AULA 04 ARRANJOS SIMPLES E COM REPETIÇÕES

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ANÁLISE COMBINÁTORIA
AULA 04 – ARRANJOS SIMPLES E ARRANJOS COM REPETIÇÕES 
OBJETIVO: 1- Identificar arranjos simples e com repetição; 2- Reconhecer arranjos simples e com repetição; 3- Verificar a diferença existente entre arranjos simples e com repetição.
Introdução Nesta aula, abordaremos os tipos de agrupamentos onde a ordem dos seus elementos é relevante. Aprenderemos situações onde esses elementos se repetem ou não e, finalmente, relacionaremos esses conceitos com o Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo). Veremos estratégias importantes que pouco aparecem em nossos livros didáticos.
Consideremos 3 rapazes: João, Paulo, Pedro Vamos, a partir desse pequeno grupo, formar todas as duplas possíveis. Tarefa fácil, não?
Veja aqui quais duplas podemos formar.
	1º dupla – João e Paulo
	2º dupla – João e Pedro
	3º dupla – Pedro e Paulo
Realmente foi muito fácil. Que tal aumentarmos esse grupo? Vamos acrescentar mais uma pessoa:
	Luiza
Passamos a ter um grupo com 4 pessoas, a saber:
	João
	Paulo 
	Pedro 
	Luiza 
Vamos formar as novas duplas?
Veja aqui quais duplas podemos formar.
É fácil observar que, na medida em que o número de pessoas aumenta, nossa tarefa vai se tornando cada vez mais difícil. Podemos formular algumas perguntas, tais como: 1) Qual a finalidade dessas duplas? 2) Estamos interessados em quais são essas duplas ou quantas são? 3)  Existiria uma maneira mais geral e mais rápida de dizermos quantas são essas duplas ?
A seguir veremos juntos a resposta para cada uma dessas perguntas.
A finalidade
É muito importante, pois se a formação da dupla tiver como objetivo  representar um grupo, por exemplo, em uma reunião, é indiferente a dupla formada por João e Pedro ou por Pedro e João, já que a ordem das pessoas não alterará o objetivo final. Entretanto, se essa dupla tem como proposta a formação de uma chapa para concorrer às eleições de presidente e vice-presidente de um clube, nesse caso, a chapa formada por João e Pedro é diferente da chapa formada por Pedro e João, uma vez que João presidente e Pedro vice é uma situação diferente de João vice e Pedro presidente.
A pergunta agora é...“Estamos interessados em quais são essas duplas ou quantas são?”
Essa é outra pergunta importante pois, quando estamos interessados em contar os casos, a situação pode ser resolvida mais facilmente. Entretanto, se a finalidade for enumerar todas as possíveis duplas, o problema poderá se tornar trabalhoso demais ou até mesmo exigir outras ferramentas mais sofisticadas, como um computador.
Existiria uma maneira mais geral e mais rápida de dizermos quantas são essas duplas ?
Na verdade, poderíamos criar diversas estratégias para responder essa questão. Talvez uma estratégia razoável fosse  a criação de tabelas que permitam uma melhor visualização da situação problema. Então, vejamos: Na primeira situação podemos denominar João pela letra A, Paulo pela B e Pedro pela C e criar a  tabela de dupla entrada ao lado.
Nessa tabela, evidentemente, devemos excluir os casos AA, BB e CC que, no nosso contexto, não são “duplas”. Como na nossa situação inicial estamos considerando a dupla AB sendo a mesma que a dupla BA, temos os nossos 3 casos já identificados (AB, AC e BC).
	
	A
	B
	C
	A
	AA
	AB
	AC
	B
	BA
	BB
	BC
	C
	CA
	CB
	CC
No segundo momento, incluímos mais uma pessoa: LUIZA que representaremos pela letra D, e assim temos a nova tabela.
	
	A
	B
	C
	D
	A
	AA
	AB
	AC
	AD
	B
	BA
	BB
	BC
	BD
	C
	CA
	CB
	CC
	CD
	D
	DA
	DB
	DC
	DD
Mais uma vez devemos excluir a diagonal formada pelos elementos (AA, BB, CC, DD). Como estamos considerando as duplas AB e BA como sendo a mesma, as nossas 6 duplas são: (AB,AC,AD,BC,BD,CD).
No terceiro momento incluímos: REGINA que, na nova tabela, será representada pela letra E. Vamos à tabela:
	
	A
	B
	C
	D
	E
	A
	AA
	AB
	AC
	AD
	AE
	B
	BA
	BB
	BC
	BD
	BE
	C
	CA
	CB
	CC
	CD
	CE
	D
	DA
	DB
	DC
	DD
	DE
	E
	EA
	EB
	EC
	ED
	EE
	
Nesse momento, acreditamos que podemos pensar de forma mais abstrata para um  conjunto com n elementos. O total de duplas que podemos formar é igual a: n x n = n2 Em todas as situações, descontamos os casos onde a mesma pessoa estaria formando “dupla” com ela mesma( AA,BB,CC,....)ou seja, n situações. Logo , teríamos n2- n = n(n-1) duplas. Como cada dupla está sendo contada duas vezes, devemos dividir por 2, chegando na expressão, n(n-1) / 2 que é a expressão que responde rapidamente a nossa situação.   
Vejamos: 3 pessoas: 3(3-1)/2 = 3 duplas 4 pessoas: 4(4-1)/ 2 = 6 duplas 5 pessoas: 5(5-1)/ 2 = 10 duplas
Atenção !Nos parece razoável pensar que, quando a situação exigir que a ordem seja considerada, bastará que não dividamos a expressão por 2, ou seja o total de pares será dado pela expressão n(n-1). Que tal algumas novas situações? Mas antes, uma boa sugestão para definirmos se a ordem dos elementos é ou não relevante: construir um grupo do tipo que o problema menciona.
Exemplo A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com 5 algarismos, cada um dos quais pode variar de 0 a 9.
Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às seguintes condições:
a) Se o primeiro algarismo é ímpar, então o último também é ímpar; b) Se o primeiro é par, então o último é igual ao primeiro; c) A soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.
Quantas combinações diferentes atendem às condições estabelecidas pelo Dr. Z?
Solução : Seja Z = abcde o número procurado. Da segunda condição sabemos que b + c =5, condição que será atendida em 6 situações. São elas:
b = 0 e c = 5 b = 1 e c = 4 b = 2 e c = 3 b = 3 e c = 2 b = 4 e c = 1 b = 5 e c = 0 Analisemos o caso onde o algarismo a é ímpar: então, o último também será. Devemos observar que a escolha do d está livre e, portanto, poderá ser feita de 10 maneiras diferentes. Logo, nessa primeira situação, temos: 5 x 6 x 10 x 5 = 1500. Analisemos o caso onde o algarismo a é par: então o último algarismo já está definido e é igual ao mesmo valor escolhido para o a. Portanto, temos: 5 x 6 x 10 x 1 = 300. Somando as duas situações, obtemos a resposta procurada: 1500+300 = 1800 possibilidades
Esse problema combina os dois princípios de contagem: Princípio multiplicativo e Princípio da Adição. Chegou o momento de formalizarmos o conceito desse tipo de grupamento, mas antes clique aqui e veja mais alguns exemplos.
Princípio multiplicativo e Princípio da Adição
Definição: Arranjos simples de n elementos tomados p a p, onde n ≥ 1 e p é um número natural tal que p ≤ n, são todos os grupos de p elementos distintos que diferem entre si pela ordem e pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo.
Notação: An,p ou Anp
An,p = n! / (n – p)!
 Exemplos: ( salvo em pdf ) Antes de dar continuidade a seus estudos, veja alguns exemplos para entender melhor o conteúdo abordado.
Arranjos com Repetição Seja M um conjunto com m elementos.
Chamamos arranjo com repetição dos m elementos, tomados r a r, toda r-upla ordenada (sequência de tamanho r) formada com elementos de M, não necessariamente distintos. O número de arranjos com repetição de m elementos tomados r a r é indicado por:
(AR)m,r = m x m x m x .....x m = mr
EXEMPLO( salvo em pdf) Antes de ancerrar seus estudos, veja alguns exemplos e entenda melhor.
SINTESE DA AULA 
Nesta aula, você:
Compreendeu o conceito de arranjos simples e com repetição;
Aprendeu a utilizar arranjos simples e com repetição na resolução de problemas;
Analisou a necessidade ou não, de recorrer ao conceito de arranjos para a resolução de problemas na combinatória.