P1_noturno_Calculo1_2013

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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2013
Gabarito da P1 - noturno
1. Responda os itens sobre a func¸a˜o f(x) cujo gra´fico esta´ apresentado na figura abaixo.
(a) (2,0 pontos) Dentre as 10 afirmac¸o˜es, as seguintes sa˜o verdadeiras:
i. f(x) e´ crescente no intervalo 5 < x < 10.
ii. E´ poss´ıvel que f(x) apresente uma assintota vertical no domı´nio conside-
rado.
iii. f(x) apresenta uma raiz.
iv. f(x) na˜o tem func¸a˜o inversa no domı´nio considerado.
(b) (0,5 ponto) Marque com um ’x’, na Figura 1, o(s) ponto(s) onde f ′(x) = 0.
Resposta marcada na Figura.
2. Determine os limites a seguir:
(a) (0,5 ponto) lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n+3
= lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
. lim
n→∞
(
1 +
1
n
)3
= 3.(1)3 = e
(b) (0,5 ponto)lim
x→0
3
2−√2x + 1 =
3
2−√1 = 3 (substituic¸a˜o direta)
(c) (0,5 ponto) lim
x→−2
x + 2√
x2 + 5− 3 = limx→−2
x + 2√
x2 + 5− 3 .
√
x2 + 5 + 3√
x2 + 5 + 3
=
lim
x→−2
(x + 2)(
√
x2 + 5 + 3)
x2 + 5− 9 = limx→−2
(x + 2)(
√
x2 + 5 + 3)
x2 − 4 =
lim
x→−2
(x + 2)(
√
x2 + 5 + 3)
(x + 2)(x− 2) = limx→−2
√
x2 + 5 + 3
(x− 2) =
√
4 + 5 + 3
−4 = −
3
2
(d) (1,0 ponto) Se x→ 1−, x < 1, enta˜o |x− 1| = −(x− 1). Logo:
lim
x→1−
√
2x(x− 1)
|x− 1| = limx→1−
√
2x(x− 1)
−(x− 1) = limx→1−
√
2x
−1 = −
√
2
3. Calcule a derivada das func¸o˜es:
(a) (0,5 ponto)
d
dx
(
x + 1
x− 1
)
=
1(x− 1)− (x + 1)1
(x− 1)2 =
−2
(x− 1)2
(b) (0,5 ponto)
d
dx
(xsen(2x)) = 1.sen(2x) + x.cos(2x).2 = sen(2x) + 2x.cos(2x)
(c) (1,0 ponto)
d
dx
(
ln
(
ex + 1
cos(x)
))
=
1
ex+1
cos(x)
.
d
dx
(
ex + 1
cos(x)
)
=
cos(x)
ex + 1
.
ex.cosx− (ex + 1)(−senx)
cos2(x)
=
ex.cosx + (ex + 1)senx
cos(x).(ex + 1)
(d) (1,0 ponto) Calcule y′ para x3 + y3 = 2xy
d
dx
(
x3 + y3
)
=
d
dx
(2xy)
3x2 +
d
dy
(
y3
)
.
dy
dx
= 2
d
dx
(xy)
3x2 + 3y2.
dy
dx
= 2(1.y + x.
dy
dx
)
dy
dx
.(3y2 − 2x) = 2y − 3x2
dy
dx
=
2y − 3x2
3y2 − 2x
4. (2,0 pontos) Encontre dois nu´meros cuja diferenc¸a seja 100 e cujo produto seja o
menor possivel.
Diferenc¸a entre dois nu´meros x e y: x− y = 100⇒ y = x− 100
Produto entre os dois nu´meros: P = x.y = x.(x− 100) = x2 − 100x.
A func¸a˜o P (x) deve ser minimizada. Para isso, derivamos P (x) e igualamos a deri-
vada a zero:
P ′(x) = 2x− 100
P ′(x) = 0⇔ 2x− 100 = 0⇔ x = 50.
x = 50 e´ um nu´mero cr´ıtico da func¸ao P (x). Para mostrar que este nu´mero corres-
ponde a um mı´nimo local da func¸ao P (x), uma das seguintes considerac¸o˜es podem
ser realizadas:
(a) x = 50 e´ um mı´nimo local porque o gra´fico de P (x) e´ uma para´bola com
concavidade para cima, com ve´rtice em x = 50.
(b) Teste da derivada segunda: P ′′(x) = 2 ⇒ P ′′(50) > 0. Logo, x = 50 e´ um
mı´nimo local.
(c) Teste da derivada primeira: o sinal de P ′(x) muda de negativo para positivo
em x = 50. Logo, x = 50 e´ um mı´nimo local.