GA Lista 3 Vetores

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Área 1: Faculdade de Ciência e Tecnologia 
 Disciplina: Geometria Analítica Curso: ___________________ 
 Professor: _________________Data: ______ / ______ / ______ 
Nome:_________________________________________ Turma:___________ 
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3ª LISTA DE EXERCÍCIOS – VETORES 
1. Considere o paralelogramo a seguir, onde os pontos P e Q são os pontos médios dos lados 
BC e AD, respectivamente. Determine: 
a) 
 ADAB
 
b) 
QDDC
 
c) 
QACB
2
1
 
d) 
QPBC
 
 
2. Considere o paralelepípedo ABCDFGH, atribua (V) ou (F), justificando o máximo 
possível: 
a) 
ABCD 
 é L.I 
b) 
DAeFG
 são L.I 
c) 
ADeACAB ,
 são L.I 
d) 
FGeEF
 são L.D 
e) 
HGeDHAD ,
 são L.D 
f) 
ADeBFHG ,
 são L.I 
g) 
AFeDHFE ,
 são L.D 
h) 
GEeAC
 são L.I 
i) 
AGeGBBEAC 
 são L.I 
j) 
AHeHFAF 
 são L.D 
 
3. Escreva o vetor 
u
 como combinação linear dos demais vetores, em cada caso: 
a) 
 8,1u
, 
 2,1v
 e 
 2,4 w
. 
b) 
 3,0,1 u
, 
 0,1,11 u
, 
 0,2,12 u
 e 
 3,0,03 u
 
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4. Mostre que os pontos 
 1,0,4A
, 
 3,1,5B
, 
 5,2,3C
 e 
 3,1,2D
 
são vértices do paralelogramo ABCD. E represente-o no espaço através de suas 
coordenadas. 
 
5. Sejam 
 1,0,2 u
, 
 1,3,0v
, 
 2,6,4  nmw
, 
 0,2,1 A
, 
 1,2,2 B
 e 
 2,0,3C
. Faça o que se pede: 
a) Verifique se o conjunto 
 ABvu ,,
 é L.I ou L.D; 
b) Determine as coordenadas do ponto D, vértice do paralelogramo ABCD; 
c) Determine um vetor 
a
 que tenha a mesma direção, sentido oposto e o dobro do 
tamanho de 
u
; 
d) Calcule os valores de m e n para que 
w
seja paralelo a 
vu 
. 
 
6. Sejam 
 1,3,1 u
, 
 1,1,0 v
 e 
 2,0,1w
. Verifique se o conjunto 
 wvu ,,
 é uma base do espaço. Em caso afirmativo, determine as coordenadas do vetor 
wvua  23
. Em caso negativo, escreva 
w
 como combinação linear de 
u
 e 
v
. 
 
7. São dados os pontos 
 2,1,0A
, 
 0,1,2B
, 
 3,1,1C
, 
 0,2,4D
 e 
 1,2,1E
, verifique: 
a) Se A, B e C são colineares; 
b) Se A, C, D e E são coplanares. 
 
8. Considere o cubo ABCDEFGH. Sejam 
 4,5,3A
, 
 4,5,6B
, 
 7,5,3D
 e 
 4,2,3E
. Faça o que se pede, levando em conta os conhecimentos sobre vetores: 
a) Determine as coordenadas dos outros vértices; 
b) Determine as coordenadas do vetor 
DCAC 2
 em 
relação à base 
 ABADAE ,,
; 
c) Determine as coordenadas do vetor AF em relação à base 
 ABAEAC ,,
; 
d) Determine as coordenadas do vetor 
AG
 em relação à base 
 ABAFDA ,,
. 
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9. Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso nos itens a seguir, justificando devidamente suas 
respostas. 
a) Os vetores 
 0,2,1 a
 e 
 0,4,2b
 são paralelos; 
b) Os vetores 
 1,0,4 h
, 
 1,3,2m
 e 
 1,2,0n
 têm representantes num 
mesmo plano; 
c) Os vetores 
 1,2,3 w
 e 
 1,2,3 f
 são coplanares, por isso são L.D; 
d) O ângulo entre os vetores 
 3,3,2u
 e 
 1,0,1 v
 é obtuso; 
e) O triângulo ABC formado pelos pontos 
 2,1,0A
, 
 1,2,4B
 e 
 5,2,2C
 é retângulo em B. 
 
10. Sejam 
 2,0,1 u
, 
 1,1,0v
, 
 1,1,1w
 e 






 6,3,
2
y
x
a
. Faça o que 
se pede: 
a) Seja 
 3,2,0A
, determine as coordenadas do ponto B, tal que 
wAB 2
; 
b) Verifique se os vetores 
 6,0,3a
 e 
u
 são L.I ou L.D; 
c) Calcule as coordenadas do vetor 
wvuy 24 
; 
d) Determine as coordenadas de um vetor não nulo e ortogonal à 
v
. 
 
11. Considere os vetores 
 2,1,1 u
, 
 3,2,0 v
 e 
 aw ,0,2
: 
a) Calcule o valor de a para que os vetores 
u
, 
v
 e 
w
 sejam L.D; 
b) Calcule as coordenadas do vetor 
v
u
proj
 
c) Calcule o valor de h e k para que o vetor 
 khx 3,1,2 
 seja paralelo ao vetor 
vu 
. 
 
12. Calcular o valor de z para que o vetor 







5
4
,
5
2
,zv
 seja unitário. 
13. Calcular o perímetro do triângulo de vértices 
 2,1,0A
, 
 1,0,1 B
 e 
 0,1,2 C
. 
 
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14. Qual o valor de 

 para que os vetores 
kjia 45 
 e 
kjib 42)1(  
 
sejam ortogonais. 
 
15. Seja o triângulo de vértices 
 4,2,1 A
, 
 0,2,4 B
 e 
 1,2,3 A
. 
Determinar o ângulo interno ao vértice B. 
 
16. Sobre o produto vetorial, faça o que se pede: 
a) Calcule a área do triângulo ABC para 
 3,1,1AB
 e 
 0,1,1AC
; 
b) Construa uma base negativa do espaço contendo os vetores 
 1,3,1 u
 e 
 3,0,3v
; 
c) Determine um vetor unitário ortogonal a 
 2,0,1
 e a 
 3,3,2
. 
 
17. Determinar o valor de m para que o vetor 
 mw ,2,1
 seja simultaneamente ortogonal 
aos vetores 
 0,1,21 v
 e 
 1,3,12 v
. 
 
18. Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto 
 1,2,3A
 e uma 
diagonal de extremidades 
 1,1,1 P
 e 
 2,1,0Q
. 
 
19. Considere os pontos 
 3,2,1 A
, 
 4,1,2 B
, 
 0,2,0C
 e 
 1,2,1D
, vértices de um tetraedro. Calcule o volume do tetraedro ABCD e a área 
da base ACD. 
 
20. Qual o valor de x, para que o volume do tetraedro de arestas 
 4,3,xOA 
, 
 2,4,0OB
 e 
 2,3,1OC
 seja igual a 2 u.v. 
 
21. Dados os vetores 
 0,1,2u
, 
 1,0,1v
 e 
 0,1,0w
, calcule o volume do 
paralelepípedo determinado pelos vetores 
u
, 
v
 e 
w
. 
 
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Gabarito 
Questão 1. 
ACa )(
 
DPb )(
 
CBc )(
 
BDd )(
 
Questão 2. 
VjFiFhVgVfFeFdFcFbFa )()()()()()()()()()(
Questão 3. 
wvua  3)(
 
321
3
1
3
2
)( uuuub 
 
Questão 4. 
Questão 5. 
21)()2,0,4()()1,0,6()(.)(  nemdcDbILa
 
Questão 6. Não é base: 
vuw 3
 
Questão 7. 
NÃObSIMa )()(
 
Questão 8. 
)0,1,1()()1,1,0()()1,2,0()()7,2,3()7,2,6(),4,2,6(,)7,5,6()( dcbHeGFCa
 
Questão 9. 
FeVdFcFbVa )()()()()(
 
Questão 10. 

















3
1
5
2
,
3
1
,
3
1
5
1
)(
5
2
,0,
5
1
)(.)()1,0,2()( dcDLbBa
 
Questão 11. 
3
2
1)(
3
8
,
3
4
,
3
4
)(1)( 





 kehcbaa
 
Questão 12. 
5
5
5
5
 zouz
 
Questão 13. 
 3112 
 
Questão 14. 
23   ou
 
Questão 15. 
º45
 
Questão 16. 
 







94
3
,
94
7
,
94
6
)()9,6,9(),3,0,3(),1,3,1()(
2
22
)( cba
 
Questão 17. 
5m
 
Questão 18. 
74
 
Questão 19. 
auSevuV .32.
3
10

 
Questão 20. 
111  xoux
 
Questão 21. 
vuV .2