Problemas Investigaçao operacional

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Tigelas e saladeiras
Uma empresa de estampagem fabrica saladeiras e tigelas de aço inoxidável. Para 
isso utiliza como matéria-prima chapas de aço de tamanho único. Com cada chapa 
podem-se estampar uma saladeira e duas tigelas, ou então seis tigelas.
A firma vende cada saladeira a 80 euros e cada tigela a 25 euros. Cada chapa 
custa 60 euros. Os restantes custos de produção são fixos e independentes do tipo de 
produção.
Sabe-se, por experiência passada, que não se consegue vender mais do que 
quatro tigelas por cada saladeira.
O número de chapas de aço disponível é 680.
Encontrar o plano de produção que maximiza o lucro, admitindo que toda a 
produção é vendida
Resolução
Temos dois tipos de chapas: 
x - chapa para 6 tigela; y - chapa para 1 saladeira e 2 tigelas
Restrições
1) 0; 0x y≥ ≥ , não há quantidade de chapas negativas
2) Estão disponíveis 680 chapas: 680x y+ =
3) Por cada saladeira vendem-se, no máximo, 4 tigelas
Vejamos que relação deve existir entre os dois tipos de chapas; x e y
Chapa x Chapa y Tigela
s
Saladeira
s
Relação entre tigelas e 
saladeiras
1 1 6 1 6 para 1
1 2 10 2 5 para 1
1 3 12 3 4 para 1
1 4 14 4 3,5 para 1
Assim, por cada chapa x deve haver pelo menos 3 chapas y
3y x≤
1
O lucro, que pretendemos maximizar, é dado pela diferença entre a receita e a 
despesa:
Receita: 25 6x× ; chapas tipo x com 6 tigelas a 25 € cada
 80 2 25+ × ; chapas do tipo y , com 2 tigelas a 25€ cada e 1 
saladeira a 80€
Despesas: 680 60× ; 680 chapas a 60 €
150 130 60( )
90 70
L x y x y
L x y
= + − +
= +
Representando os gráficos usando o geobebra (ver Tigelas e saladeiras. ggb), 
verifica-se ser o ponto ( )170,510 que maximiza o lucro, que é 51000 €
R: Deverão efectuar-se 170 chapas com 6 tigelas e 510 chapas com 2 tigelas e 
uma saladeira.
Comboios a diesel e eléctricos
Um comboio a diesel necessita de um maquinista, um guarda, dois funcionários 
de limpeza e quatro mecânicos para o pôr em circulação, enquanto que um comboio 
eléctrico requer um maquinista, dois guardas, um funcionário de limpeza e três 
mecânicos. Uma determinada linha tem 60 comboios a diesel, 40 comboios eléctricos, 
80 maquinistas, 120 guardas, 240 funcionários de limpeza e 240 mecânicos.
a) Qual o número máximo de comboios que podem estar em circulação ao 
mesmo tempo?
b) Quantos funcionários podem ser enviados para outras linhas, sem que isso 
afecte o número máximo de comboios em circulação?
c) Se quinze guardas e vinte mecânicos deixarem a empresa, quantos comboios 
podem ser postos em circulação?
d) Se o custo de circulação de um comboio a diesel for 100 u.m./dia e se o custo 
de circulação de um comboio eléctrico for 150 u. m. /dia quantos comboios de cada tipo 
conduzem a um custo mínimo?
2
Resolução
Vamos construir uma tabela
Maquinistas Guardas Funcionários L Mecânicos
C. Diesel 1 1 2 4
C. Eléctricos 1 2 1 3
Seja x o número de comboios a diesel e seja y o número de comboios 
eléctricos.
Disponibilidade e consequentes restrições
60 comboios a diesel: 60x ≤
40 comboios eléctricos: 40y ≤
80 maquinistas: 80x y+ ≤
120 guardas: 2 120x y+ ≤
240 funcionários l. : 2 240x y+ ≤
240 mecânicos: 4 3 240x y+ ≤ 
N - número de comboios em circulação
Então, x y N+ =
a) Representando os gráficos usando o geobebra (ver Comboios-a.ggb), 
verifica-se que o ponto ( )30,40 que maximiza o número de comboios. Assim podem 
circular em simultâneo 70 comboios, sedo 30 a diesel e 40 eléctricos.
b) A interpretação desta questão levantou-me algumas duvidadas se 
funcionários se referia a funcionários de limpeza, ou a todos. Vou resolver das duas 
formas.
Funcionários de limpeza.
30 comboios a diesel ocupam 30×2=60 funcionários de limpeza, e 40 comboios 
eléctricos ocupam 40 funcionários de limpeza. Assim temos 60+40=100 funcionários 
ocupados. Como a empresa tem 240 funcionários de limpeza, podem ser enviados para 
outras linhas 240-100=140 funcionários de limpeza.
Todos os funcionários
Maquinistas
3
Ficam ocupados 70 maquinistas. A empresa tem 80, logo sobram 10.
Guardas
Ficam ocupados 30+2×40=110 guardas. A empresa tem 120, logo sobram 10 
guardas.
Mecânicos
Ficam ocupados 4×30+3×40=240 mecânicos, ou seja ficam todos ocupados.
Assim a empresa poderá enviar para outras linhas 140 funcionários de limpeza, 
10 maquinistas e 10 guardas.
c) Vamos às condições iniciais fazer as respectivas alterações que são:
120-15=105 guardas: 2 105x y+ ≤
240-20=220 mecânicos: 4 3 220x y+ ≤ 
Voltamos ao geogebra (ver comboios-c.ggb) fazendo a representação com as 
novas condições vemos que o ponto ( )25,40 maximiza o número de comboios. Nestas 
condições podem ser postos em circulação 65 comboios, sendo 25 a diesel e 40 
electricos.
d) O custo será dado por 100 150C x y= +
O custo mínimo é 0, quando nenhum comboio circula.
Esta solução parece-me “sem sentido” numa situação real, mas de acordo com 
a pergunta, penso que, matematicamente, será essa a resposta.
O problema do sumo de fruta
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Uma empresa de refrigerantes tem que planear a sua produção para o próximo 
mês. Na composição do refrigerante a fabricar a empresa utiliza duas variedades 
diferentes de fruta. – tipo I e tipo II – com custos por kg de 20 e 30 cêntimos, 
respectivamente.
Da fruta tipo I extrai-se 0,35 litros de sumo por kg, enquanto na fruta tipo II se 
extrai 0,6 litros por kg.
Cada litro de refrigerante tem que apresentar pelo menos 90% de sumo de fruta e 
1 mg de vitamina C. A fruta do tipo I contém 0,5 mg dessa vitamina por kg, enquanto a 
do tipo II contém 0,75 mg também por kg.
Para manter o sabor agradável, em cada 10 litros de sumo não pode haver mais 
que 8 kg de fruta do tipo I.
Descubra qual a mistura de frutas a fazer de modo a minimizar os custos de 
produção.
Resolução
Vamos determinar o custo do sumo produzido.
Seja x a quantidade (em quilos) do sumo de fruta tipo I e seja y a quantidade 
(em quilos) do sumo de fruta tipo II.
Cada quilo de fruta tipo I custa 0,20 € do qual se aproveita 0,35kg de sumo, 
então cada quilo de sumo de fruta tipo I custa 
40,20 : 0,35 €
7
= .
Cada quilo de fruta do tipo II custa 0,30€ do qual se aproveita 0,60 kg de sumo, 
então cada quilo de sumo de fruta do tipo II custa 0,30 : 0,60 0,50€=
O custo de produção do sumo C será dado por 4 1
7 2
C x y= +
Vamos determinar o custo mínimo de 1 litro de sumo.
Encontrando as proporções de cada tipo de sumo, servem para qualquer 
quantidade
Restrições:
Cada litro tem que ter pelo menos 90% de fruta.
5
0,9x y+ ≥
Cada litro tem que ter, pelo menos, 1 mg de vitamina C
Cada quilo de fruta tipo I dá 0,35 litros de sumo e 0,5 mg de vitamina C. Então 
cada litro de sumo de fruta tipo I tem 
10
7
mg de vitamina C (usando a 
proporcionalidade directa). 
Da mesma forma, cada quilo de fruta do tipo II dá 0,60 litros de sumo e 0,75 mg 
de vitamina C. Então, cada litro de sumo de fruta tipo II tem 
5
4
 mg de vitamina C.
Então 
10 5 1
7 4
x y+ ≥
Em cada 10 litros de sumo não pode haver mais que 8kg de fruta tipo I, isto é, 
80%. Como no sumo não há fruta, mas sim, o sumo que se extrai, considero que não se 
pode usar mais que 0,8kg do tipo I em cada litro de fruta. Então 0,8 kg de fruta tipo I 
correspondem a 0,28 litros de sumo tipo I (usando a proporcionalidade directa)
( )0.28 0,72 0,28 0x x y x y≤ + ⇔ − ≤
Representando no geogebra (ver sumo de fruta.ggb) verificamos que o ponto 
( )0;0,9A corresponde ao custo mínimo.
Assim cada litro de sumo deve conter 0,9 litros de sumotipo II.
Não se usa o sumo da fruta tipo II.
O custo de cada litro de sumo é 0,45€
Assim teremos:
90% de sumo
0,9 1,25 1,125mg× = mg de vitamina C
Não há mais de 80% de sumo da fruta tipo I
Como alimentar o cachorro sem ir à falência
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Há no mercado dois tipos de alimentos para cães: O Cão Feliz e O Cão 
Contente. Cada kg de Cão Feliz custa 10 euros, fornece 300 calorias e 28 unidades de 
gordura; cada kg do Cão Contente custa 15 euros, fornece 400 g de calorias e 8 
unidades de gordura.
O Sr. Felizardo possui um cão S. Bernardo e quer alimentá-lo da forma mais 
económica usando uma mistura desses dois alimentos.
Sabe-se que as necessidades de um S. Bernardo de apartamento são de pelo 
menos 400 calorias e não mais que 28 unidades de gordura.
Ajude o Sr. Felizardo a alimentar o seu cão sem ir à falência.
Resolução
Sejam x e y as quantidades, em quilogramas, de Cão Feliz e de Cão Contente,
respectivamente, que o cachorro irá comer por dia.
O custo C será dado por 10 15C x y= + , que pretendemos minimizar.
Restrições
0x ≥
0y ≥
Mínimo diário de calorias: 400 cal. 
300 400 400x y+ ≥
Máximo diário de unidades de gordura
28 8 28x y+ ≤
Representando no geogebra (ver alimentar o cachorro.ggb) observa-se que o 
custo mínimo no ponto (0,91;0,32)B
Assim o cão deve comer diariamente 0,91kg de Cão Feliz e 0,32kg de Cão 
Contente. O custo será 0,91 10€ 0,32 15€ 13,80€× + × =
Nota
Na verdade esta solução dá 28,4 unidades de gordura, que ultrapassa o 
máximo. Creio que se deve ao arredondamento às décimas do ponto B.
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