2aListaIBM_2010

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Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral I
IBM / 2010
Exerc´ıcio 1. Dada a func¸a˜o f : A→ R, em que f(x) = 3x− 5 e A = {−2, 0, 1},
determine o conjunto imagem de f .
Exerc´ıcio 2. Seja a func¸a˜o f : R→ R dada por y = x2 − 5x+ 7. Pede-se:
i) a imagem do nu´mero real x = 4;
ii) o nu´mero real x tal que y = 1.
Exerc´ıcio 3. Seja a func¸a˜o f : R∗ → R dada por f(x) = x + 1
x
. Determine os
valores:
i) f(3)
ii) f(x+ 1), para x 6= −1
iii) f(1
2
)
iv) f(a− 1), para a 6= 1
Exerc´ıcio 4. As func¸o˜es f e g sa˜o dadas por f(x) = 2x − 3 e g(x) = 3x + a.
Determine o valor de a sabendo que f(2) + g(2) = 8.
Exerc´ıcio 5. Seja f : R→ R uma func¸a˜o tal que:
i) f(x) = x2 + bx+ c
ii) f(1) = 2
iii) f(−1) = 12
Determine f(2).
Exerc´ıcio 6. Dada a func¸a˜o f(x) = x2− 1, determine o conjunto imagem de f .
Exerc´ıcio 7. Se D = {1, 2, 3, 4, 5} e´ o domı´nio da func¸a˜o f : D → R dada por
f(x) = (x− 2)(x− 4), quantos elementos tem o conjunto Imf ?
Exerc´ıcio 8. Seja f : R∗ → R a func¸a˜o dada por f(x) = x
2 + 1
x
. Qual e´ o valor
de f(3) + f(
1
3
)?
1
Exerc´ıcio 9. Determine o domı´nio de
1)f(x) = (x− 1)(x+ 2) 2)f(x) = x
2 − 4√
2− x 3)f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
4)f(x) =
x2 − 4√
x2 + 1
5)f(x) =
x3 − 3x+ 11
(2− x)(x− 12) 6)f(x) =
√
|x3|+ 1
7)f(x) =
1
|x2 − 4x− 5| 8)f(x) =
√
x
3
√
x− 1 9)f(x) =
6
√
x− 3
x+ 2
10)f(x) =
√
x+
√
2x− 3 11)f(x) =
√
9− x2 12)f(x) =
√
x2 − 9
13)f(x) =
[
x2 − 6x+ 5]1/2 14)f(x) = √3− x 15)f(x) = 1
x+ 5
+
1
x2 − 4
16)f(x) =
√
x+ 1 +
√
x− 5 17)f(x) = 1
x
√
2x− 1 18)f(x) =
√
x− 4 + 1
x− 6
Exerc´ıcio 10. Simplifique
f(x+ h)− f(x)
h
, com h 6= 0, sendo f(x) igual a :
(i) f(x) = 5, (ii) f(x) = 3x2 − 1, (iii) f(x) = x3, (iv) f(x) = sen(x),
(v) f(x) =
√
x, (vi) f(x) =
1
x+ 2
, (vii) f(x) = x4.
Exerc´ıcio 11. Verifique se as func¸o˜es sa˜o pares, ı´mpares ou nem pares, nem
ı´mpares:
a) f(x) = x−2
b) f(x) = x−3
c) f(x) = x2 + x
d) f(x) = x4 − 4x2
e) f(x) = x3 − x
f) f(x) = 3x3 + 2x2 + 1
g) f(x) = 5x3 − 2x
h) f(x) =
x3 − 1
x2 + 1
j) f(x) = cos(x3 + x7)
Exerc´ıcio 12. Classifique as seguintes func¸o˜es, quando poss´ıvel, quanto a serem
injetoras, sobrejetoras, bijetoras, limitadas e mono´tonas:
a) g : R→ R; g(x) = 1− x2;
b) n : R→ Z; n(x) = [x];
c) f : (−pi/2, pi/2)→ R; f(x) = tan(x);
d) g : R→ R+; h(x) = |x− 1|;
e)f : R→ [−1, 1]; f(x) = cos(x)
f) g : R→ R; g(x) = 1
2
sen(2pix).
Exerc´ıcio 13. Se f : R→ R e g : [−1,∞)→ R sa˜o dadas por f(x) = x2+2x−2
e g(x) =
√
x+ 1, e´ poss´ıvel definir f ◦ g e g ◦ f? Ana´logo para f : R → (0, 1] e
2
g : (0, 1]→ [1,∞), dadas por f(x) = 1
1 + x2
e g(x) =
1
x
.
Exerc´ıcio 14. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa.
i) f(x) =
1 + 3x
5− 2x
ii) f(x) = 5− 4x3
iii) f(x) =
√
2 + 5x
iv) y = 210
x
v) y = ln(x+ 3)
vi) y =
1 + ex
1− ex
vii) f(x) =
1− x
1 + x
, x 6= −1
Exerc´ıcio 15. Se f(x) = ln x e g(x) = x2 − 9, encontre as func¸o˜es f ◦ g, g ◦
f, f ◦ f, g ◦ g e seus respectivos domı´nios.
Exerc´ıcio 16. Se f e g sa˜o func¸o˜es tais que f(x) = 3x − 1 e f(g(x)) = x,
determine g(x).
Exerc´ıcio 17. Definimos f : N→ N por:{
f(0) = 1
f(n+ 1) = 2f(n)
Enta˜o f(3) e´:
a) 8 b) 9 c) 12 d) 16 e) 32
Exerc´ıcio 18. Estude o sinal das seguintes func¸o˜es:
a) y = x3 − 9x2 + 23x− 15 b) y = 5x5 − 5x4 − 80x+ 80.
c) y = x7 − 5x6 + 6x5 d) y = x
3
x2 + 3x− 10.
e) y = x5 − 6x3 + 9x f) y = x
2 − 2x− 3
−x2 + 5x− 4 .
Exerc´ıcio 19. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = |x+ 3|; b) f(x) = 5
x
;
c) f(x) = |x2 − x− 6|; d) f(x) =

x+ 2, x ≤ −1
x3, |x| < 1
−x+ 3, x ≥ 1
;
e) f(x) = |x2 − 2x| − |x2 − 4|; f)f(x) = | |x2 − 4| − 6|.
Exerc´ıcio 20. Seja d a distaˆncia de (0,0) a (x, y). Expresse d em func¸a˜o de x,
sabendo que (x, y) e´ um ponto do gra´fico de y = 1
x
.
Exerc´ıcio 21. Um homem de 1,80 metros de altura esta´ parado, ao n´ıvel da
rua, perto de um poste de iluminac¸a˜o de 4,50 metros que esta´ aceso. Exprima o
comprimento de sua sombra como func¸a˜o da distaˆncia que ele esta´ do poste.
3
Exerc´ıcio 22. Um tanque, com a´gua, tem a forma de um cone circular reto,
com ve´rtice apontando para baixo. O raio da base do cone e´ igual a 9 metros e sua
altura e´ de 27 metros. Exprima o volume da a´gua no tanque como func¸a˜o de sua
profundidade.
Exerc´ıcio 23. Um objeto e´ lanc¸ado, verticalmente, e sabe-se que no instante
t segundos sua altura e´ dada por h(t) = 4t− t2 quiloˆmetros, 0 ≤ t ≤ 4.
a) esboce o gra´fico de h = h(t).
b) Qual a altura ma´xima atingida pelo objeto? Em que instante essa altura e´
atingida?
Exerc´ıcio 24. Os lados iguais de um triaˆngulo iso´sceles teˆm medida 2. Se x
e´ a base, exprese a a´rea como func¸a˜o de x.
Exerc´ıcio 25. Um fio de comprimento L e´ cortado em dois pedac¸os, e estes
tomam a forma de uma circunfereˆncia e de um quadrado. Se x e´ o lado do quadrado,
expresse a a´rea total A englobada pelas duas figuras como func¸a˜o de x. Qual o
domı´nio de A?
Exerc´ıcio 26. A seguinte tabela e´ fornecida para o ca´lculo anual do imposto de
renda de pessoa f´ısica para o exerc´ıcio de 2009, ano-calenda´rio 2008.
Base de Ca´lculo Al´ıquota Parcela a Deduzir
ate´ R$ 17.215,08 isento -
de R$ 17.215,09 a R$ 25.800,00/ 7,5% R$ 1.291,13
de R$ 25.800,01 a R$ 34.400,40/ 15% R$ 3.226,13
de R$ 34.400,41 a R$ 42.984,00/ 22,5% R$ 5.806,16
acima de R$ 42.984,00 27,5% R$ 7.955,36
Baseado na tabela acima, construa o gra´fico do imposto a pagar em func¸a˜o do rendi-
mento.
Exerc´ıcio 27. A e B sa˜o locadoras de um automo´vel. A locadora A cobra 1 real
por quiloˆmetro rodado mais uma taxa fixa de 100 reais. A locadora B cobra 80 cen-
tavos por quiloˆmetro rodado mais uma taxa fixa de 200 reais. Discuta a vantagem
de A sobre B ou de B sobre A em func¸a˜o do nu´mero de quiloˆmetros a serem rodados.
Exerc´ıcio 28. Uma caixa sem tampa sera´ feita recortando-se pequenos quadra-
dos congruentes dos cantos de uma folha de estanho medindo 20 cm por 20 cm e
dobrando-se os lados para cima. Se os quadrados nos cantos do papel possuem lado
x cm, escreva o volume total da caixa em func¸a˜o de x. Se V e´ tal func¸a˜o, qual e´ o
seu domı´nio?
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