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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA 1a Prova de MAT029 - Equac¸o˜es Diferenciais I - 20/11/2013 Profa. Lucy Tiemi Takahashi Nome: Matr´ıcula: Importante Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada. 1. (15 pontos)Encontre o valor de b (Justificando!!!!) para o qual temos verdadeira a equac¸a˜o eb + e2b + e3b + · · · = 7. ————————————————————————————– 2. Mostre que (a) (10 pontos) lim n! 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) = 0. (b) (20 pontos) a sequeˆncia ( 5n n! ) e´ i) mono´tona, ii) limitada e iii) determine para qual valor real a sequeˆncia converge. ————————————————————————————– 3. (15 pontos) Considere a sequeˆncia ( 2, 4 3 , 8 5 , 16 7 , 32 9 , · · · ) . Determine (a) o termo geral desta sequeˆncia; (b) e se a sequeˆncia e´ convergente. ————————————————————————————– 4. (40 pontos)Verifique se cada se´rie, dada abaixo, e´ convergente ou divergente e, no caso de convergeˆncia, dizer se e´ convergeˆncia absoluta ou condicional. (a) ∑∞ n=1(−1)n 7 cos( npi 3 ) n! (b) ∞∑ n=2 (−1)n n lnn (c) ∞∑ n=1 n cos(npi) n3 + 1 ————————————————————————————– 5. (20 pontos) Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 lnn en (x− e)n.
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