3 - Sistemas Lineares

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Um sistema linear de 𝑚 equações lineares com 𝑛 incógnitas é um conjunto de 𝑚 equações 
lineares, cada uma delas com 𝑛 incógnitas(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), consideradas simultaneamente, onde 
𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛, 𝑏1, 𝑏2, … 𝑏𝑛 são números reais. 
 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
 
Resolver um sistema linear significa determinar todas as suas soluções. O conjunto dessas 
soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema, ou seja, consiste em encontrara 
valores para as variáveis de maneira que ao substituir esses valores em cada uma das equações, 
todas as igualdades sejam verdadeiras. 
O conjunto solução deste sistema é uma n-upla (∝1, ∝2, ∝3, … , ∝𝑛) de números reais. 
 
Exemplo: 
 
O sistema linear {
2𝑥 − 𝑦 = 5
 𝑥 + 𝑦 = 7
 tem como uma das soluções a dupla (4,3). 
 
 
 Sistemas Homogêneos; considerando um sistema linear de 𝑚 equações lineares com 𝑛 
incógnitas, quando 𝑏1 = 𝑏2 = 𝑏3 = ⋯ = 𝑏𝑚 = 0, ou seja, o termo independente de 
todas as equações do sistema for nulo. 
 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0
⋮
 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0
 
 
 
 
Álgebra, Vetores e Geometria Analítica 
 
 3 – Sistemas Lineares Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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Neste caso, a n-upla (0,0,0, … ,0) é sempre uma das soluções do sistema e é chamada 
de solução trivial do sistema homogêneo. 
 
Classificação dos Sistemas Lineares 
 
Um sistema que: 
 não admite solução é chamado de sistema impossível (SI). 
 admite uma única solução é chamado de sistema possível e determinado (SPD). 
 admite mais de uma solução é chamado de sistema possível e indeterminado (SPI). 
 
 
 Sistemas Equivalentes; para resolver um sistema linear vamos transformar o sistema 
dado em um sistema equivalente mais simples, para isso, podemos trocar a posição das 
equações, podemos somar ou subtrair duas equações e trocar por uma delas, podemos 
multiplicar uma equação e somar ou subtrair outra e trocar por uma delas. 
 
 
 
Resolução de um sistema linear por Escalonamento 
 
Um sistema é dito escalonado quando o número de coeficientes iniciais nulos em cada equação, 
a partir da segunda, é maior do que na precedente. Para isso, vamos colocar os coeficientes do 
sistema em uma matriz, e aplicando as operações adequadas em cada linha, vamos torná-la uma 
matriz triangular. 
O escalonamento permite: 
 multiplicar uma linha por uma constante não nula. 
 substituir uma linha pela soma dela com alguma outra linha. 
 substituir uma linha pela soma dela com alguma outra linha, previamente multiplicada 
por uma constante. 
 
 
 
Exemplos: 
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1) Vamos resolver o sistema linear {
 𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = −1
−2𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 2
−3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3
 por escalonamento: 
 
O sistema {
 𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = −1
−2𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 2
−3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3
 é equivale a matriz: (
1 3 4 −1
−2 5 2 2
−3 4 1 3
). Agora vamos 
escaloná-la: 
𝑙1
𝑙2
𝑙3
(
1 3 4 −1
−2 5 2 2
−3 4 1 3
) 
 
 𝑙2 = 2 · 𝑙1 + 𝑙2 𝑙3 = 3 · 𝑙1 + 𝑙3 
 2 6 8 −2
−2 5 2 2
 0 11 10 0
 
 3 9 12 −3
−3 4 1 3
 0 13 13 0
 
 
~ 
𝑙1
𝑙2
𝑙3
(
1 3 4 −1
0 11 10 0
0 13 13 0
) 
 
𝑙3 = 13 · 𝑙2 − 11 · 𝑙3 
0 143 130 0
0 −143 −143 0
0 0 −13 0
 
 
~ 
𝑙1
𝑙2
𝑙3
(
1 3 4 −1
0 11 10 0
0 0 −13 0
) 
 
Retornando para o sistema, temos: 
𝑙1
𝑙2
𝑙3
{
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = −1
11𝑦 + 10𝑧 = 0
−13𝑧 = 0
 
 
Vamos resolver o sistema acima começando pela linha 𝑙3, pois, desta forma, vamos 
encontrar o valor da variável 𝑧: 
−13𝑧 = 0 
𝑧 =
0
−13
 
𝑧 = 0 
 
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Resolvendo a linha 𝑙2, substituindo o valor de 𝑧 encontrado, encontraremos o valor da 
variável 𝑦: 
11𝑦 + 10𝑧 = 0 
11𝑦 + 10 · 0 = 0 
11𝑦 + 0 = 0 
11𝑦 = 0 
𝑦 =
0
11
 
𝑦 = 0 
 
E, por último, resolvendo a linha 𝑙1, substituindo o valor de 𝑧 e o valor de 𝑦, encontrados 
acima, encontraremos o valor da variável 𝑥: 
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = −1 
𝑥 + 3.0 + 4 · 0 = −1 
𝑥 + 0 + 0 = −1 
𝑥 = −1 
 
Portanto, a única solução do sistema é (−1,0,0). Logo, o sistema é possível e 
determinado (SPD). 
 
 
 
2) Vamos resolver o sistema linear {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 1
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 2𝑡 = 0
 por escalonamento: 
 
O sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 1
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 2𝑡 = 0
 é equivale a matriz: (
1 1 1 3 1
1 1 −1 2 0
). Agora vamos 
escaloná-la: 
 
𝑙1
𝑙2
(
1 1 1 3 1
1 1 −1 2 0
) 
 
 𝑙2 = 𝑙1 − 𝑙2 
1 1 1 3 1
−1 −1 1 −2 0
 0 0 2 1 1
 
 
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~ 
𝑙1
𝑙2
(
1 1 1 3 1
0 0 2 1 1
) 
 
Retornando para o sistema, temos: 
𝑙1
𝑙2
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 1
 2𝑧 + 𝑡 = 1
 
 
Vamos resolver o último sistema começando pela linha 𝑙2, e, desta forma, como temos 
mais variáveis que equações vamos encontrar o valor da variável 𝑡 em função da variável 
𝑧: 
2𝑧 + 𝑡 = 1 
𝑡 = 1 − 2𝑧 
 
Resolvendo a linha 𝑙1, substituindo o valor de 𝑡 encontrado, encontraremos o valor da 
variável 𝑥 em função das variáveis 𝑦 e 𝑧: 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 1 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3(1 − 2𝑧) = 1 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3 − 6𝑧 = 1 
𝑥 + 𝑦 + 3 − 5𝑧 = 1 
𝑥 = −𝑦 − 3 + 5𝑧 + 1 
𝑥 = 5𝑧 − 𝑦 − 2 
 
Portanto, o conjunto solução do sistema é {(5𝑧 − 𝑦 − 2, 𝑦, 𝑧, 1 − 2𝑧)/𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}, ou 
seja, existem infinitas soluções para o sistema. Logo, o sistema é possível e 
indeterminado (SPI). 
 
 
 
 
3) Vamos resolver o resolver o sistema linear {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
 por escalonamento: 
 
O sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
 é equivale a matriz: (
1 1 1 1
1 −1 −1 2
2 1 1 3
). 
 
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Agora vamos escaloná-la: 
𝑙1
𝑙2
𝑙3
(
1 1 1 1
1 −1 −1 2
2 1 1 3
) 
 
 𝑙2 = 𝑙1 − 𝑙2 𝑙3 = 2. 𝑙1 − 𝑙3 
1 1 1 1
−1 1 1 −2
0 2 2 −1
 
2 2 2 2
−2 −1 −1 −3
0 1 1 −1
 
 
~ 
𝑙1
𝑙2
𝑙3
(
1 1 1 1
0 2 2 −1
0 1 1 −1
) 
 
𝑙3 = 𝑙2 − 2. 𝑙3 
0 2 2 −1
0 −2 −2 2
0 0 0 1
 
 
~ 
𝑙1
𝑙2
𝑙3
(
1 1 1 1
0 2 2 −1
0 0 0 1
) 
 
Retornando para o sistema, temos: 
𝑙1
𝑙2
𝑙3
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑦 + 2𝑧 = −1
0𝑧 = 1
 
 
A última equação é um ABSURDO. 
 
Portanto, o sistema não tem solução. Logo, o sistema é impossível (SI). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule a solução de cada sistema: 
 
a) {
5𝑥 + 𝑦 = 0
 −𝑥 + 𝑦 = 12
 
 
b) {
2𝑥 + 3𝑦 = 7
 𝑥 − 𝑦 = 1
 
 
c) {
3𝑥 + 2𝑦 = −4
−
𝑥
2
− 
𝑦
5
 = 0
 
 
 
 
2) Calcule a solução de cada sistema utilizando o método do escalonamento: 
 
a) {
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
 
 
b) {
3𝑥 − 𝑦 = 5 − 2𝑧
 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 2
 𝑦 − 𝑧 = 𝑥
 
 
c) {
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −5
 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 9
3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 8
 
 
d) {
𝑥 + 2𝑦 = 5
 2𝑥 − 3𝑦 = −4
 
 
e) {
2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 3
 𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 3
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 63) Classifique os sistemas como SPD, SPI ou si: 
a) {
4𝑥 − 𝑦 = 1
 2𝑥 + 3𝑦 = 2
 
 
b) { 
3𝑥 − 𝑦 = 1
6𝑥 − 2𝑦 = 2
 
 
c) {
−2𝑥 + 8𝑦 = 3
 𝑥 − 4𝑦 = 2