Problemas de Valores Iniciais e de Contorno em Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

Aula 12: Problemas de valores iniciais e de contorno.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 2a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Um problema de valor inicial para a equac¸a˜o
d2y
dx2
+P (x)
dy
dx
+Q(x)y = G(x)
ou
d2y
dx2
+ P (x)
dy
dx
+ Q(x)y = 0 de segunda ordem consiste em determinar
uma soluc¸a˜o y da equac¸a˜o diferencial que satisfac¸a a`s condic¸o˜es iniciais da
forma:
y(x0) = y0 y
′(x0) = y1
onde y0 e y1 sa˜o constantes. Se P,Q e G forem cont´ınuas em um intervalo,
enta˜o temos um teorema que garante a existeˆncia e unicidade de uma soluc¸a˜o
para esse problema de valor inicial.
Exemplo : Resolva o problema de valor inicial:
y′′ + y′ − 6y = 0, y(0) = 1 y′(0) = 0
Exemplo : Resolva o problema de valor inicial:
y′′ + y = 0, y(0) = 2 y′(0) = 3
Um problema de contorno para a equac¸a˜o
d2y
dx2
+ P (x)
dy
dx
+ Q(x)y = G(x)
ou
d2y
dx2
+ P (x)
dy
dx
+ Q(x)y = 0 consiste em determinar uma soluc¸a˜o y da
equac¸a˜o diferencial que tambe´m satisfac¸a as condic¸o˜es de contorno da forma:
y(x0) = y0 y(x1) = y1.
Em contraste com a situac¸a˜o para PVI, um problema de contorno nem sempre
tem uma soluc¸a˜o.
Exemplo: Resolva o problema de contorno:
1
y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = 1 y(1) = 3
2