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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Terceira Avaliação Presencial - 2o. semestre de 2009 - Profa. Ana Maria Farias
1. Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada F (x) = Pr(X ≤ x) dada
por
F (x) =
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
0 se x < 2
(x−2)2
3 se 2 ≤ x < 3
10x−x2−19
6 se 3 ≤ x < 5
1 se x ≥ 5
Calcule
(a) Pr(X > 3)
Solução
Pr(X > 3) = 1− Pr(X ≤ 3) = 1− F (3) = 1− 10× 3− 3
2 − 19
6
= 1− 2
6
=
2
3
(b) Pr(X ≤ 4)
Solução
Pr(X ≤ 4) = F (4) = 10× 4− 4
2 − 19
6
=
5
6
(c) Pr(X ≤ 4|X > 3)
Solução
Pr(X ≤ 4|X > 3) = Pr(3 < X ≤ 4)
Pr(X > 3)
=
Pr(X ≤ 4)− Pr(X ≤ 3)
Pr(X > 3)
=
F (4)− F (3)
1− F (3)
=
5
6 −
1
3
2
3
=
1
2
2
3
=
3
4
2. Seja X ∼ N(4; 32).
(a) Calcule o primeiro quartil Q1. (Lembre-se: Pr(X < Q1) = 0, 25)
Solução
Pr(X < Q1) = 0, 25⇐⇒ Pr
µ
Z <
Q1 − 4
3
¶
= 0, 25⇐⇒ Pr
µ
Z > −Q1 − 4
3
¶
= 0, 25⇐⇒
tab
µ
4−Q1
3
¶
= 0, 25⇐⇒ 4−Q1
3
= 0, 67⇐⇒ Q1 = 4− 3× 0, 67
(b) Calcule o terceiro quartil Q3. (Lembre-se: Pr(X > Q3) = 0, 25)
Solução
Pr(X > Q3) = 0, 25⇐⇒ tab
µ
Q3 − 4
3
¶
= 0, 25⇐⇒ Q3 − 4
3
= 0, 67⇐⇒ Q3 = 4+3×0, 67
(c) Calcule o intervalo interquartil IQ = Q3 −Q1.
Solução
IQ = Q3 −Q1 = 2× 3× 0, 67 = 3× 1, 34 = 4, 02
1
(d) Sem refazer os cálculos, calcule IQ para X ∼ N(10; 62).
Solução
IQ = Q3 −Q1 = 6× 1, 34 = 8, 04
3. Use a tabela da distribuição t para determinar
(a) (0,5 ponto) o valor crítico para um teste unilateral à esquerda com nível α = 0, 01
quando gl = 8;
(b) (0,5 ponto) o valor crítico para construção de um intervalo de confiança de 88% quando
gl = 21.
Obs.: gl = graus de liberdade
Solução
Veja a Figura 1.
Figura 1: Solução da questão 3
4. Um fabricante de automóveis gostaria de saber qual proporção de seus consumidores não está
satisfeita com o serviço prestado pela concessionária local. O departamento de atendimento
ao consumidor irá pesquisar uma amostra aleatória de consumidores e calcular um intervalo
de confiança de 99% para a proporção insatisfeita.
(a) Estudos anteriores sugerem que essa proporção será de cerca de 0,2. Ache o tamanho da
amostra necessário se a margem de erro do intervalo de confiança for de aproximadamente
0,015.
2
Solução
� = 2, 58×
r
0, 2× 0, 8
n
=⇒ n = 2, 58× 0, 2× 0, 8
0, 0152
≈ 1835
(b) Quando a amostra é de fato contatada, 10% da amostra demonstram insatisfação. Qual
é a margem de erro do intervalo de confiança de 99%??
Solução
� = 2, 58×
r
0, 1× 0, 9
1835
= 0, 0181
5. A estatística de teste z para um teste unilateral à direita é z = 2, 433. Verifique qual afirmativa
é verdadeira, esboçando um desenho da curva normal para justificar sua resposta.
(a) Esse teste é não significante tanto no nível α = 0, 05 quanto no nível α = 0, 01.
(b) Esse teste é significante em α = 0, 05, mas não significante em α = 0, 01.
(c) Esse teste é significante em ambos α = 0, 05 e α = 0, 01.
Solução
P < 0, 01 =⇒ a estatística é significante para α = 0, 05 e α = 0, 01. Afirmativa (c) é a
verdadeira.
Figura 2: Solução da questão 5
6. Uma pesquisa em sala de aula em uma turma grande de alunos de primeiro ano de uma
universidade perguntou: “Aproximadamente quantos minutos você estuda numa típica noite
da semana?” A resposta média dos 25 alunos foi x = 137 minutos, com desvio padrão s = 65
minutos. Suponha que saibamos que o tempo de estudo segue uma distribuição Normal na
população de todos os alunos do primeiro ano dessa universidade.
(a) Use o resultado da pesquisa para fornecer um intervalo de confiança de 99% para o tempo
médio de estudo de todos os alunos de primeiro ano dessa universidade.
Solução
t(24)− t24;0,005 = 2, 797
∙
137− 2, 797× 65√
25
; 137 + 2, 797× 65√
25
¸
= [100, 64 ; 173, 36]
3
(b) A pesquisa fornece boa evidência da afirmativa dos estudantes de que estudam mais de
2 horas por noite, em média? Estabeleça as hipóteses sendo testadas! Use o nível de
significância de 1%.
Solução
H0 : μ = 120
H1 : μ > 120
t24;0,01 = 2, 492
t0 =
√
25
137− 120
65
= 1, 3077
Como o valor observado da estatística não pertence à região crítica, os dados não confir-
mam a afirmação de que os estudantes gastam mais de 2 horas, em média, estudando à
noite.
(c) (0,5 ponto) Com base na tabela, determine dois limites c1 e c2 tais que c1 < P < c2
onde P é o valor P.
Solução
P = Pr(t(24) > 1, 3077)
Pr(t(24) > 1, 059) = 0, 15
Pr(t(24) > 1, 318) = 0, 10
¾
=⇒ 0, 10 < P < 0, 15
Figura 3: Solução da questão 6c
4
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
=⇒
bP − pr
p(1− p)
n
≈ N(0; 1) (amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
⎡
⎢⎢⎢⎣
nP
i=1
X2i −
µ
nP
i=1
Xi
¶2
n
⎤
⎥⎥⎥⎦
5