EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
1a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII."Boyce e Di Prima. 
Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
(I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
		
	
	(I)
	
	(I) e (II)
	
	(III)
	
	(II)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Identificando a ordem e o grau da equação diferencial  y´´+3y´+6y=senxy´´+3y´+6y=senx , obtemos respectivamente:
		
	
	2 e 2
	 
	2 e 1
	
	3 e 1
	
	1 e 2
	
	1 e 1
	
Explicação:
Para definir a ordem basta pegar a maior derivada e observa-la
  y´´+3y´+6y=senx ,
Portanto  y " é derivada de ordem 2 e como esta esta elevada a 1 entao grau 1.
 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz identicamente à equação.
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que
(I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação.
(II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes.
(III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-se às constantes valores particulares.
 
		
	
	(II)
	
	(I) e (II)
	
	(I)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(III)
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Identificando a ordem e o grau da equação diferencial  y´´+(y´)3=senxy´´+(y´)3=senx , obtemos respectivamente:
		
	 
	2 e 1
	
	2 e 2
	
	2 e 3
	
	1 e 2
	
	3 e 2
	
Explicação:
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial  y´´+(y´)3=senx , obtemos respectivamente:
A maior derivada é  y" que representa a segunda derivada de y portanto ordem 2 . E esta segunda derivada esta elevada a 1 entao definimos grau 1.
 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere a equação diferencial (1+y2)d2ydt2+tdydt+y=et(1+y2)d2ydt2+tdydt+y=et. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos :
		
	
	Primeira ordem, não linear.
	 
	Segunda ordem, não linear.
	
	Primeira ordem, linear.
	
	Terceira ordem, não linear.
	
	Segunda ordem, linear.
	
Explicação:
Considere a equação diferencial (1+y2)d2y/dt2+tdy/dt+y=et. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos :
Observe que a equacao é de ordem 2 pois a maior derivada é d2y/dt2.
Se a equação é da forma : an (x) (dn y/ dxn) + an-1 (x) (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x) (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classificamos como Linear, caso contrário será não-linear
Observe que esta equação (1+y2)d2y/dt2+tdy/dt+y=et. não esta de acordo com a definição de linearidade pois an (x) que corresponderia a (1+y2) não depende da variável do problema, ela depende de y, portanto nao é linear.
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y''+3yy´=exy′′+3yy´=ex  , obtemos respectivamente:
		
	
	3 e 1
	 
	2 e 1
	
	1 e 2
	
	1 e 3
	
	2 e 2
	
Explicação:
y''+3y y ' =ex  , 
A funcao tem a maior derivada como sendo uma derivada de ordem 2 (segunda derivada) e esta esta elevada a 1 portanto grau 1.
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Identificando a ordem e o grau da equação diferencial  xd2ydx2+ydydx=y3xd2ydx2+ydydx=y3 , obtemos respectivamente:
		
	
	1 e 1
	
	1 e 2
	
	1 e 3
	
	2 e 3
	 
	2 e 1
	
Explicação:
Observaremos a derivada  d2 y / dx2  portanto o ordem da derivada é 2 e grau 1
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos respectivamente:
		
	
	2 e 1
	
	3 e 1
	 
	1 e 1
	
	1 e 2
	
	2 e 2
	
Explicação:
a maior derivada da função dada é a primeira derivada portanto ordem 1 e esta esta elevada a 1 portanto grau 1.
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2a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação diferencial ordinária dydxdydx = -2 xy2. Determine a solução para essa equação.
		
	
	y = x3 + c
	
	y = x+ 2c
	
	y=xy + c
	
	y = x
	 
	y = 1/(x2 + c)
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis.
xy´=4yxy´=4y
		
	
	y=cx3y=cx3
	
	y=cx2y=cx2
	 
	y=cx4y=cx4
	
	y=cx4+xy=cx4+x
	
	y=cxy=cx
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis.
dx+e3xdy=0dx+e3xdy=0
		
	 
	y=13e−3x+Cy=13e-3x+C
	 
	y=13e3x+Cy=13e3x+C
	
	y=12e3x+Cy=12e3x+C
	
	y=e3x+Cy=e3x+C
	
	y=ex+Cy=ex+C
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação diferencial ordinária dydxdydx = 6y. Determine a solução para essa equação.
		
	 
	y = ce6x
	
	y = x2 + c
	
	y = ex + c
	
	y = x3 + c
	
	y = x + c
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Resolva a equação diferencial    ex dydx=2xex dydx=2x  por separação de variáveis.
		
	 
	y=−2ex(x−1)+Cy=-2ex(x-1)+C
	
	y=−12ex(x+1)+Cy=-12ex(x+1)+C
	
	y=ex(x+1)+Cy=ex(x+1)+C
	 
	y=−2e−x(x+1)+Cy=-2e-x(x+1)+C
	
	y=2e−x(x−1)+Cy=2e-x(x-1)+C
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Resolva a equação diferencial    dx−x2dy=0dx-x2dy=0   por separação de variáveis.
		
	
	y=−3x2+cy=-3x2+c
	 
	y=−1x+cy=-1x+c
	
	y=−x+cy=-x+c
	
	y=x2+cy=x2+c
	
	y=x+c
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3a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Observe as equações diferenciais ordinárias abaixo.
I - f(x,y) = 3xy - y2
II - f(x,y) = ex+y
III - (y-x) dx + (x+y) dy =0
Verifique quais as equações satisfazem a condição para ser uma equação diferencial ordinária homogênea. Podemos afirmar:
		
	
	I, II e III NÃO são equações diferenciais homogêneas
	
	Apenas I NÃO é equação diferencial homogênea
	
	I e II NÃO são equações diferenciais homogêneas
	 
	Apenas II NÃO é equação diferencial homogênea
	
	Apenas III NÃO é equação diferencial homogênea
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Resolva a equação homogênea y´=y−xxy´=y-xx
		
	
	y=x3ln(Cx)y=x3ln(Cx)
	
	y=−x2ln(Cx)y=-x2ln(Cx)
	 
	y=xln(Cx)y=xln(Cx)
	
	y=x2ln(Cx)y=x2ln(Cx)
	
	y=1xln(Cx)y=1xln(Cx)
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dentre as funções abaixo a única homogênea, é:
		
	
	f ( x, y ) = 2 x + 3 y2
	 
	f( x , y ) = 2xy
	
	f( x , y ) = x2 + 3 y
	
	f ( x, y ) = x2 - 3y
	
	f (x , y ) = x3 + 2y2
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Resolva a Equação Homogênea
 [xsen(yx)−ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0[xsen(yx)-ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0
		
	 
	xsen(yx)=cxsen(yx)=c
	
	sen(yx)=csen(yx)=c
	
	1xsen(yx)=c1xsen(yx)=c
	
	x3sen(yx)=cx3sen(yx)=c
	
	x2sen(yx)=cx2sen(yx)=c
	 5a Questão
	
	
	
	
	Resolva a equação homogênea y´=x2+2y2xyy´=x2+2y2xy
		
	 
	y2=Cx4−x2y2=Cx4-x2
	 
	y2=Cx4−xy2=Cx4-x
	
	y2=Cx2−x3y2=Cx2-x3
	
	y2=Cx3−x2y2=Cx3-x2
	
	y=Cx4−x2y=Cx4-x2
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Resolva a equação diferencial homogênea (x−y)dx−(x+y)dy=0(x-y)dx-(x+y)dy=0
		
	
	y2+2x+2y−x2=Cy2+2x+2y-x2=C
	
	2y2+12xy−2x2=C2y2+12xy-2x2=C
	
	y+2xy−x=Cy+2xy-x=C
	
	y3+2xy−x3=Cy3+2xy-x3=C
	 
	y2+2xy−x2=C
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4a aula
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Verifique se a equação ( 1 - 2x2 - 2y ) (dy/dx) = 4 x3 + 4xy é exata
		
	
	Não é exata.
	
	É exata e  y = x = 9
	 
	É exata e  y = x = 4x
	
	É exata e  y = x = 1
	
	É exata e  y = x = 0
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata.
		
	
	É exata e  y = x = 5x
	
	É exata e  x = y = 4
	
	É exata e  x = y = 7
	 
	É exata e  y = x = 0
	
	É exata e  y = x = x2
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Seja as equações diferenciaisordinárias abaixo. Identifique quais destas podem ser classificadas como equações diferenciais exatas.
 I) (y2 + 6x2y) dx + (2xy+2x3) dy = 0
II) y2 dx + 2xy dy = 0
III) y3 dx + 2x y2 dy = 0
Podemos afirmar que:
		
	 
	Podemos afirmar que I e II são equações diferenciais exatas, porém III não é equação diferencial exata.
	
	Podemos afirmar que I e II não são equações diferenciais exatas, porém III é equação diferencial exata.
	
	Podemos afirmar que I , II e III são equações diferenciais exatas.
	
	Podemos afirmar que I e III são equações diferenciais exatas, porém II não é equação diferencial exata.
	
	Podemos afirmar que II e III são equações diferenciais exatas, porém II não é equação diferencial exata.
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação diferencial: (3x²y³+4x)dx+(3x³y²+8y)dy=0. Pode-se afirmar que a função solução dessa equação é:
		
	
	g(x,y)=3x²y+6y³+c
	
	g(x,y)=x³y²+5xy+c
	
	g(x,y)=x²y+2x³+3x+y²+c
	
	g(x,y)=2x³y+4x+c
	 
	g(x,y)=x³y³+2x²+4y²+c
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Verifique se a equação diferencial (x+y)(x-y)dx + x2 - 2xy dy = 0 é exata
		
	
	É exata.
	 
	Não é exata.
	
	É exata mas não é homogênea
	
	É exata e é um problema de valor inicial.
	
	É exata e homogênea.
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Verifique se a equação (5x+ 4y) dx + ( 4x - 8y3 ) dy = 0 é uma equação exata.
		
	
	É exata e  x = y = 0
	 
	É exata e  y = x = 4
	
	É exata e  y = x = 1
	
	Não é exata.
	
	É exata e  y = x = x2
		EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
5a aula
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação diferencial ordinária dy dx + 2 x-1 y = x3 , x > 0. Com base nesta equação diferencial classifique como equação diferencial linear ou equação diferencial não linear e determine o fator integrante da mesma.
		
	
	A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x3 + c.
	 
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2.
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x5 + c.
	
	A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2.
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será e2.
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação diferencial ordinária de Ricatti y´ = (1 - x ) y2 + (2x - 1 )y - x  onde y1 = 1 é uma solução da equação diferencial. A solução final pode ser definida como:
		
	
	y = 1 + ce-x
	
	y = 1 + e-x
	
	y = 1 + e2x
	 
	y = 1 + (1)/(ce-x + x - 1)
	
	y = e-x
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Seja as equações diferenciais ordinárias abaixos. Verifique se as equações foram classificadas de forma correta.
I) A equação diferencial ordinária é uma equação de Ricatti dydxdydx = - 2 - y + y2  
II)  A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli dydxdydx + y = xy3  
III) A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli x (dydxdydx) + y = 1y21y2
Podemos afirmar que:
		
	
	As equações diferenciais oridinárias I é uma equação de Bernolli e as opções II e III estão classificadas como Ricatti.
	
	As equações diferenciais oridinárias II e III estão classificadas de forma correta, porém a I opção é uma equação de Bernolli.
	
	As equações diferenciais oridinárias I, II e III não estão classificadas de forma correta.
	
	As equações diferenciais oridinárias I e II estão classificadas de forma correta, porém III é uma equação de Ricatti.
	 
	As equações diferenciais oridinárias I, II e III estão classificadas de forma correta.
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Utilizando a Equação Diferencial y '+ y = sen x. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou não linear a equação data.
		
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x cos x )
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - sen x
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +(1/2) sen x - (1/2) cos x
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) + sen x + cos x
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +  cos x
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Seja a Equação Diferencial Ordinária y ' + 2xy = 0. Classifique em linear ou não linear, determine o fator integrante e a solução geral.
		
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é , portanto podemos encontra a solução geral:  
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e 2x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (2x)
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x)
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e 3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x)
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (- x)
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Seja a Equação Diferencial Ordinária y + 2xy = 0. Classifique em linear ou não linear, determine o fator integrante e a solução geral.
		
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x)
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é , portanto podemos encontra a solução geral:  
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (- x)
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e 2x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (2x)
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e 3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x)
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja a Equação Diferencial Ordinária xy' - 2y = x3 cos(4x).
Determine o fator integrante, a solução geral e classifique em linear ou não linear.
		
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 + (1/4) x2
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x 3, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 sen (4x)
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 +(1/4) x2 sen (4x)
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2
	 8a Questão
	
	
	
	
	Utilizando a Equação diferencial  y - 5 y = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data.
		
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e2x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e2x
	
	A EDO é linear, o fator integrante é ex , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex