Teste 4/19-1 de Álgebra Linear II - UFRJ

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Alejandro Cabrera, Bruno Costa, Flá-
vio Dickstein, Mário de Oliveira, Milton Ramirez,
Monique Carmona, Marianty Ionel, Nilson Ber-
nardes
Data: 28 de Junho de 2019
Teste
1. Considere as afirmativas abaixo sobre um paralelo-
gramo P em Rn:
(I) Se as diagonais de P são perpendiculares, então P
é um quadrado
(II) Se as diagonais de P possuem o mesmo tamanho,
então P é um quadrado
(a) Ambas são falsas
(b) I é falsa e II é verdadeira
(c) Ambas são verdadeiras
(d) I é verdadeira e II é falsa
(e) Não sei.
2. Calcule as distâncias D1 do vetor (1, 2, 3) ao plano de
equação x + y + z = 0, e D2, do vetor (1, 2, 3, 4) ao
hiperplano de equação x+ y + z − w = 0:
(a) D1 =
√
2 e D2 =
√
3
(b) D1 =
√
2
2 e D2 =
√
3
3
(c) D1 = 2
√
3 e D2 = 5
(d) D1 = 2
√
2 e D2 = 4.3
(e) Não sei.
3. Calcule a soma dos elementos da matriz A tal que
A2 =
[−1 −10
5 14
]
:
(a) 5
(b) 1
(c) 4
(d) 0
(e) Não sei.
4. Calcule o determinante da matriz

4 0 0 1 1
4 1 0 2 3
4 5 1 2 3
1 0 0 1 1
1 0 0 1 6

(a) 14
(b) 17
(c) 16
(d) 15
(e) Não sei.
5. Considere o produto interno no espaço de polinômios
de grau menor ou igual a 2 definido por
p(x) · q(x) = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
Assinale, nesta ordem, o valor de 1 · 1, o valor de x ·x
e calcule o polinômio de grau um mais próximo de
r(x) = ax2 + bx+ c:
(a) 3, 2 e bx+ c+ 3a2
(b) 1, 2 e bx+ c+ 3a2
(c) 3, 2 e bx+ c+ 2a3
(d) 1, 2 e bx+ c+ 2a3
(e) Não sei.
6. Quais matrizes abaixo não são diagonalizáveis?
(a)
 1 0 1−1 4 −1
1 0 1

(b)
1 0 −10 1 0
1 0 1

(c)
a b cb b c
c c c

(d)
1 1 10 1 1
0 0 1
:
(e) Não sei.
7. É esperado que a relação entre preço, em reais,
versus Lucro, em milhares de reais, de um certo
produto seja expressa através de um polinômio de
grau 2, na forma L(p) = ap2 + bp + c. Considere os
seguintes dados de vendas passadas, na forma (p, L):
{(1, 4), (2, 6), (3, 5), (4, 6)}, e as seguintes afirmativas
sobre como obter os coeficientes a, b e c:
(I) Os coeficientes a, b e c não podem ser obti-
dos através da resolução direta de um sistema linear
na forma A~p = ~L
(II) Os coeficientes a, b e c não podem ser obtidos
através do método de Mínimos Quadrados
(a) Ambas são falsas
(b) Ambas são verdadeiras
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) I é verdadeira e II é falsa
(e) Não sei.
8. Seja A uma matriz simétrica, tal que A~v1 = λ1~v1,
A~v2 = λ2~v2, com λ1 6= λ2 e ~v1 e ~v2 não nulos:
(I) {~v1, ~v2} é LI
(II) {~v1, ~v2} é ortogonal
(a) Ambas são verdadeiras
(b) Ambas são falsas
(c) I é verdadeira e II é falsa
(d) I é falsa e II é verdadeira
(e) Não sei.
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