lista de exercicios

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Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Melissa Alves
Lista de exerc´ıcios I
1) Em cada caso veifique que a func¸a˜o dada constitui uma soluc¸a˜o da
equac¸a˜o:
a) y′ + 2y = 0; y = c.e−2x
b) y′′ = 0;y = ax2 + bx+ c
c) y′′ + y = 0; y = a.cos(x) + b.sen(x)
d) y′′ − y = x;y = c1.ex + c2.e−x − x
e) y′ = 2x;y = x2 + c
f) y′ = 2y
x
;y = c.x2
g) y′ + 2xy = 0;y = ce−x
2
h) y′ = −x
y
;x2 + y2 = c
i) y′ − y = e2x;y = cex + e2x
j) (y′)2 − xy′ + y = 0;
{
y1 = cx− c2
y2 =
x2
4
k) y′′ + y = 0;y = cos(x)
l) y′ = cos(x);

y1 = sen(x)
y2 = sen(x) + 3
y3 = sen(x)− 45
m) y′ − y = 0;

y1 = e
x
y2 = 2e
x
y3 =
−6
5
ex
n) x2.y′′ − 4x.y′ + 6y = 0;

y1 = x
2
y2 = x
3
y3 = c1x
2 + c2x
3
2) Em cada caso, determinar y =
∫
f(x).dx e a constante de integrac¸a˜o
c, de modo que y satisfac¸a a condic¸a˜o dada:
a)f(x) = x2; y(2) = 0
b) f(x) = cos2(x); y(pi) = pi
2
c) f(x) = cos(2x);y(0) = 1
d) f(x) = xe−x
2
; y(0) = 0
Respostas
a) y = 1
3
(x3 − 8)
b) y = 1
2
x+ 1
4
sen(2x)
1
c) y = sen(2x)
2
+ 1
d) y = 1
2
(−e−x2 + 1)
3) Em cada caso, verificar que a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o di-
ferencial correspondente e determinar as constantes de modo que a soluc¸a˜o
particular satisfac¸a a condic¸a˜o dada:
a) y′ + y = 0;y = ce−x;y(0) = 3
b) y′ + y = 5;y = ce−x + 5;y(1) = 6
c) y′ + 2xy = 0;y = ce−x
2
;y(0) = −2
d) dy
dx
= 2y
x
;y = cx2;y(1) = 3
e) x d
2y
dx2
− dy
dx
= 0;y = c1x
2 + c2;
{
y(1) = −8
y′(1) = 4
f) d
2y
dx2
+ y = 0; y = acos(x+ b); y = c1x
2 + c2;
{
y(3pi
2
) = a
2
y′(3pi
2
) =
√
3
Respostas
a) y = 3e−x
b) y = e1−x + 5
c) y = −2e−x2
d) y = 3x2
e) y = 2x2 − 10
f) y = 2cos(x+ pi
6
)
”Eu sou louco mas na˜o sou estu´pido”.
”Na˜o deixe as circunstaˆncias controlarem voceˆ. Voceˆ que tem que mudar as
circunstaˆncias”.
Jackie Chan
Divirtam-se!
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