GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

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Ponto Médio 
 Determinar as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremidades A (x1, y1) e B 
(x2, y2). 
 Sendo M o ponto médio de AB, os segmentos AM e MB possuem comprimento iguais, 
mesma direção e mesmo sentido. Logo, AM = MB. Temos então: 
   





 






2
,
22
,,x
M
seja,ou ,
2
BA
M Logo
BA2M M-BA-M
21212211 yyxxyxy
 
 
Exemplo: Encontre o ponto médio do segmento cujos extremos são A (3,7) e B (11,-1) 
 
 
 
 
 
Distância entre dois pontos no plano 
Através das coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível 
determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras (a² = b² + c²). 
Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde 
à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o 
teorema de Pitágoras, no qual teremos: 
   
   ²²
:fimpor e
:fica expressão a Assim
 e Porém,
²²
222
2
ABABAB
ABABAB
ABAB
AB
yyxxd
yyxxd
yyOBxxAO
OBAOd




 
 
Caso tenhamos as coordenadas A(x, y, z) e B(x2, y2, z2), 
a expressão será: 
     ²²² 121212 zzyyxxd AB  
 
Exemplo: Qual a distância entre os pontos A(1,3) e B(5,6)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lugar Geométrico 
 Um lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfaz uma ou mais propriedades 
geométricas, determinando a representação algébrica do lugar geométrico que satisfaz certas 
condições estabelecidas. 
 
Exemplo: Sabendo que a coordenada x se refere a comprimento e y a altura. Tendo um ponto de 
luz em A (2,3) e outro ponto em B(4, 2). Necessito colocar um terceiro ponto de luz C a mesma 
altura de B e equidistante a A e B. Qual será as coordenadas de C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto C(3,2) é 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto A(4,4) seja 
o dobro da distância ao ponto B(1,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A rede elétrica é projetada de modo a não oferecer riscos à população. Mas chuvas, 
ventos, galhos de árvores, colisão em postes e outros acidentes podem partir um cabo e deixá-lo 
pendurado ou caído no chão. Digamos que um cabo esteja caído em um ponto E(3,2) e que apenas 
15 centímetros de aproximação desse cabo é o suficiente para causar uma descarga elétrica 
fortíssima. Qual é a equação do lugar geométrico energizado dos pontos cuja distância de E é 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto que divide um segmento numa razão dada 
 Sejam A a origem e B a extremidade de um segmento orientado AB. Seja P um ponto qualquer, 
distinto de A e de B, sobre esse segmento orientado ou em seu prolongamento, 
 
 
Dizemos que o ponto P divide o segmento orientado AB segundo uma razão r, 
r
PB
AP
 
Caso o ponto P estiver entre o segmento AB então o valor da sua razão r será positiva, porém, se 
estiver fora do segmento AB o valor da sua razão r será negativa. 
 Sejam ),( 11 yxA , ),( 22 yxB e ),( yxC , temos que: 
 
r
ryy
y
yy
yy
r
r
rxx
x
xx
xx
r












1
 
1
 
21
2
1
21
2
1
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Considere o segmento orientado AB, em que A(-2,1) e B(2,5). Determine o ponto C, 
sobre o prolongamento do segmento orientado AB, tal que AC seja o triplo de AB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Baricentro de um Triângulo 
 Determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, sendo A (x1, y1) e B (x2, y2) e C 
(x3, y3). 
 O baricentro G é o ponto de encontro das medianas do triângulo. G divide cada mediana na 
razão 2 para 1, no sentido do vértice para o centro (pondo médio do lado oposto) sendo M o ponto 
médio de BC, temos: 
     





 










 

3
,
33
,,,x
G ,ou 
3
CBA
G Logo
2
2A3G 2MA3G G)-2(MA-G 2GMAG
321321332211 yyyxxxyxyxy
CB
 
 
Exemplo: Encontre as coordenadas do baricentro do triângulo A (3,2) B (7,7) e C (5,-3) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule as coordenadas para colocar o Quadro de distribuição usando o baricentro de 
cargas: 
Carga 1 – 200W coordenadas (2, 3) 
Carga 2 – 300W coordenadas (5, 2) 
Carga 3 – 500W coordenadas (2,6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) O segmento AB tem comprimento de 4 unidades. Conhecendo-se o ponto A=(-2,1), achar a 
abscissa de B, cuja ordenada é 1. 
 
2) Encontre o ponto P=(x,y) equidistante dos pontos P1=(0, 5), P2=(-1, 2) e P3=(6,3). 
 
3) Determine as coordenadas do ponto que divide o segmento AB na razão 2, sendo A=(-1,4) e 
B=(3,2). 
 
4) Encontre o ponto médio do segmento AB do exercício anterior. 
 
5) Divida o segmento AB em três partes iguais, sendo que A(1,7) e B(0,5). 
 
6) Encontre a distância entre os pontos A(-3,7) e B(1,2) 
 
7) Determine a distância do baricentro do triângulo A(-1,5), B(0,-6) e C(1,-5) até o ponto médio 
do segmento MN, onde M(1,8) e N(6,-3). 
 
8) Prove que é isósceles o triângulo cujos vértices são A(2,-2), B(-3,-1) e C(1,6) 
 
9) Determine a distância do ponto M(-12,9) até a origem dos eixos. 
 
10) Dados os pontos P(x,2), A(4,-2) e B (2,-8) calcule o número real x de modo que o ponto P 
seja equidistante de A e B. 
 
11) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias aos pontos A(-
1,3) e B(3,-2) seja 2. 
 
12) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes dos pontos A(-3,1) e 
B(7,5). 
 
13) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto A(2,-1) é 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DA RETA NO R² 
 
a) Equação da reta 
 
 Denominamos equação de uma reta no R² a toda equação nas incógnitas x e y que é satisfeita 
pelos pontos P(x,y) que pertencem à reta e só por eles. 
 Assim, dada uma reta r do plano cartesiano, vamos supor que r passe pelos pontos A(x1, y1) e 
B(x2, y2), BA  , e consideremos um ponto genérico P (x, y). 
Temos: 
),( 11 yyxxAPAP  
),( 1212 yyxxABAB  
1212
11
yyxx
yyxx


 
 
 
 O ponto P pertence a reta r se, e somente se, A, B e P são colineares, isto é: 
0 0 
1212
11 



yyxx
yyxx
rP 
0)()()( 21122112  yxyxyxxxyy 
Fazendo; 
ayy  12 ; bxx  21 e cyxyx  2112 , temos: 
0 cbyax 
 
Esta equação é denominada equação geral da reta. 
 
Exemplo 1: 
Vamos obter a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Condição para um ponto pertencer a uma reta 
 Dada uma reta r de equação 0 cbyax e um ponto ),( 00 yxP  , a condição para P 
pertencer a r é, 
0)()( 00  cybxa 
Ou seja, o par ),( 00 yx deve satisfazer à equação de r . 
Exemplo 2: 
Dada a reta r de equação 062  yx , determine se os pontos P(5, -4) e Q (-2, 8) pertencem a 
reta r . 
 
 
 
c) Anulamento dos coeficientes da equação 
 
 Dada a reta r que passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), BA  , e tem equação geral 
0 cbyax , onde ayy  12 ; bxx  21 e cyxyx  2112 . 
Observe que: 
1º) 0a ou 0b 
Porque ABxxyyba ) e ( 0 1212 
2º) Caso )0 (e 0  ba , a reta é paralela ao eixo das abscissas. 
Porque xeixor // 0 12  yya 
3º) Caso )0a (e 0 b , a reta é paralela ao eixo das ordenadas. 
 Porque y eixor // 0 12  xxb 
4º) Caso c = 0, a reta passa pela origem 
Porque o ponto (0,0) satisfaz à equação se, e somente se, a(0) + b(0) + c = 0, isto é, c = 0. 
 
 
 
d) Posições relativas e intersecções de retas 
 
- Vetor normal a uma reta 
 Consideremos a reta r do plano cartesiano, de equação 
0 cbyax . 
 Os coeficientes de x e de y são, nesta ordem as componentes de 
um vetor normal (ortogonal) à reta r, isto é: 
 
O vetor n = (a, b) é um vetor normal à reta r 
Se ),( 11 yxA e ),( 22 yxB são dois pontos quaisquer da reta r temos que ),( 1212 yyxxAB  , 
assim 00)()( 1212  ABnyybxxa 
 
Exemplo: Um vetor normal à reta 0452  yx é n = (2,-5). 
 
- Posição relativas de duas retas 
 Duas retas r e s do plano cartesiano podem ser concorrentes ou paralelas: 
 
Sendo r: ax+bx+c=0 e s: a’x+b’x+c’=0, temos que n=(a,b) e n’=(a’,b’), assim: 
0
''''
'//// 
ba
ba
b
b
a
a
nnsr 
0
''''

ba
ba
b
b
a
a
sr 
 
Exemplo: Sendo 03104: e 0452:  yxsyxr 
 
 
 
Exemplo: Sendo 0496: e 0132:  yxsyxr 
 
 
 
 
 
- Ponto de intersecção 
 Um ponto de intersecção ),( pp yxP de duas retas, 0''': e 0:  cybxascbyaxr 
satisfaz às equações de ambas as retas e, então, é solução do sistema 





0'''
0
:
cybxa
cbyax
S 
 Reciprocamente, toda solução (x,y) do sistema S é ponto de intersecção das duas retas. 
Exemplo: 
Sendo as retas 072: e 012:  yxsyxr são concorrentes em que ponto (x,y). 
 
 
 
 
 
 
- O sistema de equações de duas retas 
 Considerando que 
1º) duas retas concorrentes apresentam um único ponto de intersecção; 
2º) duas retas paralelas coincidentes apresentam infinitos pontos comuns; 
3º) duas retas paralelas distintas não apresentam ponto comum. 
Temos que: 





0'''
0
:
cybxa
cbyax
S formado pelas retas r e s: 
1º) 
'' b
b
a
a
 S admite uma única solução (S é sistema possível determinado – SPD) 
2º) 
''' c
c
b
b
a
a
 S admite infinitas solução (S é sistema possível e indeterminado – SPI) 
3º) 
''' c
c
b
b
a
a
 S não admite solução (S é sistema impossível – SI) 
 
Exemplo: 
Dados os sistemas de equações verifique se são SPD, SPI ou SI: 
a) 





0864
0432
:
yx
yx
P 
 
b) 





0396
0132
:
yx
yx
S 
 
c) 





01104
0452
:
yx
yx
T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Obter a equação da reta que passa por A(3, 1) e B(5, 2). 
 
2) Dados A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1), determinar a equação da reta que passa por A e pelo ponto 
médio do segmento BC. 
 
3) Verifique se os pontos P(6,4) e Q(3,2) pertencem a reta 032  yx . 
 
4) Qual deve ser a abscissa do ponto M(m, 4) para que ele pertença a reta x+y-2=0 
 
5) Em que ponto a reta 0652  yx , corta o eixo das abscissas? 
 
6) Verificar que os pontos A(2,3), B(5,11) e C(10,25) são vértices de um mesmo triângulo e 
determinar as equações das retas suporte dos lados deste triângulo. 
 
7) Determine o vetor normal das retas abaixo: 
a) 013  yx 
b) 0352  yx 
c) 01 yx 
 
8) Dar a posição relativa de r e s nos casos: 
a) 0742: e 01-2y-5x:r  yxs 
b) 0326: e 01y3x:r  yxs 
c) 0
2
3
2: e 064y-8x:r  yxs 
9) Determinar os valores de K para os quais as retas 0263: e 02ykx:r  yxs são 
concorrentes. 
 
10) Determinar a intersecção das retas 752 e 43yx  yx 
 
11) Determinar o ponto de intersecção das retas r e s nos casos: 
a) 01424: e 011-4y3x:r  yxs 
b) 13: e 1y
2
x
:r  xys 
c) 654: e 72y-3x:r  yxs 
 
12) Dados A(0,0), B(10,0), C(6,4) e D(2,4), pede-se: 
a) determinar o ponto de intersecção P das retas AD e BC 
b) determinar os pontos médio M e N dos segmentos AB e CD, respectivamente 
c) provar que M, N e P são colineares 
 
13) Determinar os vértices do triângulo cujos lados estão nas retas 
06 e 02 ,02y-x  yxyx 
 
14) Mostrar que as retas 0865 e 082 , 082y-3x  yxyx são concorrentes num 
mesmo ponto P. 
 
Paralelismo e perpendicularidade 
 
 Sendo duas retas 0''': e 0:  cybxascbyaxr , os vetores ),( ban  e )','(' ban  
são, nesta ordem, vetores normais a r e s. Assim, duas retas são paralelas se; 
0
'a'
a
 
''
 '// // 
b
b
b
b
a
a
nnsr 
 
E duas retas serão perpendiculares caso, 
0bb'aa' 0n'n '  nnsr 
 
Exemplo: 
1) Dadas 0292510: e 0352:  yxsyxr verifique se são paralelas ou perpendiculares: 
 
 
2) Dadas 01410: e 0352:  yxsyxr verifique se são paralelas ou perpendiculares: 
 
 
 
 Dada uma reta r de equação 0 cbyax , toda reta paralelas a r admite uma equação da 
forma: 
0 kbyax 
Onde Rk  . 
Exemplo 3: Toda reta paralela à reta 0123:  yxr admite uma equação da forma 
023  kyx . Vamos obter a reta s paralela a r e que passa pelo ponto P(4,1): 
 
 
 
 Dada uma reta r de equação 0 cbyax , toda reta perpendicular a r admite uma equação 
da forma: 
0 kbxay 
Onde Rk  . 
 
Exemplo 4: Toda reta perpendicular à reta 0123:  yxr admite uma equação da forma 
023  kxy . Vamos obter a reta s perpendicular a r e que passa pelo ponto P(4,1): 
 
 
 
 
 
 
Ângulo entre duas retas 
 Consideremos duas retas quaisquer, de equação reduzidas 11 bxay  e 22 bxay  , 
concorrentes em um ponto P. O ângulo  
é determinado pelas retas sendo  
. Utilizando a fórmula da tangente da 
diferença, temos: 
 
)()(1
)()(
)()(



tgtg
tgtg
tgtg


 
 
Lembrando que, 1)( atg  e 2)( atg  , 
obtemos 
21
21
1
)(
aa
aa
tg


 
 
Exemplo 5: Determine um dos ângulos formados pelas retas 033: e 03:  xysxyr 
 
 
 
 
 
 
Ponto e Reta: Distância 
 A distância entre um ponto P e uma reta r é, por definição, a distância entre P e a sua projeção 
ortogonal P’ sobre r: 
'PPd  
 
 
Dados P(x0, y0) e 0:  cbyaxr , temos que 
²²
00
ba
cbyax
d


 
 
Exemplo 6: 
Qual a distância entre P(7,-3) e 01768:  yxr ? 
 
 
 
 
 
Distância entre duas retas 
 
Retas Concorrentes: A distância d entre duas retas r e s concorrentes é nula. 
 
Retas Paralelas: A distância d entre as retas r e s, paralelas, é a distância de um ponto qualquer P0 
de uma delas à outra reta. 
Exemplo 7: Calcular a distância entre as retas 0292510: e 0352:  yxsyxr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reta que passa por um ponto 
 A equação da reta que passa por um ponto dado (conhecido) é: 
)( 00 xxmyy  
Sendo m o coeficiente angular da equação linear. 
Exemplo 7: Encontre a equação da reta que passa em P (1, -2) e é paralela a r: 0153  yx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Associar a cada item uma das afirmações (A a C) 
A) r e s são paralelas. 
B) r e s são perpendiculares. 
C) r e s são concorrentes, mas não perpendiculares. 
I) 012015: ,043:  yxsyxr 
II) 012:,0348:  yxsyxr 
III) 0364: ,0123:  yxsyxr 
IV) 025: ,05:  yxsyxr 
V) 0134: ,043:  yxsyxr 
VI) 052: ,0134:  xsyxr 
2) Determinar o valor de k para que as retas 03: e 032:  kyxsykxr sejam paralelas. 
Posteriormente ache a distância entre elas. 
 
3) Determinar os valores de k que tornam as retas 018: e 012:  kyxskyxr 
perpendiculares. Posteriormente ache a distância entre elas. 
 
4) Obter a equação da reta paralela à reta 0132:  yxr e que passa pelo ponto P(5,-2). 
 
5) Calcular a distância entre P(-7,-4) e 02034:  yxr 
 
6) Calcular a distância entre as retas 032:  yxr e 0132:  yxs 
 
7) Calcular a área de um quadrado que tem um vértice no ponto P(7,-5) e um lado na reta 
 012:  yxr 
 
8) Calcular a área de um quadrado que tem um vértice no ponto P(0,5) e uma diagonal na reta 
 0:  yxr 
 
8) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3,1) e B(7,5). 
 
10) Determine a equação da reta que possui coeficiente angular 1 e passa pelo ponto (2,4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação reduzida da reta 
 Consideremos uma reta 0:  cbyaxr onde 0b . Notemos que: 
b
c
x
b
a
ycaxbycbyax  0 
 Fazendo-se q
b
c
m 

 e 
b
a-
 obtemos a equação 
qmxy  
 
que é denominada equação reduzida da reta. 
 
Exemplo: Dada a reta 0623:  yxr vamos obter a sua equação reduzida: 
 
 
 
 
 
Coeficiente angular: 
 Na equação reduzida, y = mx + q, o coeficiente m é denominado coeficiente angular. 
tgm , onde  é o ângulo de inclinação da reta r em relação ao eixo dos x. 
 
Coeficiente linear: 
 Na equação reduzida, y = mx + q, o coeficiente q é denominado coeficiente linear. 
q, é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo dos y. 
 
 
 
 
Equação segmentária 
Vamos determinar a equação da reta que intercepta os eixos coordenados nos pontos 
 P(p, 0) e Q(0, q), distintos: 
 0
00
0



qp
ypx
 
 
 
 
 
Transpondo o termo constante para o segundo membro e dividindo por pq, obtemos a equação: 
 
1
q
y
p
x
 
 
que é denominada equação segmentária da reta. 
Exemplo: Qual a equação segmentária da reta r indicada na figura? 
 
 
 
 
Equações paramétricas 
 
 Consideremos a reta r que passa pelo ponto ),( 00 yxP e tem direção do vetor não nulo v = (a, 
b). Um ponto Q(x, y) pertence a r se, e somente se, o vetor PQ é um múltiplo de v, isto é, existe 
Rt tal que vtPQ  . Temos: 
),(),( ),(),( 0000 btatyyxxbatyyxxvtPQ  
Temos então 





btyy
atxx
0
0 obtemos dessa forma o par de equações: 





btyy
atxx
0
0 
 
que denominaremos equações paramétricas de r. 
 
Exemplo: Quais as equações paramétricas da reta que passa por P(2,-3) e tem a direção do vetor v 
= (5,4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dado o ponto A(2,3) e o vetor )2,1( v , pede-se: 
a) escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v ; 
b) encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4, respectivamente; 
c) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4; 
d) verificar se os pontos D(4,-1) e E(5,-4) pertencem a r; 
e) determinar para que valor de m o ponto F (m, 5) pertencem a r; 
f) escrever equações paramétricas da reta s que passa por G (5, 2) e é paralela a r; 
g) escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determinar a equação geral da reta de equações paramétricas 3t2x  e 4t-5y  , 
Rt . 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Colocar na forma reduzida e dar o coeficiente angular: 
a) 032  yx b) 0524  yx c) 013  yx 
d) 193  yx e) 1
52

yx
 f) 032 y 
 
2) Dar o ângulo de inclinação, em relação ao eixo dos x, das seguintes retas 
a) 1xy  b) 13y  x c) 2-xy  
 
3) Dar a equação reduzida e a equação geral da reta que passa por P e tem coeficiente angular m, 
nos casos: 
a) P = (2, 3) e 
3
4
-m  b) P = (3, -1) e 3m  
 
4) Dar a equação segmentária das retas que passam pelos seguintes pontos: 
a) P (4,0) e P’(0,3) 
b) Q (4,0) e Q’(0,-3) 
c) R (0,-2) e R’(-3,0) 
 
5) Dar as equações paramétricas da reta que passa por P e tem direção do vetor v nos casos: 
a) P=(1,2) e v=(7,6) 
b) P=(-1,4) e v=(3,3) 
c) P=(0,-1) e v=(2,4) 
 
6) Determinar a equação geral das seguintes retas: 
a) )( 
1
3
Rt
ty
tx






 b) )( 
3
22
Rt
ty
tx






 
 
7) Determinar a equação reduzida das seguintes retas: 
a) 1
72


yx
 b) )( 
54
23
Rt
ty
tx






 
 
8) Determinar o ponto de interseção das retas 
)( 
5
23
: Rt
ty
tx
r 





 e )( 
54
75
: Rk
ky
kx
s 





 
 
9) Calcular a distância entre o ponto P(1,1) e a reta )( 
4
3
: Rt
ty
tx
r 





 
 
10) Determinar a equação da reta que passa por P(3,2) e tem direção normal ao vetor n=(5,-4) 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA NO R² 
 
Equação da circunferência 
 
Equação Reduzida: 
 Denominamos equação de uma curva a toda equação em x e y cujas soluções (x, y) são as 
coordenadas dos pontos da curva. 
 No caso de uma circunferência de centro ),( 00 yxC  são as coordenadas dos pontos da curva. 
 No caso de uma circunferência de centro ),( 00 yxC  e raio r, dados, temos: 
 
 
 
²d d curva ),( 2CPCP rryxP  
 
 
 
 
Usando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos 
 
22
0
2
0 )()( ryyxx  
 
que é denominada equação reduzida da circunferência 
 
Exemplo 1: Qual a equação reduzida da circunferência de centro C(3,-1) e raio r = 2: 
 
 
 
 
Exemplo 2: Qual o centro e o raio da circunferência 25)7()4( 22  yx : 
 
 
 
 
Equação Geral: 
 
 A partir da equação reduzida: 220
2
0 )()( ryyxx  . Teremos 
 ² ,2 ,2 2200 00 cryxbyax  obtemos a equação: 
 
0²²  cbyaxyx 
 
Que é denominada de equação geral da circunferência. 
Observamos que: 
 ² ; 
2
b-
 2 ; 
2
 2 22220000 0000 cyxrcryxyby
a
xax 


 
Exemplo 3: Vamos obter a equação geral da circunferência de centro C(2,3) e raio 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Vamos obter o centro e o raio da circunferência de equação 03128²²  yxyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
A circunferência definida por três pontos 
 
Exemplo 5: Vamos determinar a equação da circunferência de centro C(2,0) e que passa pelo ponto 
P(4,1). 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Vamos determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M(2,0) e N(4,-
2), e tem centro na reta s: y = 2x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posições relativas e intersecções 
 
a) Reta e circunferência 
 
 Uma reta t e uma circunferência  do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições 
relativas: 
 
 
 Dada a equação de t, 0 cbyax , o centro e o raio de  , ),( 00 yxC e r, podemos estabelecera posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta: 
 
²²
00
ba
cbyax
d


 
 
Comparando d com r, temos: 
exteriores são e t 
 tangentessão e t 
secantes são e t 






rd
rd
rd
 
 
Ou também, resolvendo o sistema S 





²)()(
0
2
0
2
0 ryyxx
cbyax
S 
 
onde podemos encontrar duas, uma ou nenhuma solução conforme a reta e a circunferência tenham 
dois, um ou nenhum ponto em comum, respectivamente. Assim: 
 
secantes são e t soluções 2 temS  
s tangentesão e t solução 1 temS  
exteriores são e t soluções temnão S  
 
 
 
Exemplo 8: Consideremos a reta 04:  yxt e a circunferência 16²²:  yx e verifiquemos 
a posição relativa entre t e  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Duas circunferências 
 Duas circunferências 1 e 2 do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições 
relativas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Vamos verificar a posição relativa das circunferências: 
5)2()1(: 221  yx e 10)3()3(:
22
2  yx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posições de um ponto em relação a uma circunferência 
 
 deexterior 0²)()( 20
2
0  Pryyxx pp 
 deinterior 0²)()( 20
2
0  Pryyxx pp 
 0²)()( 20
2
0  Pryyxx pp 
 
Exemplo 10: Verifiquemos a posição dos pontos M(1,2), N )1,3(  e P )2,0( em relação a 
circunferência 04²²:  yx 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Dada a circunferência 100)1()5( 22  yx e os pontos A(-3, 7) e B(12,-2), verificar se A 
e B pertencem a circunferência. 
 
2) Dar a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos casos: 
a) C=(3,5) e r = 2 b) C=(-2,-1) e r = 1 
 
3) Escrever na forma geral a equação da circunferência de centro C e raio r nos casos: 
a) C = (1, -2) e r = 4 b) C = (2,0) e r = 1 
 
4) Dar o centro e o raio das circunferências 
a) 4)3()2( 22  yx b) 9)5()1( 22  yx 
c) 122  yx d) 5)4( 22  yx 
e) 0126422  yxyx f) 0322  yyx 
 
5) Determinar o raio e o centro da circunferência de equação 034844 22  yxyx 
 
6) Calcular p de modo que a circunferência 0²2222  ppypxyx tenha raio igual a 2. 
 
7) Determinar a equação da circunferência de centro C(3,2) e que passa pelo ponto P(5,5). 
 
 
8) Determinar a equação de cada circunferência: 
 
 
9) Verificar a posição relativa e t e  nos casos: 
a) 01:  yxt e 2²²:  yx 
b) 19²²:  yx e 0102:  yxt 
c) 01543:  yxt e 035104²²:  yxyx 
 
10) Determinar se existirem os pontos de intersecção da reta com a circunferência 





5²²
02
yx
yx
 
 
11) Dar a posição de P em relação a  nos casos: 
a) P = (4,4) e     0423: 22  yx 
b) P = (3,1) e 0424²²:  yxyx 
c) P = (5,3) e 08²²:  xyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS CARTESIANAS 
 
 O produto cartesiano 
 
 Definição: Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado por BA (lê-
se: A cartesiano B), é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que Aa e Bb
, isto é: 
} , /),{( BbAabaBA  
 
Exemplo: Dados os conjuntos A={1,3,5} e B={2,3}, temos: 
BA = {(1,2);(1,3);(3,2);(3,3);(5,2);(5,3)} 
 AB 
 2AAA 
 ²BBB 
 
 Se A possui m elementos e B possui n elementos, então BA possui mn elementos. 
 Um produto cartesiano importante ocorre quando  BA (conjunto dos números reais), ou 
seja 
} , /),{(2  yxyx 
} , , /),,{(3  zyxzyx 
 
 Coordenadas cartesianas na reta 
 Uma reta orientada é uma reta qualquer na qual tomamos um sentido positivo de percurso, 
denotado por uma flecha. Um sistema de coordenadas na reta pode ser obtido da seguinte maneira: 
sobre uma reta orientada tomamos um ponto arbitrário O, denominado de origem do sistema de 
coordenadas, ao qual associamos o número real zero. No sentido positivo de orientação da reta 
tomamos outro ponto arbitrário U, ao qual associamos o número real 1, de modo que o comprimento 
do segmento OU seja a unidade de comprimento do sistema de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 A construção acima implica que a cada número real positivo a podemos associar um único ponto 
A à direita de O, e a cada número real negativo b podemos associar um único ponto B à esquerda 
de O. 
 
 
 
 
 
COORDENADAS POLARES 
 O sistema de coordenadas polares é constituído por um semieixo real, denominado eixo polar, 
cuja origem denomina-se polo. Nesse sistema, um ponto P do plano é localizado por meio de sua 
distância orientada r ao polo e por sua direção  , dada pelo ângulo formado entre o eixo polar e o 
segmento de reta que representa a distância r. Dizemos que o par ordenado ),( r de números reais 
são as coordenadas polares do ponto P e utilizamos a notação ),( rP . 
 
 
 A coordenada polar  deve ser expressa em radianos. Caso seja positiva, o ângulo é tomado no 
sentido trigonométrico (anti-horário), caso seja negativa, o ângulo é tomado no sentido 
antitrigonométrico (horário). 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coordenadas polares e coordenadas cartesianas 
 Coincidindo o polo do sistema de coordenadas polares com a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas, podemos determinar suas coordenadas cartesianas x e y por meio das relações: 
 
)( y )(
)cos( )cos(


senr
r
y
sen
rx
r
x


 e 



























0y e 0 xse ,
2
0y e 0 xse ,
2
 
0 x se , arctg
0 xse , arctg



 x
y
x
y
 
 
Obs: Caso r =0, ou seja ),0(  ; em coordenadas cartesianas (0,0) 
Exemplo: Determine as coordenadas cartesianas do ponto P cujas coordenadas polares são 





6
,4

P 
 
 
 
 
Exemplo: Determine as coordenadas polares do ponto P cujas coordenadas cartesianas são 
)3,1(P . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Escreva a equação polar cos3r no formato paramétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos: 
 
Exemplo: Desenhe o gráfico da curva polar cos3r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Determine as coordenadas cartesianas dos pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, 
esboce o ponto no sistema de coordenadas cartesianas. 
a) 





3
,1

 b) 






4
,2

 c) 





6
5
,3

 d) 





6
,2

 
 
2) Determine uma das coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são dadas. A 
seguir, esboce o ponto no sistema de coordenadas polares. 
a) (1,1) b) (0,3) c)  3,1  d)  1,3  
 
3) Desenhe o gráfico da curva polar  2cos4r , e escreva a equação no formato paramétrico. 
 
 4) Escreva a equação 
2
1
 senr no formato paramétrico.