314003 Sistemas de Coordenadas

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Sistemas de Coordenadas 
Técnico em Edificações 
Prof. Dr. Denílson Seidel 
denilson.seidel@passofundo.ifsul.edu.br 
Matemática Aplicada I 
 Levantamento planimétrico 
 Parte da topografia que estuda e estabelece os procedimentos e 
métodos de medida de distância e ângulos, cálculo de áreas e 
representação gráfica no plano horizontal. 
 
Representação gráfica 
 Sistema de Coordenadas Cartesianas 
 x: abscissa 
 y: ordenada 
 
 Sistema de Coordenadas Polares (r, ) 
 r: distância 
  : ângulo 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 2 
 Sistema de Coordenadas Cartesianas 
 No plano bidimensional, é formado por dois eixos perpendiculares 
coordenados (numerados) que se interceptam no ponto 0 de cada 
uma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 3 
 P (a,b) 
 a: coordenada x (ABSCISSA) 
 b: coordenada y (ORDENADA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 
 Como determinar as coordenadas do vértice 1 da representação 
gráfica abaixo? 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 4 
x 
1  
y 
 
sen
cateto oposto
θ
hipotenusa

 
cos
cateto adjacente
θ
hipotenusa
  1 16,77 cos 51º 42'15''y    1 16,77 sen 51º 42'15''x  
 Exemplo 
 Como determinar as coordenadas do vértice 2 da representação 
gráfica abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 5 
x 
1 
 
y  
2 
 2 1 29,62 cos 78º22'51''y y  
 2 1 29,62 sen 78º22'51''x x    2 1 1 2 1 2senx x d Az   
 2 1 1 2 1 2cosy y d Az   
1 
4 
3 
2 
Generalizando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 6 
 1 1, 1,seni i i i i ix x d Az    
 1 1, 1,cosi i i i i iy y d Az    
 Problema 1 
 A figura ao lado mostra um levantamento topográfico de 4 vértices 
de uma área plana. 
 
 Determine as coordena- 
 das dos vértices 1,2,3,4. 
 
 Represente essa poligo- 
 nal no sistema de coor- 
 denadas cartesianas, to- 
 mando o vértice 1, de 
 coordenadas (–2, – 3) 
 como referência. 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 7 
1 
4 
3 
2 
Resposta do Problema 1 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 8 
– 𝑥1 = −2 
 𝑦1 = −3 
– 𝑥2 = 25,05 
 𝑦2 = −23,59 
– 𝑥3 = 67,57 
 𝑦3 = 20,17 
– 𝑥4 = 27,62 
 𝑦4 = 36,90 
– 𝑥 1 = −2,01 
 𝑦 1 = −2,99 
 
 
 
 
 
 
 Problema 2 
 A tabela abaixo mostra um levantamento topográfico de 5 vértices 
de uma área plana, realizado com um teodolito digital de 0º 0’ 15’’ 
de precisão angular, cujo croqui é mostrado na figura. 
 Determine as coordenadas cartesianas dessa poligonal, 
considerando que o vértice 1 (ponto de referência) tem 
coordenadas (– 4,6) e que o azimute 1,2 é 166º 58’ 1’’. 
 Represente essa poligonal no sistema de coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 9 
N 
1 
5 
4 
3 2 
Vértice Ângulo interno Medida (m) 
1 69º 54’ 28’’ 1-2: 107,68 
2 103º 1’ 59’’ 2-3: 53,82 
3 102º 24’ 36’’ 3-4: 83,89 
4 122º 38’ 42’’ 4-5: 17,85 
5 142º 0’ 15’’ 5-1: 84,16 
 
Resposta do Problema 2 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Coordenadas 
14/06/2016 Matemática Aplicada I 10 
– 𝑥1 = −4 
 𝑦1 = 6 
– 𝑥2 = 20,39 
 𝑦2 = −98,88 
– 𝑥3 = 74,21 
 𝑦3 = −98,88 
– 𝑥4 = 92,23 
 𝑦4 = −16,95 
– 𝑥5 = 79,92 
 𝑦5 = −4,31 
– 𝑥 1 = −3,90 
 𝑦 1 = −6,03