Calculo integral AOL 03

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Pergunta 1 -- /1
O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos antigos. Existem inúmeras 
relações presentes nesse objeto, tal como a relação fundamental trigonométrica, que relaciona os 
quadrados do seno e cosseno com o raio unitário do círculo trigonométrico, entre outras.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e 
acerca dessas relações, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) 
falsa(s):
I. ( ) é uma relação trigonométrica.
II. ( ) é uma relação trigonométrica.
III. ( ) A tg(x) pode ser escrita em função do sen(x) e cos(x).
IV. ( ) cos(x) e sen(x) são equivalentes.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, F, V, F.
V, F, V, V.
V, F, F, F.
8/10
Nota final
Enviado: 17/05/20 23:53 (BRT)
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F, F, V, V.
V, V, V, F.
Pergunta 2 -- /1
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa regra 
tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, 
também, inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam.
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra.
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Pergunta 3 -- /1
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes para a matemática, sem usar uma 
ideia mais rebuscada, como a de limite. Porém, também é possível extrair novas relações quando se alia o 
estudo de limites à trigonometria. Um exemplo disso é o limite fundamental trigonométrico.
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se afirmar que o limite 
fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo porque:
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as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o limite.
torna dispensável a utilização de qualquer outro limite.
torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico.
relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão valha 1.
relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre esses dois elementos.
Pergunta 4 -- /1
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações 
das expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem 
sempre é prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de 
forma que este limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites 
que recorrem em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a 
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir.
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero.
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x).
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n.
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x).
Está correto apenas o que se afirma em:
II e III.
I, II e IV.
I, II e III.
I e IV.
II, III e IV.
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Pergunta 5 -- /1
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de 
outra, e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso 
que existe uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos 
f(g(x)), considerando o argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = 
f’(g(x))*g’(x).
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas 
de funções circulares, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5).
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)).
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x).
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5).
Está correto apenas o que se afirma em:
Pergunta 6 -- /1
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses conceitos, muitas 
vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio limite é um desses conceitos 
referenciados, pois consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade e, com isso, proporciona 
inúmeros ganhos ao conhecimento humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado de 
diferencial.
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se afirmar que ele é 
relevante porque:
torna dispensável o uso do limite.
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relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa.
é pouco útil para a fundamentação do cálculo.
é útil na aplicação da regra de L’Hospital.
está relacionado com a ideia de infinitésimo.
Pergunta 7 -- /1
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de 
funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função 
mensura a área abaixo da curva que a descreve.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e 
pelo gráfico de g(x).
III. ( ) h(x) é uma função.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, V.
V, F, V, V.
V, F, V, F.
V, V, V, F.
V, V, F, F.
Pergunta 8 -- /1
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A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no entendimento 
de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao substituir os 
valores de x de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos expressões da 
forma 0/0, por exemplo.
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas 
propriedades, analise as afirmações a seguir:
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito ainda 
estiver valendo.
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve.
III. A regra é aplicada por um processo de derivação.
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e III.
I e II.
III e IV.
I, II e IV.
II e III.
Pergunta 9 -- /1
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução de inúmeros limites. 
Ela permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, apenas derivando o numerador e o 
denominador de uma função que é escrita em forma de razão.
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos seus 
conhecimentos acerca daregra do limite fundamental trigonométrico e da regra de L’Hospital, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5.
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2.
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1.
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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F, F, V, V.
V, F, V, F.
V, F, F, V.
V, F, V, V.
F, V, F, F.
Pergunta 10 -- /1
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, já que este valor 
possui um significado prático para análise da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma 
taxa de variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação referente a outra função 
ou algo similar, o que implica na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-se afirmar que 
aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque:
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada.
vale para qualquer tipo de função e intervalo.
passa a ser possível derivar outros tipos de funções.
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a gerou.
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha.