EDO Slides 04 2017 1

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1
Seção 4.1: EDOs Lineares de Ordem mais 
Elevadas: Teoria Geral
Uma EDO Linear de n-ésima Ordem tem a forma geral 
Assumimos que P0,…, Pn, e G são funções contínuas de valor real em algum intervalo I = (,  ), e que P0 é diferente de zero em I. 
Dividindo por P0, a EDO torna-se 
Para uma EDO Linear de n-ésima Ordem existem 
tipicamente n condições iniciais:
 tGytP
dt
dytP
dt
ydtP
dt
ydtP nnn
n
n
n
 

)()()()( 11
1
10 
   tgytp
dt
dytp
dt
ydtp
dt
ydyL nnn
n
n
n
 

)()()( 11
1
1 
      )1(00)1(0000 ,,,   nn ytyytyyty 
Teorema 4.1.1
Seja o problema de valor inicial de n-ésima ordem 
Se as funções p1,…, pn, e g são contínuas em um intervalo aberto I, então existe exatamente uma solução y = (t) que 
satisfaz o problema de valor inicial. Essa solução existe 
em toda a extensão do intervalo I.
 
      )1(00)1(0000
11
1
1
,,,
)()()(





nn
nnn
n
n
n
ytyytyyty
tgytp
dt
dytp
dt
ydtp
dt
yd


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GEXT 7303 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
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Exemplo 1
Determine um intervalo em que um PVI que inclua a EDO 
abaixo tem com certeza uma solução.
tytyyt sen5)3()4(2 
EDOs Lineares Homogêneas
Como no caso das EDOs de 2ª.Ordem, começamos com as 
EDOs homogêneas: 
Se y1,…, yn são soluções para a EDO, assim também o é a combinação linear
Toda e qualquer solução pode ser expressa nessa forma, com 
coeficientes determinados pelas condições iniciais, se, e 
somente se, podemos resolver o sistema:
  0)()()( 11
1
1  

ytp
dt
dytp
dt
ydtp
dt
ydyL nnn
n
n
n

)()()()( 2211 tyctyctycty nn 
)1(
00
)1(
0
)1(
11
00011
00011
)()(
)()(
)()(
 


nn
nn
n
nn
nn
ytyctyc
ytyctyc
ytyctyc




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Equações Homogêneas & Wronskiano
O sistema de equações no slide anterior tem uma solução 
única se, e somente se, seu determinante, ou Wronskiano, é 
diferente de zero em t0:
Já que t0 pode ser qualquer ponto no intervalo I, o determinante Wronskiano tem de ser não-nulo em todo e 
qualquer ponto em I. 
Como antes, isso implica que o Wronskiano ou é zero para 
todo ponto em I, ou nunca é zero em I. 
  
)()()(
)()()(
)()()(
,,,
0
)1(
0
)1(
20
)1(
1
00201
00201
021
tytyty
tytyty
tytyty
tyyyW
n
n
nn
n
n
n







Teorema 4.1.2
Seja o problema de valor inicial de n-ésima ordem 
Se as funções p1,…, pn são contínuas em um intervalo aberto 
I, e se y1,…, yn são soluções com W(y1,…, yn)(t)  0 para pelo menos um t em I, então toda solução y da EDO pode ser 
expressa como uma combinação linear de y1,…, yn:
      )1(0)1(0000
11
1
1
,,,
0)()()(





nn
nnn
n
n
n
ytyytyyty
ytp
dt
dytp
dt
ydtp
dt
yd


)()()()( 2211 tyctyctycty nn 
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Exemplo 2
Verifique que as funções dadas são soluções da equação 
diferencial, e determine seu Wronskiano.
32 ,,1;0 ttytyt 
Soluções Fundamentais & Independência 
Linear
Seja a EDO de n-ésima ordem: 
Um conjunto {y1,…, yn} de soluções com W(y1,…, yn)  0 em Ié chamado de conjunto fundamental de soluções. 
Já que todas as soluções podem ser expressas como uma combinação linear do conjunto fundamental de soluções, a solução geral é
Se y1,…, yn são soluções fundamentais, então W(y1,…, yn)  0em I. Mostra-se que isso é equivalente a dizer que y1,…, yn são linearmente independentes, ou seja:
0)()()( 1)1(1)(   ytpytpytpy nnnn 
)()()()( 2211 tyctyctycty nn 
021 se 0)()(22)(11  nccctnynctyctyc 
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Equações Não-Homogêneas
Seja a equação não-homogênea: 
Se Y1, Y2 são soluções para a equação não-homogênea, então 
Y1 - Y2 é uma solução para a equação homogênea:
Então existem coeficientes c1,…, cn tais que 
Logo, a solução geral para a EDO não-homogênea é
onde Y é qualquer solução particular para a EDO não-
homogênea.
  )()()()( 11
1
1 tgytpdt
dytp
dt
ydtp
dt
ydyL nnn
n
n
n
 


      0)()(2121  tgtgYLYLYYL
)()()()()( 221121 tyctyctyctYtY nn 
)()()()()( 2211 tYtyctyctycty nn  
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Seção 4.2: Equações Diferenciais Lineares 
Homogêneas com Coeficientes Constantes
Seja a equação diferencial linear homogênea de n–ésima 
ordem com coeficientes reais constantes:
Como no caso de equações lineares de segunda ordem com 
coeficientes constantes, y = ert é uma solução para valores 
de r que fazem o polinômio característico Z(r) igual a zero:
Pelo teorema fundamental da álgebra, um polinômio de 
grau n tem n raízes r1, r2, …, rn complexas e, portanto
  01)1(1)(0   yayayayayL nnnn 
    0
)( ticocaracterís polinômio
1
1
10      
rZ
nn
nnrtrt arararaeeL
)())(()( 210 nrrrrrrarZ  
Raízes Reais e Diferentes (ou distintas)
Se as raízes do polinômio característico Z(r) são reais e 
diferentes, então existem n soluções distintas da equação 
diferencial:
Sendo essas funções linearmente independentes, então a 
solução geral da equação diferencial é 
O determinante Wronskiano pode ser usado para verificar 
a independência linear das soluções.
trtrtr neee ,,, 21 
tr
n
trtr necececty  21 21)(
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Exemplo 1: Raízes Reais Distintas (1 de 3)
Seja o problema de valor inicial
Assumindo soluções exponenciais chega-se ao polinômio 
característico:
Logo, a solução geral é
     04321
02414132)( 234


rrrr
rrrrety rt
tttt ececececty 43
3
3
2
21)(  
1)0(,0)0(,1)0(,1)0(
02414132)4(


yyyy
yyyyy
Exemplo 1: Solução (2 de 3)
As condições iniciais
levam ao sistema
Cuja solução é 
Portanto
164278
01694
1432
1
4321
4321
4321
4321




cccc
cccc
cccc
cccc
1)0(,0)0(,1)0(,1)0(  yyyy
tttt ececececty 43
3
3
2
21)(  
7
1,70
11,5
4,2
1
4321  cccc
tttt eeeety 432 7
1
70
11
5
4
2
1)(  
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Exemplo 1: Gráfico da Solução (3 de 3)
O gráfico da solução é dado abaixo. Note o efeito da maior 
raiz do polinômio característico. 
tttt eeeety 432 7
1
70
11
5
4
2
1)(  
Raízes Complexas
Se o polinômio característico Z(r) tem raízes complexas, 
então elas devem ocorrer em pares conjugados,   i. 
Note que nem todas as raízes precisam ser complexas. 
Soluções para raízes complexas têm a forma
Como na Seção 3.4, usamos as soluções de valor real
 
  tietee
tietee
ttti
ttti




sencos
sencos




tete tt   sen,cos
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Exemplo 2: Raízes Complexas
Seja a equação
Então
Mas
Então a solução geral é
   01101)( 23  rrrrety rt0 yy
iirrr 2
3
2
1
2
31
2
411012 
   2/3sen2/3cos)( 2/32/21 tectececty ttt  
Exemplo 3: Raízes Complexas (1 de 2)
Seja o problema de valor inicial
Então
As raízes são 1, -1, i, -i. Logo, a solução geral é
Usando as condições iniciais, obtém-se
O gráfico da solução é dado à direita.
   01101)( 224  rrrety rt
2)0(,2/5)0(,4)0(,2/7)0(,0)4(  yyyyyy
   tctcececty tt sencos)( 4321  
   tteety tt sencos2
130)(  
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Exemplo 3:
Pequenas Mudanças nas Condições Iniciais (2 de 2)
Note que se uma condição inicial é levemente modificada, 
então a solução pode mudar significativamente. Por exemplo, 
substitua
por
então 
O gráfico comparando essa solução com a original é dado 
abaixo. 
   tteety tt sincos2
130)(  
2)0(,2/5)0(,4)0(,2/7)0(  yyyy
8/15)0(,2/5)0(,4)0(,2/7)0(  yyyy
   tteety tt sen16
17cos2
1
32
95
32
1)(  
Raízes Repetidas (raízes reais, iguais)
Sejam as raízes rk do polinômio característico Z(r) raízesrepetidas com multiplicidade s. Então soluções linearmente
independentes correspondendo a essas raízes repetidas têm a 
forma
Se uma raíz complexa  + i é repetida s vezes, então
também o é seu conjugado  - i. Existem 2s soluções
linearmente independentes correspondentes, derivadas da 
parte real e imaginária
ou
trstrtrtr kkkk etettee 12 ,,,, 
,sen,cos
,,sen,cos,sen,cos
11 teettet
ttettetete
ttrstrs
tttt
kk 





       tiustiutiutiu etettee   12 ,,,, 
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Exemplo 4: Raízes Repetidas
Seja a equação
Então
As raízes são 2i, 2i, -2i, -2i. Logo, a solução geral é
   0440168)( 224  rrrrety rt
0168)4(  yyy
   ttcttctctcty 2sen2cos2sen2cos)( 4321 
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Seção 4.3: EDOs Lineares Não-Homogêneas: 
Método dos Coeficientes a Determinar
O método dos coeficientes a determinar pode ser usado 
para encontrar uma solução particular Y de uma EDO linear 
não-homogênea de n-ésima ordem com coeficientes 
constantes
desde que g(t) tenha uma forma apropriada. 
Como no caso de equações de 2a ordem, o método dos 
coeficientes a determinar é usado tipicamente quando g(t) é 
uma soma ou produto de funções polinomial, exponencial, e 
seno ou coseno. 
A Seção 4.4 discute o método de variação de parâmetros, 
que tem aplicabilidade mais geral. 
  ),(1)1(1)(0 tgyayayayayL nnnn   
Exemplo 1
Seja a equação diferencial
Para a equação homogênea associada,
Logo, a solução geral da equação homogênea é
Para o caso não-homogêneo, deve-se observar a forma da 
solução homogênea que já inclui a função em g(t). Logo, 
Como no Capítulo 3, mostra-se que
teyyyy 433 
teAttY 3)( 
  010133)( 323  rrrrety rt
ttt
C etctececty
2
321)( 
tettetcttectectytettY 33
22321)(33
2)( 
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Exemplo 2
Seja a equação
Para a equação homogênea associada,
Logo, a solução geral da equação homogênea é
Para o caso não-homogêneo, começamos com
Como no Capítulo 3, mostra-se que
tBtAtY cossin)( 
tttY cos3
1sin9
2)( 
ttyyy cos3sin2168)4( 
   0440168)( 2224  rrrrety rt
   ttcttctctctyC 2sin2cos2sin2cos)( 4321 
    ttttcttctctcty cos3
1sin9
22sin2cos2sin2cos)( 4321 
Exemplo 3
Seja a equação
Como no Exemplo 2, a solução geral da equação homogênea é,
Para o caso não-homogêneo, começamos com
Como no Capítulo 3, mostra-se que
tBttAttY 2cos2sin)( 22 
tttttY 2cos32
32sin16
1)( 22 
ttyyy 2cos32sin2168)4( 
   ttcttctctctyC 2sin2cos2sin2cos)( 4321 
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Exemplo 4
Seja a equação
Para a equação homogênea associada,
Logo, a solução geral da equação homogênea é
Para o caso não-homogêneo, deve-se observar a forma da 
solução homogênea com uma soma de funções. Logo, temos 
duas soluções particulares: 
Como no Capítulo 3, mostra-se que
tetyy 39 
  ,)(,)( 321 tCtetYtBtAtY 
     033909)( 23  rrrrrrrety rt
tt
C ececcty
3
3
3
21)( 
tettYttY 32
2
1 18
1)(,18
1)( 
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Seção 4.4: Variação de Parâmetros
O método de variação de parâmetros pode ser usado para 
encontrar uma solução particular Y de uma EDO linear não-
homogênea de n-ésima ordem
desde que g(t) seja contínua. 
Como no caso de equações de 2a ordem, assumindo que y1, y2…, yn são soluções fundamentais para a equação homogênea associada. 
A seguir, assumimos que a solução particular Y tem a forma
onde u1, u2,… un são funções a determinar. 
Para se determinar essas n funções, precisamos de n equações. 
  ),()()()( 1)1(1)( tgytpytpytpyyL nnnn   
)()()()()()()( 2211 tytutytutytutY nn 
Variação de Parâmetros (2 de 5)
Primeiro, calculamos a derivada de Y:
Se exigimos que
então 
Logo, a seguir exigimos
Continuando nesse caminho, exigimos que
e portanto
   nnnn yuyuyuyuyuyuY   22112211
02211  nn yuyuyu 
   nnnn yuyuyuyuyuyuY   22112211
02211  nn yuyuyu 
1,,1,0)1()1(2)1(11 2   nkyuyuyu knkk n 
1,,1,0,)()(11)(  nkyuyuY knnkk 
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Variação de Parâmetros (3 de 5)
Do slide anterior, 
Finalmente,
A seguir, substituímos essas derivadas na EDO
Lembrando que y1, y2 …, yn são soluções para a equação homogênea, e após rearranjarmos os termos, obtemos 
   )()(11)1()1(11)( nnnnnnnnn yuyuyuyuY   
1,,1,0,)()(11)(  nkyuyuY knnkk 
gyuyu nnn
n   )1()1(11 
)()()()( 1)1(1)( tgytpytpytpy nnnn   
Variação de Parâmetros (4 de 5)
As n equações necessárias para determinarmos as n funções 
u1, u2,… un são, portanto
Usando a Regra de Cramer, para cada k = 1, …, n,
e Wk é o determinante obtido substituindo a k-ésima coluna de 
W por (0, 0, …, 1). 
gyuyu
yuyu
yuyu
n
nn
n
nn
nn



 )1()1(
11
11
11
0
0




))(,,()( onde,)(
)()()( 1 tyyWtWtW
tWtgtu nkk 
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Variação de Parâmetros (5 de 5)
Do slide anterior, 
Integramos para obtermos u1, u2,… un:
Logo, a solução particular Y é dada por
onde t0 é arbitrário. 
nk
tW
tWtgtu kk ,,1,)(
)()()( 
nkds
sW
sWsgtu
t
t
k
k ,,1,)(
)()()(
0
 
 




n
k
k
t
t
k tyds
sW
sWsgtY
1
)()(
)()()(
0
Exemplo (1 de 3)
Seja a equação abaixo, juntamente com as soluções dadas y1, 
y2, y3 da equação homogênea associada :
Então uma solução particular dessa EDO é dada por
Mostra-se que
tttt etytetyetyeyyyy  )(,)(,)(, 3212
 




3
1
2
)()(
)()(
0k
k
t
t
k
s
tyds
sW
sWetY
 
 
t
ttt
ttt
ttt
e
eete
eete
etee
tW 4
2
1)( 





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Exemplo (2 de 3)
Também, 
 
 
 
 
t
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
e
ete
ete
tee
tW
ee
ee
ee
tW
t
eet
eet
ete
tW













12
01
0
)(
2
1
0
0
)(
12
21
10
0
)(
3
2
1
Exemplo (3 de 3)
Logo, uma solução particular é
Escolhendo arbitrariamente t0 = 0, obtemos
Mais simplesmente, excluindo termos da solução da 
homogênea associada
 
  

 








t
t
s
tt
t
s
tt
t
s
t
t
t s
ss
tt
t s
s
tt
t s
s
t
k
k
t
t
k
s
dseedsetedssee
ds
e
eeeds
e
eteds
e
see
tyds
sW
sWetY
000
000
0
4
2222
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CEFET-RJ Segundo Semestre, 2015 Prof. Marcos H. da Silva Bassani
GEXT 7303 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS