Aula 03_Calculo Numerico

Prévia do material em texto

Prof. Msc. Talles Caio L. de Oliveira
Disciplina: Cálculo Numérico
Método da Bissecção 
2
Resolução Numérica de Equações 
(Zero de Funções)
 x	f(x)
-4	12
-2	0
0	-4
2	0
4	12
f(x) = x2 - 4
Resolução Numérica de Equações 
(Zero de Funções)
3
Dada uma função f(x), dizemos que é raiz, ou zero de f se e somente f(α)=0.
Graficamente, os zeros de uma função f(x) correspondem aos valores de x em que a função intercepta o eixo horizontal do gráfico, como mostrado na Figura 1.
Figura 1
4
Resolução Numérica de Equações 
(Zero de Funções)
Figura 1
A função g(x) da figura 1 tem 5 raízes no intervalo [a,b]: x1, x2, x3, x4, x5.
5
Resolução Numérica de Equações 
(Zero de Funções)
As raízes de uma função podem ser encontradas analiticamente, ou seja, resolvendo a equação f(x)=0 de maneira exata, como mostrado nos exemplos a seguir:
a)
b)
6
C)
Resolução Numérica de Equações 
(Zero de Funções)
7
Resolução Numérica de Equações 
(Zero de Funções)
Porém, nem sempre é possível se encontrar analiticamente a raiz de uma função, como nos casos a seguir:
a)
b)
c)
8
Resolução Numérica de Equações 
(Zero de Funções)
Nestes casos precisamos de um método numérico para encontrar uma estimativa para a raiz da função estudada, ou seja, um valor tão aproximado quando se deseje.
Tais métodos devem envolver as seguintes etapas:
 Determinação de um intervalo em x que contenha pelo menos uma raiz da função f(x), 
ou seja, isolamento das raízes;
(b) Calculo da raiz aproximada através de um processo iterativo até a precisão desejada.
Processos Iterativos
Existe um grande número de métodos numéricos que utilizam processos iterativos. 
Esses processos se caracterizam pela repetição de uma determinada operação. 
9
A idéia nesse tipo de processo é repetir um determinado cálculo várias vezes, obtendo-se a cada repetição ou iteração um resultado mais preciso que aquele obtido na iteração anterior. 
Sendo que a cada iteração utiliza-se o resultado da iteração anterior como parâmetro de entrada para o cálculo seguinte.
10
Processos Iterativos
Alguns aspectos comuns a qualquer processo iterativo, são:
11
Processos Iterativos
Estimativa inicial;
Convergência;
Critério de Parada;
Estimativa inicial: como um processo iterativo se caracteriza pela utilização do resultado da iteração anterior para o cálculo seguinte, a fim de se iniciar um processo iterativo, é preciso que se tenha uma estimativa inicial do resultado do problema. 
Essa estimativa pode ser conseguida de diferentes formas, conforme o problema que se deseja resolver;
12
Processos Iterativos
Convergência: a fim de se obter um resultado próximo do resultado real, é preciso que a cada passo ou iteração, o resultado esteja mais próximo daquele esperado, isto é, é preciso que o método convirja para o resultado real. 
Essa convergência nem sempre é garantida em um processo numérico.
Portanto, é muito importante realizar a verificação da convergência do método para um determinado problema durante sua resolução;
13
Processos Iterativos
Critério de Parada: obviamente não podemos repetir um processo numérico infinitamente. 
É preciso pará-lo em um determinado instante.
 Pode-se ser utilizado o erro absoluto ou relativo.
14
Processos Iterativos
Para isso, devemos utilizar um certo critério, que vai depender do problema a ser resolvido e da precisão que precisamos obter na solução. 
O critério adotado para parar as iterações de um processo numérico é chamado de critério de parada.
15
Processos Iterativos
Teorema de Bolzano
Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b], tal que, f(a).f(b)<0. 
Então a função f(x) possui pelo menos uma raiz no intervalo [a,b].
16
Exemplo 1: Dado f(x) = x3 -9x +3 verifique se os intervalos possuem raízes:
[0,1]
b) [4,5]
c) [-5,-3]
17
Teorema de Bolzano
Exemplo 1: f(x) = x3 -9x +3
 Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, temos: 
18
Teorema de Bolzano
Exemplo 2: f(x)= xln(x) - 3,2
19
Teorema de Bolzano
Pelo teorema de Bolzano, concluímos que existe pelo menos uma raiz real no intervalo [2,3].
Observação
20
Observação
21
Método da bissecção 
O método da bissecção é a forma mais intuitiva de se obter a raiz de uma função. 
Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b], e α uma raiz de f(x) isolada neste intervalo obtido através do teorema de Bolzano.
22
Método da bissecção 
Inicialmente, subdividimos este intervalo em suas duas metades, ou seja:
23
Verifica-se se a raiz está contida na primeira ou na segunda metade do intervalo inicial, usando o teorema de Bolzano.
Em seguida repetimos o processo para aquela metade que contém a raiz de f(x): dividindo o intervalo ao meio e verificamos em qual metade está a raiz. 
Pode-se continuar repetindo esse processo indefinidamente.
24
Método da bissecção 
25
ε = |b – a|/2
Método da bissecção 
Critério de Parada
A seguir, uma ilustração desse processo, onde os sinais acima do eixo horizontal representam o sinal da função:
26
Método da bissecção 
2
2
2
27
Método da bissecção 
Exemplo 3 - Encontre a raiz da equação f(x) = x3 – 9x + 3 utilizando o método da bissecção e as condições: 
Estimativa inicial, I=[0,1];
ε ≤ 0,08.
28
Método da bissecção 
ε = |b – a|/2
xi = (a + b)/2
f(a).f(b)<0
29
Método da bissecção 
30
Método da bissecção 
 Exemplo 4 - A concentração, c, de uma bactéria poluente em um lago é descrita por
Utilizar o Método da Bisseção, com precisão de 0,070 para estimar o tempo t, em segundos, para que esta concentração seja reduzida para 9 u.c. utilize I = [1,5; 2].
Estimativa do Número Mínimo de Interações
O método da Bisseção permite que seja estimado, a priori, o número mínimo de iterações para calcular uma raiz α com uma precisão a partir de um intervalo [a, b]. De acordo com a seguinte expressão:
31
Tomando n o número inteiro imediatamente a seguir ao valor acima, temos a garantia que satisfaz a precisão desejada.
Estimativa do Número Mínimo de Interações
Exemplo 5 – Sem resolver o método da bisseção, estime o número Mínimo de Interações pelo método da bisseção dos Exemplos 3 e 4.
32
Exercícios Propostos
33
1) Determinar pelo método da bissecção, o número mínimo de interações necessárias e a raiz f(x) = x – cos(x) no intervalo I = [0,1] com precisão de 1x10-3 ?
Método da bissecção 
Exercícios Propostos
34
Método da bissecção 
2) No estudo de crescimento populacional de uma cidade com população de 75000 habitantes, considera-se que a população dessa cidade decresce de acordo com o seguinte modelo:
 Sendo: 
 C1 = 75000;
 C2 = 10000;
 t – Tempo em anos;
 Pc – População da cidade.
Deseja-se determinar o tempo no qual a população da cidade vai atingir metade da população inicial. I = [19,8;20,5] realize 6 interações.
Exercícios Propostos
35
3) Determinar pelo método da bissecção, o número mínimo de interações necessárias e a raiz f(x) = xlog(x) -1 no intervalo 
I = [2, 3] com ε = 0,002 ?
Método da bissecção 
Exercícios Propostos
4) Encontre uma estimativa para a raiz de:
36
Método da bissecção 
 Estimativa inicial, I=[-1,0];
ε ≤ 0,15.
37
Método da bissecção 
Exercícios Propostos
5) Um modelo simplificado para a suspensão de um automóvel consiste em uma massa m, uma mola com constante elástica k e um amortecedor com constante de amortecimento c, conforme mostrado na figura. Uma estrada esburacada pode ser modelada assumindo-se que a roda se mova para cima e para baixo de acordo com a equação y = Ysen(ωt). A partir da solução dessa equação, o movimento do carro (massa) para cima e para baixo é dado por x = Xsen(ωt − φ).
38
A razão entre a amplitude X e a amplitude Y é dada por: 
Assumindo m = 2000 kg, k = 500 × 103 N/m e c = 38 × 103 Ns/m, determine a freqüência ω na qual X/Y = 0,2. 
5) 
39
a) Rescreva a equação do problema para queela tenha a forma de um polinômio em ω ?
b) Resolva a equação obtida no item (a) utilizando o método da bisseção com I = [5,0;5,1] e ε ≤ 0,005. 
5) 
Cálculo Numérico
Obrigado pela Atenção!