Capitulo 2 Limites y derivadas

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Las referencias siguientes contienen explicaciones de estos mktodos. Lea una o varias y escriba 
un infonne en que compare Los m&odos de Fe-t o de Barrow con 10s m.%dos modemos. En 
particular, aplique el m&do de la secci6n 2.8 para hallar una ecuaci6n de la recta tangents a la 
cum y = $ + 2x, en el punto (1, 3) y mnestre c6mo habrian resuelto Fennat o Barrow el mismo 
problema. Aunque usted us6 derivadas y ellos no, s&ale las semejanzas entie 10s dos m&&s. 
1. Carl Boyer y Uta Mabach, A History of Mathemtics (Nueva York: John Wiley, 19891, 
DO. 389.432. 
. I 
2. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (NuevaYork: Springer-Verlag, 
19791, pp. 124, 132. 
3. Howard~ves, An introduction to the Histmy of Mathematics, 6a. ed. (Nueva York: Saunders. 
1990), pp. 391,395. 
4. Morris Kline, Mathematical Thoughrfmm Ancient to Modem Times t,iVueva York: Oxford 
University Press, 1972). pp. 344,346. 
2.9 Derivada coma funcih ...“..j‘..I. .,. 
En la secci6n anterior consideramos la detivada de una ftmci6nfen un ntimero fijo a: 
f’(a) = l/F0 fb + h) - f(4 h 
En este punto, cambiamos nuestro punto de vista y hacemos que el nthnero u vtie. SI en 
la ecuaci6n 1 reemplazamos a con una variable n, obtenemos 
.f’M = ;yg .a + h) - f(x) h 
Dado cualquier niimero x para el cual ate limite exista, asignamos ax el ndmerof’(x). De 
modo que podemos considerar f' coma una nucva funcik, llamada derivada de f y 
definida por media de la ecuaci6n 2. Sabemos que el valor def’ en x,f’(x), se puede inter- 
pretax geom&icamente coma la pendiente de la recta tangente a la grkfica defen el punto 
C&f (4). 
La funcidnf se conoce corn” derivada def, porque se ha “derivado” defpor media de 
la operaci6n de hallar el lfmite en la ecuaci6n 2. El dominio def’ es el conjunto {x If’(x) 
existe) y puede ser menor que el dominio de$ 
EJEMPLO 1 En la figura 1 se muestra la gr&ica de una funci6nf. &la para graficar 
la derivada.f ‘_ 
Uoserve que donde la derivada es 
,ms,t,va (a !a derecha de C y enrre A y 
8). la funclbn f es creciente. Donde 
f’(.r) es negat~va (8 la lrquierda A y 
entie By Cl, f es decreciente. En la 
secci6n 4.3 se demostrar.2 que esro es 
verdadero oara todas las furnones 
Podemos esnmar Ed vator ae ,a denvacta; cn cuatquer valor de x, trarando la 
tangente en el punto &f(x)) y estimando su pendiente. Por ejemplo, para x = 5, 
traramos la tangente en P de la figura 2a) y estimamos su pendiente coma alrededor de G, 
pm lo tanto,f’(5) - 1.5. Esto nos permite situar el punto P’(5, 1.5) en la gr&ica def ‘, 
directamente debajo de P. Si repetimos ate procedimiento en vaios puntos, obtenemos 
la grzXca que se muestra en la figura 2b). Advierta que las tangentes en A, B y C son 
horizontales, de modo que la derivada es 0 alli y la gr&ica def ’ cmza el eje x en 10s 
puntos A’. B’ y C’, directamente debajo de A, B y C. En& A y B, las tangentes tienen 
pendiente positiva, por lo quef’(x) es positiva alli. Pero entre B y C, las tangentes tienen 
pendientes negativas, de modo que f ‘(xl es negativa alli. 
(b) 
Si una tabla de valores define una funcibn, podemos construir una tabla dc valores 
aproximados de su derivada, coma en el ejemplo siguiente. 
EJEMPLO 2 ._ La tasa de intlu6n en 10s de E&ados Unidos es una funci6n de1 tiempo. 
En la tabla de la izquierda se dan 10s valores a la mitad de1 aio de esta fun&n Z(t), 
durante un periodo de 18 afios (coma un porcentaje anual). Constmya una tabla de 
valores para la derivada de esta funci6n. 
S 0 LU C I d iv Supongamos que no hubo flucmaciones desenfrenadas en la tam de inter& 
entre 10s valores dados. Empecemos hallando una aproximaci6n para Z’(1991), la raz6n 
de cambio de la tasa de inflaci6n en 1991. Ya que 
tenemos 
z,(1991) = lfm Z(l991 + h) - m9w 
h--r0 h 
Z’(1991) = 
Z(1991 + h) - Z(1991) 
h 
para valores pequefios de h. 
Pam h = 2, obtenemos 
Z’(1991) = 
Z(1993) - Z(1991) = 3.0 4.2 = ~0.6 
2 2 
&a es la razdn promedio de cambio entre 1991 y 1993.) Pam h = -2, tencmos 
,,i,991) _ 10989) - Z(1991) = 4.8 - 4.2 
-2 -2 
= -0.3 
que es la rar6n promedio de cambio entre 1989 y 1991. Logramos una aproximacx6n 
m& exacta si tomamos el promedio de estas razones de cambio: 
Z’(1991) = f(-0.6 - 0.3) = -0.45 
Esto significa que en 1991 la tasa de inflaci6n disminuia a razdn de 45% par aio aprox~~ 
madamente. 
Si realiramos c~lculos similares pam 10s demAs valores (excepto en 10s puntos 
extremes), obtenemos la tabla de valores aproximados pam la derivada. 
Y 
12 
10 2, 8 Y = ml 
6 
I , 
1979 1983 1987 1991 1995 ' 
2 
f i 
(b) IMstrela compamndo las grticas defyf’. 
2 ,” 
I_ 
s:I,uc!!!k: 
2 
!/ (a) Cuando se usa la ecuaci6n 2 pan calcular una derivada, hay que recorda que la 
, variable es h y que x se considera temporabnente como una constante, durante el c6lculo 
de1 kite. 
-2 
f’(x) = tz fb + h) -f(n) =py [(x + h)3 - (n + h)] - [x’ - x] 2 
-I- 
h 
h 
f’ =jiq 
x3 + 3x’h + 3xh’ t h3 - x - h - x3 f x 
h 
-1 2 
= lim 3x2h f 3xh’ + h3 - h 
a-0 h 
I 
-2 =;%(3x2t3xh+h2-1)=3.x-l 
@) Usamos un aparato gmficador pam gralicar f y f’ de la figura 4. Advierta que 
f’(x) = 0 cuando f time tangentes horizontales y quef’fx) es positiva cuando las tan- 
gentes tienen pendientes posit&s. De mode que estas gr&icas sirven coma compro- 
baci6n de nuestra soluci6n de1 incise a), 
EJEMPLO 4 1 Si f(x) = m, encuenlre la derivada def: Enuncie cuti es el dominio 
def'. 
f’(x) = lfm fb + h) -f(x) 
h--t0 h 
(x + h - 1) - (x - 1) 
= % h(dm + m) 
= lim 
1 
h-0 Jrn + .JFT 
=JdJx=2Jk 
Vemos que f'(x) existe six > 1, de modo que el dominio def’ es (1, m), !I& es 
menor que el dominio def, el cual es [l, m). 
Hagamos una verificaci6n para ver que el resultado de1 ejemplo 4 es razonable, obser- 
vando las grSicas def y f’ en la figura 5. Cuando x se encuentra cerca de 1, Jx-1 esti 
cerca de 0 de modo que f’(x) = l/(2&7) es muy grade y esto corresponde alas tan- 
gates empinadas cerca de (1, 0) de la figura 5a), y grandes valores def’(x) juste a la 
derecha de 1 en la figura 5b). Cuando x es gmndef’(x) es muy pequetla y esto corresponde 
a las tangentes mb planas lejos a derecha sobre la grtica defy la asintota horizontal de 
la grifica def’. 
w f(X) = Jx - 1 
1-x 
EJEMPLO 5 L_ Hdle f’ si f(x) = 2+x 
f’(x) = FFo 
f(x + h) - .f(.d 
h 
1 - (n + h) l-n 
= lim 2 + b + h) 2+x 
h-0 h 
= lim (1 - x - h)(Z + x) - (I - x)(2 + x + h) 
h-r0 h(2 + n + h)(Z + x) 
= p. c2 
x - 2h - x2 - xh) - (2 - x + N - x2 - xh) 
h(2 + x + h)(2 + x) 
= lfm 
-3h 
h--O h(2 + n + h)(2 + x) 
-3 3 
= lfm 
h-o (2 + x + h)(2 + x) = - (2 + x)’ 
Otras anotaciones 
Si usamos la notaci6n traditional y =f(x) para indicar que la variable independiente es 
n y la dependiente es y, entonces algunas otras notaciones comunes para la derivada 
SXI: 
f’(x) = f = $ = 2 = ;f(x) = Of(x) = D.&x) 
Los simbolos D y dldx se llaman operadores de derivaei6n porque indican la operacicin 
de derivaci6n, que es el proceso de calcular una derivada. 
El sfmbolo dykfx -introducido par Leibniz- no debe de considerarse coma una rank 
(par ahora); es sencillamente un sin6nimo def’(x). No obstante, es una notaci6n titil y su- 
gerente, en especial cuando se usa junta con la notaci6n de incrementos. Con base en 
la ecuaci6n 4 de la secci6n 2.8, podemos volver a escribir la definici6n de derivada en la no- 
tacidn de Leibniz en la forma 
Gottfrled Wilhelm Leibnir nacf6 en 
Lelprig, en 1646. y estudid ieyes, 
teologia, filosofia y matem&as en la 
unlversidad de esa ciudad. Obtuvo ei 
Qrado de bach,ller a 10s 17 aiios. 
Despuk de logiar su doctorado en 
leyes a la edad de 20, ingresd al servi- 
CIO dlplomko y pas6 la mayor pane 
de su vida viajando par las capitales de 
Europa, en m~s~ones diplombticas. En 
pafl~cular, traba,6 para conjuraruna 
amenaza milltar francesa contra AIema 
nia e intent6 reconciliar las iglesias 
catdlica y protestante. 
Su estudio serio de las matematicas 
lo iniclt hasta 1672, cuando se encon- 
traba en una misi6n diplomBtica en Pa- 
ris. Alli construyd una maquina para 
reallzar caxlos y se encontr* CO” 
cientificos. coma Huygens, quienes do- 
weion su atenci6n hacia lx desarro- 
llos mbs recientes en las matemMcas 
y Ias clencias. Lelbniz se emperid en 
desarrollar una ldgica slmbdlica y un 
asterna de notaci6n que simplificara el 
razonamiento ldgico. En la versidn del 
c~lculo que public6 en 1684 estableci6 
la natacidn y ias regias par.3 halIar deri- 
vadas que usamos en la actuaiidad. 
Desgraciadamente. en la d&ada de 
1690 surgi6 una terrible disputa entre 
losseQuidoresde Newtonylos de 
Lelbnlz acerca de q&n habia 
wentado el c8lculo. Leibnlz inciuso 
fue acusado de plagio par lx 
miembros de la Real Academia de 
lnglaterra. La verdad es que cada “no 
lo invent6 par separado. Newton llegd 
pr~mero a su vers16n del cBlculo pen,, 
debido a su tem~r a la controversia, no 
la public6 de Inmediato. Par lo tanto. el 
informe de Leibniz del c6lculo en 1694 
fue el pr~mero en publicane. 
Si deseamos indicar el valor de una derivada dyidr en la notac16n de Leibmz en un n6mero 
especifico a, nsamos la notaci6n 
& 
z j-y o 
dy 1 dJ x=Y 
que es un sin6nimo paraf’(a). 
Una fnnci6nfes derivable en a sif’(a) existe. Es derivable en un 
intervah abierto (a, b) [o (a, @J) o (-a, a), (4, m)] si es derivable en todo 
ntimero de1 intervalo. 
c iD6nde es derivable la funci6nf(x) = / x /? 
Six > 0, entonces 1 x I= x y podemos elegir h suficientemente pequeiio de 
mode qne z + h > 0 y, de donde 1 x + h I= x + h. Por lo tanto, para x > 0 tenemos 
= lim (x + h) - x 
h-0 h 
y asifes diferenciable para cualquier n > 0. 
De KHAKI anibga, pm x < 0 tenemos 1 x I = -x y se puede elegn h sufiaentemente 
pequefio para que x + h < 0 y, ad, 1 x + h / = -(x + h). Por lo tanto, para x < 0, 
f’(x) = lfm ix + hl - IX 
h-0 h 
= lfm 4~ + h) - C-4 
h-0 h 
=pn-+!'":(-')= -1 
con lo quefes derivable para cualquier x < 0. 
Para n = 0 tenemos qua investigar 
f’(O) = ‘,‘41, .m + h) -f(O) h 
=lfm lO+hl- I01 
h-0 h ‘si existe 
Calcnlamos 10s limites por la izquierda y par la derecha par separado: 
Y 
lfm lo+*l-lo = 
h-O- h 
Puesto que son diferentes,f’(O) no existe. Par lo tanto,fes diferenciable en toda x, 
except0 0. 
Y 
A- 
0 x 
(a)r=f(M=lxl 
‘1 &- I’ x 
(b)y=f'W) 
La expresi6n 
da una f6rmula paraf’ y su grtica aparece en la figura 6b). La inexistencia def”(0) se 
refleja geomtttkmente en que la cuxva y = / x 1 no tiene una recta tangente en (0,O). 
[V&se la Fig. 6a).] 
Tanto la continuidad coma la diferenciabilidad son propiedades deseables para una fun- 
ci6n y el teorema siguiente muestra c6mo se relacionan ambas. 
Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a. 
Pam probar quefes continua en a, tenemos que probar que lf,n,,f(x) = 
f(a). Llevamos a cabo esto demostrando que la diferenciaf(x) -f(a) tiende a 0. 
La infonnaci6n dada es quefes diferenciable en a; es deck, 
j’(a) = ,im f(x) -f(a) 
z-0 x-a 
existe. (V&se la EC., 3, Sec. 2.8.) Para vincular lo dado con lo desconocido, dividimos y 
multiplicamosflx) -f(a) porn-a (lo cual es viable cuando x # a): 
f(x) -j(a) = f(; 1 i(u) (X - a) 
Por lo tanto, si usamos la ley de producto y la ecuaci6n 3, podemos escribir 
lim [f(x) -f(a)] = lfm f(x) - f(a) (x _ a) r-n x-0 x-a 
= lfm .fk) - JYa) lim (x - a) 
x-c x-a *-a 
=f’(a).O=O 
Para utilizer lo que acabamos de demostrar, partimos de&) y le sumamos y resramosf(a): 
~$yC”) = pf [f(a) + (f(4 - Jw)l 
= ~+p~ + Ff [f(x) -jwl 
= j(a) + 0 = fhz) 
Por lo tanto, f es continua en a. 
NOTA o 
Por ejemplo, la funci6n f (x) = / x / es continua en 0 porque 
lhho f(n) = lili 1 x I = 0 = f(0) 
(V&se el Ejem. 7, Sec. 2.3.) Pero, en el ejemplo 6 hemos demostramos que jno es dife- 
renciable en 0. 
1x1 a cA.P,T”LO 2 LiMlTES Y DERIVADAS 
._ Formas en que una fun&n es no derivable 
Vimos en el ejemplo 6 que la fun&n y = 1 n 1 es no derivable en 0 y la bgura ba) muestra 
que su gr&ica cambia bruscamente de direcci6n en x = 0. En general, si la grifica de una 
funcidn tiene un “pica” 0 “esquina”, 0 un pliegue entonces la grticaf no tiene tangente en 
este punto y ahi deja de ser derivable. (Al tratar de calcularf’(a), en~~ntmnos que 10s 
limites par derecha e izquierda difieren.] 
El teorema 4 muestra otra forma de una funci6n de ser no derivable. Dice que sifno es 
continua en a, entonces f no es derivable en a. De mode que en cada discontinuidad (coma 
una discontinuidad por salto), la fnnci6n es no derivable. 
Una tercera posibilidad es que la CUIW tenga una recta tang&e vertical cuando x = 
a; es decir,fes continua en a y 
Esto significa que las r&as tangentcs se vuelven m&s y m& pronunciadas cuando x - u. 
En las figuras 7 y Xc) se muestran dos fortnas en que esto puede suceder. Las tres posibi- 
lidades planteadas se ilustran en la figura 8. 
J’t Y4 Y4 __--- ., 
,i’ ‘1. 
_ _. ‘_ _. / _’ 
/ 6_.- _ 1, 
TIC:, lllallCraS para que .f no sea 
diferenciable en a (a) Una esquina (b) Una discontinuidad (c) Una tangente vertical 
Una calculadora graficadora o una computadora ofrece oua manera de ver la diferen- 
ciabilidad. Sifes diferenciable en a, entonces, con amplificaci6n en el punto (a, f (a)), la 
gr&ica se endereza y adquiere m8s y m&s la la apariencia de una recta. (V&se la Fig. 9.) 
Vimos un ejemplo especiiico de esto en la Fig. 3, Sec. 2.X.) Pero no itnporta winto nos 
acerquemos a puntos wmo 10s de las figuras 7 y 8a), no podemos eliminar el punto agudo 
o esquina. (Vtase la Fig. 10.) 
f es diferenciable en a. 
FIGUHA !C 
f no es diferenciable en u 
I 3 Use la g&h dada para estimar el valor de cada derivada 
Luego grafiquef’. 
1. (4 f’(l) 
(b) f’(z) 
(cl f'(3) 
(4 f'(4) 
2 ial ~‘VJ) 
@I f’(l) 
(cl f'(2) 
(4 f'(3) 
(e) f'(4) 
(0 f'(5) 
Y’ 
v=f(x) 
1 
(b) I”(-2) 
(cl f'(-1) 
Cd) f'(O) 
(e) f'(l) 
(0 f’(2) 
k) f'(3) 
. . . . . . . . 
Corn&hone la gr&ica de cada funcih dada en Ias figuras 
+I) con las gr;iticas de SW derivadas (Figs. I-IV). DC Ias 
ramntx pan sus selecciones 
(b) 
Cd) Y 
r 
5-13 Calcule o copie la g&ica de la funci6n dada$ (Suponga 
que 10s ejes tienen escalas iguales.) Luego, aplique elm&do de1 
ejemplo 1 para trazar la gr5fica def’ debajo de ella. 
11. Y 
7 
h 
0 x 
I,, ih Trace una gr8ica cmdadosa defy, debajo dc elk, la gr8- 
fica def’, de la misma manera que en 10s ejercicios 5-13. i,Puede 
conjetumr una f6nnula pam f ‘(x) a putir de su gnlfica? 
14. j(x) ; SalX 15. f(x) = e” 
16. j(n) = in x 
ia) Estime 10s valores de f’(O), f’(i), f’(l), y f’(2) usando un 
aparato graficador para amplificar en la grSca de$ 
(b, Aplique la simetrfa para deducir 10s valores de de f ‘( -1). 
f’(-I), Y f’(-2). 
(cl Con 10s resultados de 10s incises a) y b), proponga una 
f6mmla paraf ‘(x). 
(d) Aplique la definici6n de derivada para prob.% que su 
proposici6n de1 incise c) es correcta. 
i 18. Sea f(x) = x3. 
(a) Estime 10s valores de f’(O), f’(i). f’(l), f’(2), y f’(3) 
usando un aparato graficador para amplificar en la gr.Sfica 
(b) Fpique la simetrfa para deducir 10s valores de f’-i). 
f’(-11, f’(-21, y f’(-3). 
cc) Use 10s valores de 10s incises a) y b) para trazar la grafica 
def’. 
id, Proponga una fkmula paraf ‘(xl. 
ie) Aoliaue la definici6n de derivada para probar sue su 
pripkici6n de1 incise d) es correcta. 
:Y II Encuentre la detivada de la funcidn dada aplicando la 
defmiciiin de derivada. DC 10s dominios de la funci6n y de su 
derivada. 
19. f(x) = 5x + 3 20. f(x) = 5 - 4x + 3x2 
21. f(x) = x’ - x2 + 2x 22. f(x) = x + v5 
23. $4(X, = $cG 
x+1 
24. f(x)= x-1 
4 - 3x 
25. G;iXJ = 2+ 
x 
26. g(x) = + 
27. ,(A, =x4 
29. ia) Gratique f(x) = y’6--x, a parm de la grAfica de y _ & y 
aplicando las transfommciones de la secci6n 1.3. 
(b) Use la gr.$fica de1 incise a) para Uazar la de f ‘. 
(c) Aplique la definici6n de derivada para hallarf ‘(x). ~CuBles 
son 10s dominios defy de f ‘? 
(d) Use un aparato graficador para uazx la gr%~ca de f ’ > 
comptiela con su esquema de1 incise b). 
29. (a) Si j(x) = x (Z/L), enucinre / (x) 
(b) Vea si su respuesta al incise a) es rarunable comparando 
1asgraW1casdefyde.f’. 
30. (a) Si f(t) = 6/(1 + r’), encuentre f’(t). 
gs (b) Vea si su respuesta al incise a) es razonable comparando 
lasgr~ficasdefydef’. 
31. La tam de desempleo U(t) varh con el tiempo. En la tabla SC da 
el porcentaje de desempleo de la fuerra laboral estadounidense 
desde 1988 hasta 1997. 
L 
(a) iCuS1 es el significado de U’(r)? ;C!uzlles son sus unidades’! 
(b) Consvuya una tabla de valores para U’(t). 
32. Sea S(t) la tasa de fumadores entre 10s estudianres de1 Gitimo 
tie de segunda enseiianza superior en el tiempo t. En la tabla 
aparecen 10s porcentajes de 10s alumnos de1 6ltimo aiio que 
informwon haber fumado en 10s liltimos 30 dias. 
(a) ~Qut significa S’(t)? iCu4ies son sus unidades? 
(b) Construya una tabla de valores para S’(r). 
(c) Grafique S y S’. 
(d) iChmo seria posible obtener valores m& exactos para 
s’(t)? 
33. Se da la gr!&a def Indique 10s nlimeros en que f no es dite- 
renciable. Seilale 10s motives de lo anterior. 
34. Se da la grSca deg. 
(s) @.n w&s nlimeros g es discontinua? ~,Por quC? 
(b) En u&s nhmeros g no es diferenciable? iPor qw?? 
$d 35. Granquc la runc~5n f (x) = x + Jr;i Actrquese repetidas 
veces, primero al punto (-1, 0) y despuks al origen. iQuC es 
diferente respecto al comportamiento de f en la vecindad de 
&OS dos pumas? i,QuC concluye acerca de la diferenciabilidad 
def? 
2: 35. Amplifique en 10s puntos (1, 0), (0, 1) y (-1, 0) en la gr&ica de 
ia f”nci6” g(x) = (x2 I)% iQuC advierte? Explique lo que ve 
en tkminos de la diferenciabilidad de 9. 
37. Sea f(x) = $5 
(a) Si a + 0, use la ecuacih 3 de la secci6n 2.8.3 pam hallar 
f’(a). 
[bj Demuestre que f ‘(0) no existe. 
(cj Demuestre que y = G tiene ““a recta taugente vertical en 
(0, 0). (Recuerde la forma de la gr@xa de$ V&se la Fig. 
13, Sec. 1.2.) 
38. (a) Si g(x) = ,?, demuestre que g’(0) no existe. 
(b) Si a # 0, encueutre g’(a). 
(c) Demuestre que y = z?‘” tiene ““a taugente w&al en (0,O) 
am (d) Ilustre el incise c) graficando y = i”. 
35. Demuestre que la funci6n f (x) = 1 x - 6 1 no es diferenciable en 
6. Encuentre una f6nuula para f ’ y trace su @ica. 
40, ,En qut valores es no derivable la funcidn “mayor entero” 
f(x) = [xl? Detenninan una fknnda paraf’ y hater la gr@ica. 
41. (a) Grafique la funcihn f (n) = * 1 x 1. 
(b) iPam cu&s valores de x es f diferenciable? 
(c) Encuentre ““a Mrmula paraj’ 
42. La derivada izquierda y la derivada derecha en f en a se 
definen mediate 
f’(a) = lim .fb + h) - f(n) 
h-o- h 
f(a + h) ~f(4 
Y f:(a) = ,“Inl h 
en case de que existan estos Ifmites. Entonces f ‘(a) existe 51 y 
solo si estas derivadas laterales exisren y son iguales. 
(a) HaIle f ‘(4) yf i(4) para la funcihn 
l0 six<0 
I 
5-x siO<x<4 
f(x) = 1 
~ six>4 
5-x 
(b) Trace la grafica def 
(c) iEn qui valores es discontinua f? 
(d) iEn qut valores la f”nci6n f no es derivable? 
43. Recuerde que se dice que ““a funcihn f es par si f (-x) = f (XJ: 
para toda x en su dominio, y que es im,xzr si f (-x) = -f(x), 
para todas esas x. Pruebe cada ““a de las proposiciones 
siguientes. 
(a) La derivada de ““a fuucidn par es “na funci6n impar. 
(b) La derivada de una funci6n impar es una funciOn par. 
44. Cuando abre un grifo de agua caiiente, la temperatura T del 
agua depende de1 tiempo que el agua ha estado corniendo. 
(a) Trace una gr&fica posible de 7 corn” funci6n del tiempo 
transcurrido desde que se abri6 el grifo. 
(b) Describa c&no v&a la raz6n de cambio de T con respect” 
a I, co”f”rnle tste tianscurre. 
(c) Bosqueje una grafica de la derivada de T. 
45. Sea e, la recta tang&e a la paribola y = x2 el punto (1, I). El 
dngulo de inclinacibjn de C es cl hgulo 4 que hate t? con la 
direccidn positiva del eje de las abscisas. Calcule 4 redon- 
dead” al grad” m5s pr6ximo. 
174 
-. 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
^“... 
2 Repaso 
COMPROBACl6N DE CONCEPTOS ,,,a . . . “..~-.__ 
Exphque cada inicio e ilustre co” u” dibujo. 
(a) f’ff(X, = L (b) xKF+j(x) = L 
(C) i” f(X) = L Cd) ‘fl’ff’d = m 
ie) lfmf(x) = L x-a 
Enuncie la leyes de 10s lhnites siguientes. 
(a) Ley de la suma (b) Ley de la diferencia 
(c) Ley de1 mdltiplo constank? (d) Ley de1 producto 
(e) Ley de1 cociente (f) Ley de la potencia 
(g) Ley de la raiz 
~Que dice la “ley de1 emparedado”? 
(a) &Quk significa enunciar que una recta x = a es ““a asintota 
vertical de la c”rva y = f (x)? Trace c”was para ilustrar las 
posibilidades. 
(b, iQuC significa Amar que la recta y = L es ma asintota 
horizontal de la c”rva y = f (x)? Trace varias curvas que 
ilustren las diversas posibilidades. 
&C”Al de las siguientes c”rvas tiene asintota vertical? y 
jasintota horizontal? 
(a) y =x4 (b) y = senx (c) y=tanx 
(d) y = tan~‘x (e) y = e” (f) y=ln* 
(9) Y = l/x 00 Y = J; 
6. (a) iQuC significa deck q”e f (x) es conmua cn a’! 
(b) ~Quk significa deck que jes continua en el intervaiu 
(-co, m) iQu6 se puede afimw de la gr&fica de ““a funaon 
td? 
7. iQ”t &ma el teorema de1 valor inteanedio? 
8. Escriba ““a expresi6n para la pendiente de la tangente a la 
curva y = j(x) en el punto (a, f(a)). 
9. Suponga que “n objeto se mueve sobre una recta y tiene 
la posicih” f(r) en el instante t. Escriba “na expresi6n para la 
velocidad instanttiea de1 objet0 en el instante f = a. i,C6mo se 
interpreta esta velocidad en t&nGnos de la gr&‘ica de f? 
IO. Si y = f(n), y x cambia de x1, a x2, escriba una expresi6n pam 
(a) La tasa promedio de cambio de y respect” ax en el 
interval0 [x1, x,] 
(b) La tasa instant&u de cambio de y respecto ax en x = XI. 
11. Defina la derivada j’(a). Discuta dos fomms de interpreta este 
nlhero. 
12. (a) iQ”k significa deck que jes derivable en a? 
(b) iQuC relaci6n existe en& la derixbilidad y continuidad de 
“na funcibn? 
Getermme SI la proposicidn es verdadera y explique su iespuesta SI es falsa 
enpllque par qu6 o d6 un e]emplo que refute la proposiciirn. 
z, ,,m x2 + 6x - 7 lfm (x’ + 6x - 7) = j-1 
x-1 x2 + 5x - 6 lim (x’ + 5x 6) j_, 
4. s, hf(x, = 2 y Elcl g(x) = 0, CntonCeS 
hfn [ f (x)/g(x)] no existe. 
6. Si Mry f(x) = 0 y 12 s(x) = 0, entonces 
lff [f (x)/q(x)] no existe. 
6. Si IAT j(x)&) existe, entonces el limite debe se1 j(6)9(6) 
1. Sip es u” polinomio, entonces Km p(x) = p(b). 
8. Si 1% j(x) = my lff s(x) = m, entonces 
l&l [j(r) - &)I = 0. 
9. Si la recta x = 1 es ““a asintota vertical de y = f (x), enroncesr 
no estA definida en 1. 
10. Si j(1) > 0 yf (3) < 0, entonces existe u” ndmero c entre 1 y 
3 ta1 que f (c) = 0. 
11. Si jes continua en 5 y f (5) = 2 y j(4) = 3, entonces 
~~f(49-11)=2. 
12. Si jes continua en L-1, 11 y f (-1) = 4 y f (1) = 3, entonces 
existe u” ndmero I tal que / r 1 < 1 y j(r) = r. 
13. Sea f una funci6n tal que 1% f(x) = 6. Entonces existe ndmero 
6talquesiO<lnl<GentoncesIf(x)-61<1. 
14. Si f (x) > 1 para todo x y 12 f(x) existe entonces 
lifl j(x) > 1. ^ 
15. Si f es continua en a, entonces f es diferenciable en a 
16. Si f’(r) existe, entonces limf(x) = f(r). 
-/ 
1. Se da la grtifica de$ 
(a) Encuentre cada uno de 10s limites o explique par qu6 no 
existe. 
(i) Xm S(x) 
i-2+ (ii) xJz:.f(d 
(W x@3f(x) (iv) lfmf(x) i-4 
(4 lffyx, (vi) jiyf(d 
jwi) Urn f(x) (viii) iim S(x) z-l /e-r 
(b) DC ias ecuacionesde las asfntotas horizontales. 
(c) DB las ecuaciones de la asintotas verticales. 
(d) ;En qu6 ntimero es f discontinua? Expliquelo. 
2. Lhbuje la gr.&a de1 ejemplo de una funcidn f que satisfaga 
todas las condiciones siguienfes: 
lim J(x) = -2, y~y.f’x) = 1, f(0) = -1, ,-o- 
piIf = -2 pywf(x, = -9 !~;f(xl = 3, 
6, lim (1 Wz + - 1 
h-0 h 
*. lim .x2 - * - 2 
x--t x2+ 3.x + 2 
14. ,liy7 (J&T + [x + 11) 
- ,6, lirn m Ji; 
1-2 ?-2x 
16. lh" 
5x' -2 + 2 
x-m- 2x3+x - 3 
20. l& ln(100 x2) 
.., , . . . . . . . 
23-24 Use las griticas pam descubrir las asintotas de la cnrva 
Luego pruebe quk ha descubierto. 
2.J. y=z?p 
24.y= JFFiTT-JG 
. . . . . . . . . . . 
25. Si 2x - 1 <J(x) s 2 for 0 < x < 3, encuentre ulycx,. 
26. Pruebe que I&I 2 cos(ll~) = 0. 
27-30 -1 Demuestre que cada afirmaci6n es verdadera usando la 
definici6n precisa de lfmite. 
27. ?'~(7x - 27) = 8 
20. yFo +5 = 0 
29. !'~(x'- 3x) = -2 
30. Jl"& & = m 
. . 
31. Sea 
i 
6 six<0 
f(n) = 3 - x si OG*<3 
(x - 3)' six>3 
(a) Evalhe cada lfmite, si existe. 
(0 Jiy+f (4 09 x~y.fCx) (iii) kKS(xj 
(iv) .lJy. f (4 (VI .‘lFf (xl (vi) p-yf (xl 
\b) iD6nde es discontinuaj? 
(c) Grafiquef. 
32. Sea 
1 
2.x - 2 si 0sxG2 
2-x 
SW = x _ 4 
si 2cxs3 
si3<x<4 
w six*4 
(a) Pm cada uno de 10s ndmeros 2, 3,4 descubra si g es cun- 
tinua por la izquierda, por la derecha, o continua en el 
n6mero. 
(b) Bosquejar la grka g. 
33-34 Lo Demues~e que cada funci6n es continuaen su dormmu. 
De el dominio. 
33. h(x) = a-““^ 34. g(x) = G 
. . . . . . . . 
3’1 CJi. Aplique el teorema del valor intermedio para dcmubrrar Lb) Encuentre ma ecuacidn aproximada de la recta tangente a 
que existe una raiz de la ecuaci6n en el intervalo dada. la C”n% y = e+, en el punto donde x = 1 
35. 
36. 
37. 
39. 
39. 
49. 
111. 
4z. 
43 
2x’ + 2 + 2 = 0, (-2, -1) 
e-z1 = x % a 1) 
ia) Halie la pendienre de la recta tangente a la curva 
y = 9 22 en el punto (2, 1). 
ibJ Escriba una ecuacitm de esta tangente. 
Encuenue las ecuaciones de las tangentes a la cuva 
y = 2/(1 3x) en 10s puntos de abcisas 0 y -1 
El desplazamiento en metros de un objet” en movimiento rec. 
tilfneo esta dado par s = 1 + 2f + $14 donde I es el nhmero de 
segundos. 
(a) Halle la velocidad promedio en 10s siguientes interwlos 
6) [L 31 (ii) [I, 21 
(iii) [l, IS] (iv) [I, 1.11 
!,bJ Encuentre la velocidad instant6ntea en t = 1. 
Segin la Ley de Boyle, si la tempcratura de un gas confinado se 
mzmtiene fija, entonces el producto de la presi6n P y el 
volumen V es constante. Suponga que, pant cierto gas, PV = 
800, donde P se mide en libras por pulgada cuadrada y Ven 
pulgadas chbicas. 
(a) Encuentre la ran511 promedio de cambio de P cuando V se 
incrementa de 200 pulg’ a 250 pulg’. 
ib) Exprese V coma funci6n de P y demuestre que la razbn 
instmttiea de cambio de V con respecto a P es 
inversamente proportional al cuadrado de esta hltima. 
Para la funcifm f cuya gr&ica se muestra, disponga 10s nrimeros 
siguientes en orden creciente: 
n 1 f ‘(2) f'(3) f’(5) f"W 
Y 
1 
L 0 1 x 
~a, USC la delinici6n de derivada para hallar f ‘(2). donde 
f(x)=Azx 
(b) Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la cuw 
y = x3 - 2x en el punto (2.4). 
(c) Ilustre el incise b) graficando la curw y la recta tangente en 
la misma pantalla. 
ia) Si f(x) = em'>, Mime el valor de f ‘(1). gr&‘ica y num&ica- 
mente. 
(c) Ilustre el incise b) graficando la wnia y la recta tangente en 
la misma pantalla. 
44. Encuentre una funcidn f y un nhmero a tales que 
,fm (2 + V - 64 =f’(a) 
h-0 h 
45. El cosfo total de pagar un pr&amo para estudiante, a una tad 
de inter& de r% por a6o es C = f (r). 
(a) i&&l es el significado de la daivadaf ‘(I)? iCu&les son 
sus unidades? 
(b) iQu6 significa la proposici6n f ‘(10) = 1200? 
(c) if’(r) siempre es positiva o cambia de sign”? 
46-48 Calque o copie la grkfica de la funci6n dada. Luego, 
grafique directamente debajo su derivada. 
46. Y 
I 
41. 
‘T 
48. ‘f 
. 
49. (a) Si f(x) = m, use la definicidn de derivada para 
hallar f ‘(x). 
(b) Encuentre 10s dominios defy f ‘. 
(c) Grahque f y f ’ en una pantalla comdn. Compare las grifi- 
cas pan ver si su respuesta al incise a) es razonable. 
50. (a, Encuentre las asintotas de la gr&ki de 
f(x) = (4 -x)/(3 +I) y liselas para dibujar la gkfxa. 
(b) Use la. gr&ica de1 incise a) para graficarf ‘. 
(c) Aplique la definici6n de derivada para hallarf’(x). 
(d) Utilice un apamto graficador para trazu la grtica def ’ y 
comp61ela con su dibujo de1 incise b). 
51. Se muestra la grtica def: D6, con razones, 10s n!ktteros en que 
f no es diferenciable. 
52. La tam de fertilidad total, en el tiempo f, denotada con F(t), es 
una estimacidn de1 ntimero promedio de niiios nacidos par cada 
mujer (suponiendo que las tams de natalidad acfuales 
pemxxnezcan constantes). En la gr&tica de la tasa de fertilidad 
total en Estados Unidos, se tnuestran 1.1s fluctuaciones desde 
1940 hasta 1990. 
(a) Estime 10s valores de F’(1950), F’(1965) y F’(1987). 
(b) iCue%les son 10s significados de atas derivadas? 
(c) LPuede sugerir razones de 10s valores de estas derivadas? 
Y 
1 
abundancia 
3.5 
de nacimienta~ 
3.0 -- i reduccihn 
de nacbnientos 
2.5 .- .’ _ ‘y=F(t1 recuperaci6n 
de nacimientas 
2.0 -- __---- / 
1.5 -- 
x+1 I I p-3 <0.2 x-1 cuando Ix-Z1<S 
gi$ 54. Gratique la curva y = (x + 1)/(x - 1) y las tangentes de esta 
C”rw en 10s puntos (2, 3) y (-1,O). 
55. Suponga que If(x) / S q(x) p” todo x, y que lim q(x) = 0. 
Encuentre el l&f(x) P+# 
56. Seaf(x) = [xj + [-I$ 
(a) Para qu& valores de a existe lim f (x)? 
(b) iEn quL ndmeros es disccmti~ la funci6n f? 
En nuestro an&is de 10s principios de solucidn de problemas, consideramos la estrategia 
para resolver problemas llamada Introducir algo adicioml (pkg. 78). En el siguiente ejem- 
plo, mostmmos &no este principio resulta titil a veces cuando evaluamos lhnites. La idea 
es cambiar la variable -introducir una nueva variable relacionada con la original- de tal 
manera que el problema se haga m&s sencillo. Posterionnente (Sec. 5.5) utilizaremos &is 
esta idea general. 
l:. TV: c: i Evahk iii 
$TTT-1 
, donde c es una constante 
x 
Soluci6n Seglin se ve, este limite parece retador. En la secci6n 2.3 evaluarnos WIOS 
lfmites en 10s que tanto el numerador coma el denominador tendieron a 0. AM, nuestra 
estrategia fue realirar cierto tipo de manipulaci6n algebraica que condujo a una can- 
celaci6n simplificadora, pero en este case no est6 claro qut clase de Algebra se necesita. 
Por lo tanto, introducimos una variable t mediante la ecuaci6n 
Tambikn necesitamos expresar x en tkminos de t, de modo que resolvemos esta 
ecuacidn: 
*‘= 1 + cn 
t3 - 1 
x- 
c 
Note que x + 0 equivale a f + 1. Esto nos permite convertir el limite dado en uno quz 
cnmprende la vtiab1.e + 
El cambio de variable nos pertniti6 reemplazar un lfmite relativamente wmphcado con 
uno m6s sencillo de un tipo que ya hemos vista. Si factorizamos 41 denominador coma 
una diferencia de cubos, obtenemos: 
lim c(t - 1) C(f - 1) 
t-1 t3 - 1 = l’-r (t - 1)(t’ + f + 1) 
= lfm c =; 
t-1 f2 + t + 1 
LOS problemas siguientes sirven para poner a prueba y desaliar sus habllidades de 
resolver. Algunos tienen que pensarse much” tiempo, de modo que no se desaliente si no 
10s puede resolver de inmediato. Si tiene alguna dificultad, quiza le sirva consultar el antii- 
sis de 10s principios de soluci6n de problemas, en la pagina 78. 
JZT-2 
2. Encuentie 10s nlimeros u y b talea que Km ~ = I 1-o x 
3, ~“va,de ,im I b - 1 I - 122 + 1 I 
r-0 x 
y = .I‘ 
4. En la figura se muestra un punto P, en la par&b&y = 2, y el punto Q, donde la media&k de 
e PL 
OP interseca al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la paribola, iquC 
sucede con Q? LTiene una posici6n limite? Si es asi, encutntrela. 
< 5. Si bl denota la funci6n mayor entero, encuentre lfrlfr z&n. 
6. Grafique la regi6n en el piano definida par cada una de la ecuaciones siguientes: 
II x (=I U# + urn* = 1 @I I[.# - w = 3 (c) [x + y]’ = 1 (4 Ud + UYI = ’ 
1. Encuentre todos 10s valores de a tales que f sea continua en R: 
f(x) = 
1 
.z>+ 1 si x < a 
si x>a 
9. Un punto lijo de una funcidn f es un n6mero c en su dominio tal que f (c) = c. (La funci6n no 
mueve a c, tste pemmnece fijo.) 
(a) Dibuje la gr&fica de una funci6n continua con dominio [0, l] cuya imagen tambien se 
mcuentre en [O, 11. Localice un punto fijo def. 
(b) Intente graficar una funci6n continua con dominio [0, l] e imagen en [0, I] que no tenga 
un punto fijo. iCuil es el obstkulo? 
(c) Aplique el teorema del valor intermedio para probar que cualquier funci6n continua con 
dominio [O, I] imagen en [O, I] debe tener un punto fijo. 
A 9. Si Km Lf(x) + &)J = 2 y & [f(x) + s(x)] = 1, halle l& f(x)&). I+# 
10. (a) En la figura se muestra un triSngulo is&c&s ABC, con LB = LC. La bwxtnz del 
dngulo B interseca el lado AC en el punto P. Suponga que la base BC permanece fija, per” 
P que la altura 1 AM 1 de1 tritigulo tiende a 0, de modo que A se aproxima al punto medio M 
de BC. iQu.5 sucede con P durante este proceso? iTiene una posici6n limite? Si es asi, 
encu&Kla. 
c (b) Intente trazar la rrayectoria recorrida par P durante ate proceso. A continuaci6n, halle la 
ecuaci6n de esta cwa y dsela para dibujarla. 
0 
B c M 
11. (a) Si partimos de la latitud 0” y avanramos en direcci6n oak, podemos denotar con T(x) la 
temperatura en el punto x en cualquier tiempo dada Suponga que T es ma funci6n con- 
tinua de x y demuestre que, en cualquier tiempo fijo, existen por lo menos dos puntos 
opuestos sobre el ecuador que tienen exactamente la misma temperatura. 
(b) &El resultado de1 incise a) se cumple para puntos que es@511 sobre cualquier circulo sobre 
la superficie de la Tierra? 
(c) iE1 resultado del incise a) se cumple para la presi6n barom&ica y para la unidad sohre el 
nivel de1 mar? 
12. Si f es una funcihn derivable y s(x) = xf (x) use la definici6n derivada para nmstra~ que 
s’(x) = xf’ (x) + m. 
13. Suponga que f es ma funci6n que satisface la ecuaci6n f(x + y) = f (1) + f(u) + 2y + xy’ pan 
todos 10s ntimeros reales x y y. Suponga tambikn que 
,,fo=, 
r-0 x 
(a) Encuentre f (0). (b) Encuentre f ‘(0). (c) Encuenue f’(x). 
14. Suponga que f es una fun&n que tiene la propiedad de quel f (x) 1 S .? pan roda x. Muesrre 
que f (0) = 0. En seguida, muestre que f ‘(0) = 0. 
179 
	PORTADA
	Cálculo . Cuarta Edición
	Prefacio
	Al alumno
	Contenido
	Presentación preliminar del cálculo
	Capitulo 1. Funciones y modelos
	Capitulo 2. Límites y derivadas
	Capitulo 3. Reglas de derivación
	Capitulo 4. Aplicaciones de la derivación
	Capitulo 5. Integrales
	Capitulo 6. Aplicaciones de la integración
	Capitulo 7. Técnicas de integración
	Capitulo 8. Otras aplicaciones de la integración
	Capitulo 9. Ecuaciones diferenciales
	Apéndices
	Indice
	Tablas
	Reverso