Métodos Númericos. Eliminação de Gauss (com e sem pivotamento) e Eliminação Gauss Jordan

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Eliminação de Gauss e Eliminação 
Gauss-Jordan 
    
 
Lislândia Farias¹, José Roque¹, Mariana Freitas¹, Thalita Costa¹ 
¹Universidade Estadual de Feira de Santana- UEFS, Departamento de Exatas, ​Avenida Transnordestina, s/n - 
Novo Horizonte, CEP 44036-900 - Feira de Santana - Bahia. 
 ​lislandialis@hotmail.com​, ​joseuefs.27@gmail.com​, ​maryclassic2011@hotmail.com​, ​costathalita@outlook.com 
 
 
Resumo ​— A técnica de eliminação de Gauss pode ser 
feita de duas formas, com e sem pivoteamento, a técnica 
com pivotamento é a mais utilizada por minimizar erros 
de arredondamentos ou divisões por zero, como pode 
ocorrer na execução sem pivoteamento. A técnica de 
eliminação Gauss-Jordan utiliza de critérios mais 
específicos para eliminação das variáveis, como no caso 
do pivô que deve ser igual a 1 e todos os elementos 
fora da diagonal principal devem ser igual a zero, 
Palavras-chaves — pivoteamento; Gauss; Jordan; 
eliminação; lineares. 
 
I. INTRODUÇÃO 
 
A técnica da eliminação de Gauss, 
envolve combinar equações para eliminar variáveis. 
Apesar de ser um dos métodos mais antigos para 
resolver equações simultâneas, mantém-se como 
um dos algoritmos mais importantes em uso hoje 
em dia e é a base da resolução de equações lineares 
em muitos pacotes de software populares. ​[1] 
A eliminação gaussiana, também é 
conhecida como escalonamento. Este método 
consiste em manipular o sistema através de 
determinadas operações elementares, 
transformando a matriz estendida do sistema em 
uma matriz triangular (chamada de matriz 
escalonada do sistema). Uma vez triangularizado o 
sistema, a solução pode ser obtida via substituição 
regressiva.​[2] 
O método de eliminação de Gauss-Jordan 
é uma complementação ao método de Gauss. Ele 
transforma o sistema dado em um outro diagonal, 
isto é, onde todos os elementos fora da diagonal são 
nulos. O método de Gauss exige apenas que se 
chegue à forma triangular. ​[3] 
II. ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
A. Sem pivotamento 
 
Seja Ax = b um sistema linear, o método 
de eliminação de Gauss para resolução do sistema 
pode ser realizado seguindo três etapas: ​[4] 
1. Obtenção da matriz aumentada do sistema 
[A​|​B]. 
2. Transformação da matriz aumentada por 
[Ā|B], onde Ā é uma matriz triangular 
superior 
3. Resolver o sistema linear da etapa dois por 
substituições retroativas. 
 
Exemplo 01.: Resolução do sistema linear de 
ordem três, por meio do método de Gauss (sem 
pivotação). 
X + Y + Z = 3 
3X - 2Y + Z = 0 
X - Y - Z = -3 
 
1ª Etapa: zerar todos os elementos da primeira 
coluna abaixo da diagonal principal. 
 
1 1 1 = 3 
3 -2 1 = 0 
1 -1 -1 = -3 
Então, operando a linha 2 e 3: 
L​2​ = L​2​ - 3. L​1 
L​3​ = L​3​ - L​1 
 
1 1 1 = 3 
0 -5 -2 = -9 
0 -2 -2 = -6 
 
2ª etapa: Zerar todos os elementos da segunda 
coluna abaixo da diagonal principal. Operando a 
linha três com: L​3​ = L​3​ - 0,4.L​2,​ encontramos: 
 
1 1 1 = 3 
 0 -5 -2 = -9 
 0 0 -1,2 = -2,4 
 
3ª etapa: Resolução do sistema 
 
 X = 0; Y​ ​= 1; Z​ ​= 2; 
S = [0; 1; 2] 
 
B. Com pivotamento 
 
A técnica de pivotamento foi 
desenvolvida para evitar problemas como os quais 
podem ocorrer na técnica sem pivotamento na fase 
de eliminação ou durante uma substituição, em uma 
divisão por zero, ou no passo de normalização o 
elemento pivô ser muito próximo de zero, podendo 
ocorrer erros de arredondamento. O pivoteamento é 
parcial quando as linhas podem ser trocadas de 
modo que o maior coeficiente seja o elemento pivô, 
evitando a divisão por zero , e minimiza erros de 
arredondamento. E o pivoteamento é completo 
quando troca as colunas e o maior elemento é o 
pivô. Usado raramente, pois trocar as colunas muda 
a ordem dos X’s e acrescenta complexidade 
injustificada ao programa de computador. ​[1] 
Seja Ax = b um sistema linear, o método 
de eliminação de Gauss com pivotamento utiliza as 
mesmas etapas do método anterior (sem 
pivotamento), alterando apenas a forma de como 
selecionar o pivô. 
1. Obtenção da matriz aumentada do sistema 
[A|B]. 
2. Transformação da matriz aumentada por 
[Ā|B], onde Ā é uma matriz triangular 
superior 
3. Resolver o sistema linear da etapa dois por 
substituições retroativas. 
 
Exemplo 02.: Resolução do sistema linear de 
ordem três, por pivotamento parcial. 
 
0 -Y + 2Z = 2 
2X + 2Y - Z = 0 
-2X - 5Y + 3Z = 3 
 
 A matriz aumentada do sistema ​[A​|​B]​ é: 
0 -1 2 = 2 
 2 2 -1 = 0 
 -2 -5 3 = 3 
 
1ª Etapa: Escolher o maior pivô (maior número) da 
1ª coluna (esquerda para direita) e zerar todos os 
elementos da primeira coluna abaixo da diagonal 
principal. Pivô: a​11​: max{ |a​11​|; |a​21​|; 
|a​31​|},escolhendo |a​21​| , L​1​->L​2 ​e L​2​->L​1 
Executa a troca de linhas: 
 ​ 2 2 -1 = 0 
 0 -1 2 = 2 
-2 -5 3 = 3 
 
Então, operando a linha 2 e 3: 
L​2​ = L​2​ ​ ​e L​3​ = L​3​ + L​1 
 
 2 2 -1 = 0 
0 -1 2 = 2 
0 -3 2 = 3 
2ª etapa: Escolher o maior pivô (maior número) da 
2ª coluna (esquerda para direita) e zerar todos os 
elementos da segunda coluna abaixo da diagonal 
principal. Pivô: a​22​: max{ ​|a​22​|; ​|a​32​|},escolhendo 
|a​32​|, L​3​->L​2 ​e L​2​->L​3 
 
 2 2 -1 = 0 
0 -3 2 = 3 
0 -1 2 = 2 
 
Então, operando a linha 3: 
L​3​ = L​3​ - 1/3.L​2 
2 2 -1 = 0 (III) 
 ​0 -3 2 = 3 (II) 
0 ​0 4/3 = 1 (I) 
 
3ª etapa: Resolução do sistema 
 
X​ ​ = 0,875; Y​ ​= -0,5; Z = 0,75 
 
S = [0,75; -0,5; 0,875] 
 
III. ELIMINAÇÃO DE 
GAUSS-JORDAN 
 
Segundo, Amos e ​Subramaniam (2008) o 
procedimento de eliminação de Gauss-Jordan 
utilizado para transformar o sistema de Equações 
lineares para a forma matriz identidade tem apenas 
duas diferenças: O pivô tem que ser igual a 1, para 
isso é realizada a normalização da equação e todos 
 
os elementos fora da diagonal principal devem ser 
igual a zero, então é utilizado a equação pivô para 
eliminá-los.​[5] 
 
Exemplo 03.: Resolução do sistema linear 
utilizando o método Gauss-Jordan 
 
 X - Y + 2Z = 2 
2X + Y - Z = 1 
-2X - 5Y+ 3Z​ ​= 3 
 A matriz aumentada do sistema ​[A​|​B]​ é: 
 
 ​1 ​-1 ​2 = 2 
 2 ​ 1 ​-1 = 1 
-2 -5 3 = 3 
 
1ª Etapa: Normalizar a primeira linha de pivotação, 
dividindo pelo elemento pivô (1): 
 
 1 ​-1 ​2 = 2 
 2 ​ 1 -1 = 1 
-2 -5 3 = 3 
 
2ª Etapa: Zerar todos os elementos da primeira 
coluna abaixo da diagonal principal. Então, 
operando a linha 2 e 3: ​L​2 = L​2 - 2. L​1 e L​3 
= L​3 ​ +2. L​1 
1 ​-1 ​2 = 2 
 0 ​ ​3 -5 = -3 
0 -7 7 = 7 
3ª Etapa: Normalizar a segunda linha de pivotação, 
dividindo pelo elemento pivô (3): 
 
 1 ​-1 ​2 = 2 
 0 ​ ​ 1 ​-5/3 = -1 
0 -7 7 = 7 
 
4ª Etapa: Zerar todos os elementos da segunda 
coluna acima e abaixo da diagonal principal. 
Então, operando a linha 1 e 3: 
L​1​ = L​1 ​ + L​2​; L​3 ​ = L​3​ +7.L​2​; 
 
 1 ​0​ ​1/3 = 1 
 0 ​1 ​-5/3 = -1 
00 -14/3 = 0 
 
5ª Etapa: Normalizar a terceira linha de pivotação, 
dividindo pelo elemento pivô (-14/3): 
1 0 1/3 = 1 
0 1 -5/3 = -1 
0 0 1 = 0 
6ª Etapa: Zerar todos os elementos da terceira 
coluna acima da diagonal principal. Então, 
operando a linha 1 e 2: L​1 = L​1 -1/3. L​3 e 
L​2​ = L​2​ +5/3. L​3 
1 ​ 0 0 = 1 
0 ​1​ 0 = -1 
0 0 ​ 1​ = 0 
7ª etapa: Solução do sistema 
X=1; Y= ​ ​-1; Z= ​ ​0 
S= (1; -1; 0) 
 
IV. CONCLUSÃO 
 
De acordo com o referido trabalho 
podemos concluir que entre as eliminações de 
Gauss, o uso com pivotação parcial é o método 
mais indicado para resolver equações algébricas 
lineares simultâneas. No entanto, a eliminação de 
Gauss-Jordan é o método preferido para se obter 
soluções de equações lineares, visto que, quando 
uma variável é eliminada no método de 
Gauss-Jordan, ela é eliminada de todas as outras 
equações, não só das posteriores. 
 
V. REFERÊNCIAS 
 
[1] ​CHAPRA, Steven C. ​Métodos numéricos para 
engenharia [recurso eletrônico] / Steven C. 
Chapra, Raymond P. Canale ; tradução técnica: 
Helena Castro. ă 5. ed. ă Dados eletrônicos. ă Porto 
Alegre : AMGH, 2011. 
[2] ​UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos 
de Matemática. ​Eliminação gaussiana. ​Disponível 
em:<​https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico
/livro-sci/sdsl-eliminacao_gaussiana.html​>. Acesso 
em 16 out de 2018. 
[3] ​PUC. ​Métodos Diretos Para Solução De 
Sistemas Lineares. ​disponível 
em:<​http://www-di.inf.puc-rio.br/~tcosta/cap2.htm
>. Acesso em 16 out de 2018. 
[4] ​RINCON, Mauro; FAMPA, Márcia. ​Método de 
Eliminação de Gauss. Disponível em: 
<​http://www.dcc.ufrj.br/~rincon/Disciplinas/Algebr
a%20Linear/Aula_013.pdf​>. Acesso em 16 out de 
2018. 
[5] ​GILAT, A. P.; SUBRAMANIAM V. ​Métodos 
numéricos para engenharia e cientistas [recurso 
eletrônico]: uma introdução com aplicações usando 
o MATLAB; tradução Alberto Resende de Conti. - 
Dados eletrônicos. Porto Alegre : Bookman, 2008.