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Fanor - DeVry 
Equações Diferenciais – Prof. Thiago Moratti 
Lista de Exercícios – Equações Diferenciais de Euler-Cauchy, Método 
de D’Alembert e Série de Taylor 
 
1. Encontre a solução das equações de Euler-Cauchy abaixo: 
 
a) 2 '' 2 0x y y  
b) '' ' 0xy y  
c) 2 '' ' 4 0x y xy y   
d) 2 '' 3 ' 2 0x y xy y   
e) 225 '' 25 ' 0x y xy y   
f) 2 '' 5 ' 4 0x y xy y   
g) 23 '' 6 ' 0x y xy y   
h) 3 ''' 6 0x y y  
i)  4 6 ''' 0xy y  
j) 4'' 4 'xy y x  
k) 2 '' ' 2x y xy y x   
l)  2 '' ' lnx y xy y x   
 
2. Encontre a solução das equações de Euler-Cauchy abaixo dadas as condições: 
 
a)    2 '' 3 ' 0 ; 1 0 ; ' 1 4x y xy y y    
b)    2 '' ' 0 ; 1 1 ; ' 1 2x y xy y y y     
c)     1'' ' ; 1 1 ; ' 1
2
xy y x y y     
 
3. Utilize o método de D’Alembert para obter outra solução para a equação diferencial dada: 
 
a) 21'' 4 ' 4 0; 
xy y y y e    
b)  1'' 16 0; cos 4y y y x   
c) 2 319 '' 12 ' 4 0; 
xy y y y e    
d) 2 41'' 7 ' 16 0; x y xy y y x    
e)  1'' ' 0; lnxy y y x   
f)  2 1'' ' 2 0; sin lnx y xy y y x x    
g)    2 11 2 '' 2 1 ' 2 0; 1x x y x y y y x        
h) 21'' 4 2; 
xy y y e   
i) 3 21'' 3 ' 2 5 ; 
x xy y y e y e    
 
4. Utilize a série de Taylor para expandir as funções em torno dos pontos dados e obtenha 
um polinômio de grau 3 como aproximação para essa função. Utilize o polinômio para 
calcular o valor aproximado da função no ponto pedido. 
 
a)   0 ; 0xf x e x  
Calcule 0,1e 
 
b)   0
1 ; 0xf x xe
  
Calcule 0,1e 
 
c)   0cos ; x 0f x x  
Calcule  cos 0,03 
 
d)   0sin ; x 0f x x  
Calcule  sin 0,15 
 
e)   0ln ; x 1f x x  
Calcule ln1,2 
 
f)   0
1 ; x 0
1
f x
x
 

 
Calcule  0,1f 
 
g)  
  02
1 ; x 3
1
f x
x
 

 
Calcule  2,95f 
 
Respostas: 
1. a) 1 21 2y c x c x
  
b)  1 2 lny c c x  
c)    1 2cos 2 ln sin 2 lny c x c x  
d)    
2 6 2 6
1 2y c x c x
 
  
e) 1 2
1 1cos ln sin ln
5 5
y c x c x       
   
 
f)  2 21 2 lny c x c x x   
g) 1 2 1 2
3 3cos ln sin ln
6 6
y x c x c x
    
             
 
h)    31 2 3cos 2 ln sin 2 lny c x c x c x   
i) 2 31 2 3 4y c c x c x c x
    
j)  5 51 2
1 ln
5
y c c x x x   
k)     21 2 ln lny c x c x x x x      
l)  11 2 lny c x c x x   
 
2. a) 22 2y x  
b)    cos ln 2sin lny x x  
c)   23 1ln
4 4
y x x   
 
3. a) 22
xy xe 
b)  2 sin 4y x 
c) 2 32
xy xe 
d)  42 lny x x 
e) 2 1y  
f)  2 cos lny x x 
g) 22 2y x x   
h) 22
1, 
2
x
py e y   
i) 2 32
5, 
2
x x
py e y e  
 
4. a) 
2 3
1
2! 3!
x x xe x    
 0,1 1,105166e  
b) 
2 3
1
2! 3!
x x xe x     
 0,1 0,904833e  
c)  
2
cos 1
2!
xx   
  cos 0,03 0,99955 
d)  
3
sin
3!
xx x  
  sin 0,15 0,1494375 
e)        2 31 1ln 1 1 1
2 3
x x x x      
  ln 1,2 0,18266 
f)   2 31 1
1
f x x x x
x
     

 
  0,1 1,111f   
g)  
 
     2 32
1 1 1 3 13 3 3
4 4 16 81
f x x x x
x
       

 
  2,95 0, 262984f 