
(b) Calcule f(3/2).
(c) Escreva a se´rie de poteˆncias que define a func¸a˜o f ′.
(d) Determine o domı´nio de f ′.
3. Seja f a func¸a˜o definida pela se´rie de poteˆncias
+∞∑
n=0
xn+1
(n+ 1)2
= x+
x2
4
+
x3
9
+ · · ·+ x
n+1
(n+ 1)2
+
xn+2
(n+ 2)2
+ . . .
(a) Determine o domı´nio de f .
Resp: Df = [−1, 1]
(b) Escreva a se´rie de poteˆncias que define a func¸a˜o f ′ e determine o domı´nio
de f ′.
Resp: f ′(x) =
+∞∑
n=0
xn
(n+ 1)
e D′f = [−1, 1).
4. Obtenha uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias em torno de a (dado abaixo)
para as func¸o˜es, abaixo, e determine o intervalo de convergeˆncia de cada uma.
1
(a)f(x) =
√
x+ 1, a = 0; (b)f(x) = cos
√
x+ 1, a = 0;
(c)f(x) =
2
(1− x)3 , a = 0; (d)f(x) = (1−
x
2
)−2, a = 0;
(e)f(x) = x4 − 2x3 − 5x+ 4, a = 0; (f)f(x) = x
2
2
− 1 + cos(x), a = 0;
(g)f(x) = senh(x) =
ex − e−x
2
, a = 0; (h)f(x) = x2 cos(x2), a = 0.
5. Determine uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a integral dada e deter-
mine o seu raio de convergeˆncia.
(a)
∫ x
0
e−t
2
dt
∫ x
0
e−t
2
dt =
+∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
n!(2n+ 1)
, x ∈ R, R = +∞
(b)
∫ x
0
ln(1 + t) dt
∫ x
0
ln(1 + t) dt =
+∞∑
n=0
(−1)n x
n+1
n(n+ 1)
, R = 1
(c)
∫ x
0
1− cos(t)
t2
dt
∫ x
0
1− cos(t)
t2
dt =
+∞∑
n=1
(−1)n+1 x
2n−1
(2n− 1)(2n)! , R = 4
6. Use se´rie de poteˆncias para calcular
∫ 1
0
1− cos(x)
x2
dx com cinco casas decimais.
7. Determine uma aproximac¸a˜o de cos(1/5) com prescisa˜o de treˆs casas decimais.
8. (a) Utilize a se´rie de poteˆncias de g(x) =
1
1− x , |x| < 1, para determinar uma
representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para f(x) =
x2
(1− x3)2 , encontrando o
raio de convergeˆncia desta se´rie.
(b) Utilize o item a) para provar que
+∞∑
n=1
(−1)3n−1 n
23n−1
=
(
2
3
)4
.
9. Seja f a func¸a˜o definida por f(x) =
{
e−1/x
2
se x 6= 0
0 se x = 0
Determine a se´rie de
Maclaurin para f e mostre que ela converge para todos os valores de x, mas que
ela representa f(x) somente se x = 0.
10. Qua˜o precisa e´ a aproximac¸a˜o sen(x) = x quando |x| < 10−3? Para quais valores
de x ocorrera´ de x < sen(x)?
11. (a) Use a identidade sen2(x) =
1− cos(2x)
2
para obter a se´rie de Maclaurin para
sen2(x).
(b) Derive sen2(x).
(c) Determine sen(2x).
2
12. Para quais valores positivos de x voceˆ pode substituir ln(1 + x) por x com um
erro que na˜o ultrapasse 1% do valor de x?
13. Calcule
(a) lim
x→∞
(x+ 1)sen
1
x+ 1
(b) lim
x→0
x− arctg(x)
x3
(c) lim
x→2
x2 − 4
ln(x− 1)
(d)
∫ 0,2
0
sen(x2) dx, com erro menor que 10−3
(e)
∫ 0,2
0
e−x − 1
x
dx, com erro menor que 10−3.
14. Use se´rie binomial e o fato de que
d
dx
sen(x) =
1√
1− x2
para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da se´rie de Taylor para
arcsen(x). Qual e´ o raio de convergeˆncia?
15. Resolva utilizando se´ries de poteˆncias.
(a) y′′ + exy′ − y = 0, quando o ponto ordina´rio for x0 = 0.
(b) y′′ − y = −x, quando o ponto ordina´rio for x0 = 2.
(c) (x2 + 1)y′′ + xy′ − y = 0, quando o ponto ordina´rio for x0 = 0.
(d) y′′ + (cos(x))y′ = 0, quando o ponto ordina´rio for x0 = 0.
16. Verifique que y =
+∞∑
n=0
(−1)n
22n(n!)
2x2n e´ soluc¸a˜o de xy′′ + y′ + xy = 0.
17. Use uma se´rie de poteˆncias para calcular, com precisa˜o de quatro casas decimais,
o valor da quantidade dada.
(a) arctg(1/5) (b) sen(0, 3) (c) 3
√
130
(d) arcsen(1) (e) cos(3◦) (f) 4
√
e
(g) ln 5
3