Controle 1 - Aula8

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AULA 08 – RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
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Aula 8 Reposta em Freqüência 
 
8.1 Introdução 
 
Os métodos de resposta em freqüência baseiam-se na resposta de estado estacionário de um 
sistema linear invariante no tempo a uma entrada senoidal. 
Aplicações dos métodos de resposta em freqüência: 
� Identificação de sistemas; 
� Sintonia de controlador; 
� Análise de estabilidade; 
� Análise de robustez; 
� Projeto de filtros para supressão de ruídos. 
 
 
AULA 08 – RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
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8.2 Obtenção do Sinal de Saída em Regime Estacionário para Sinal de Entrada Senoidal 
 
A função de transferência G(s) de um sistema pode em geral ser representada por: 
 
( )
( )
( )sX
sY
sG =
( )( ) ( )
( )( ) ( )n21
m21
ps...psps
zs...zszs
K
+++
+++
= 
 
 
G(s) 
X(s) Y(s) 
 
Figura 8.1 – Sistema linear invariante no tempo 
 
Para uma entrada senoidal: 
 
( )tXtx 00 sen)( ω= , 0≥t 
onde, 
X0 - amplitude da entrada 
ω0 - freqüência angular [rad/s] 
 
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No domínio s tem-se: 
( )
2
0
2
00
ω
ω
+
=
s
X
sX 
Portanto: 
( ) ( )
2
0
2
00
ω
ω
+
=
s
X
sGsY 
Usando frações parciais, obtém-se uma relação da forma: 
 
( )
n
n
ps
b
ps
b
ps
b
js
a
js
a
s
X
sGsY
+
++
+
+
+
+
−
+
+
=
+
= ...)(
2
2
1
1
00
2
0
2
00
ωωω
ω
 (1) 
 
onde a e bi são constantes e a é o conjugado de a. A transformada inversa de Laplace resulta 
em: 
 
tp
n
tptptjtj nebebebeaaety
−−−−
+++++= ...)( 2100 21
ωω 
 
Os termos de regime transitório tpne− diminuem a medida que t → ∞. 
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Os termos de regime permanente resultam numa solução da forma: 
 
tjtj
ss eaaety
00)( ωω += − (2) 
 
Determinando-se a e a pela expansão em frações parciais a partir da equação (1): 
 
( )
j
jGX
js
s
X
sGa
js
2
)(
)( 0002
0
2
00
0
ω
ω
ω
ω
ω
−
−=+
+
=
−=
 
( )
j
jGX
js
s
X
sGa
js
2
)(
)( 0002
0
2
00
0
ω
ω
ω
ω
ω
=−
+
=
=
 
 
Desde que )( 0ωjG é uma função complexa, pode ser escrita da forma: 
0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )
jG j Gx j Gy j G j e φω ω ω ω= + = , onde: 
( ) ( )
2 2
0 0 0( ) ( ) ( )G j Gx j Gy jω ω ω= + (módulo de )( 0ωjG ) 






=∠= −
)(
)(
)(
0
01
0
ω
ω
ωφ
jGx
jGy
tgjG (ângulo ou fase de )( 0ωjG ) 
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Analogamente, para )( 0ωjG − : 
φωω jejGjG −−=− )()( 00 
 
Então, a resposta de estado estacionário yss(t) fica: 
( ) ( )
( )
0 0
0 0
j( t ) j( t )
j t j t
ss 0 0
ss 0 0 0
ss 0 0
e e
y ( t ) ae ae X G( j
2 j
y ( t ) X G j sen t
y ( t ) Y sen t
ω φ ω φ
ω ω ω
ω ω φ
ω φ
+ − +
− −
= + =
= +
= +
 
 
 
Figura 8.2 – Resposta de sistema linear para entrada senoidal (t → ∞) 
 
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8.3 Conclusões 
 
� Se uma entrada senoidal é aplicada a um sistema linear invariante no tempo, a saída em 
regime permanente também é senoidal e da mesma freqüência. A saída pode diferir da 
entrada em amplitude e fase. 
� A razão da amplitude da saída para amplitude da entrada é conhecida como módulo (em 
alguns casos é chamada razão de amplitude ou ganho). 
� O deslocamento de fase da saída relativo à entrada é chamado fase. 
� As variações do módulo e da fase em relação à freqüência são chamadas resposta em 
freqüência do sistema. 
� Portanto, as características de resposta de um sistema para entrada senoidal podem ser 
obtidas diretamente de )j(G
)j(X
)j(Y
ω
ω
ω
= (função de transferência senoidal). 
 
 
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Exemplo: Considere um sistema cuja função de transferência é dada por 
10
10
)(
+
=
s
sG . 
a) Determinar as expressões do módulo e da fase de G(jω). 
b) Qual a resposta de estado estacionário do sistema quando sujeito a uma entrada 
x( t ) 2sen10t= ? 
Função de transferência complexa: 10( )
10
G j
j
ω
ω
=
+
 
Módulo: 
2 2
10 10
( )
10 10
G j
j
ω
ω ω
= =
+ +
 
Fase: 1( ) 10 ( 10) 0
10
G j j tg
ω
ω ω −∠ = ∠ − ∠ + = ° − 
 
 ( )G jω ( )G jω∠ 
0ω → 1 0o 
10ω = 1/ 2 −45o 
ω → ∞ 0 −90o 
 
Resposta de estado estacionário: 
( )
( )
ss
ss
1
y ( t ) 2 sen 10t 45
2
y ( t ) 2sen 10t 45
= × × − °
= − °
 
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequency (rad/s)
M
a
g
n
it
u
d
e
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-100
-80
-60
-40
-20
0
Frequency (rad/s)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
re
e
)
 
Figura 8.3 – Diagramas de módulo (ganho) e fase de G(s)=10/(s+10) 
 
Desvantagens da escala de freqüências linear: amplitude da faixa reduzida e pouca ênfase à 
resposta em baixas freqüências. 
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Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-45
0
 
Figura 8.4 – Diagramas de Bode de módulo e fase de G(s)=10/(s+10) 
 10
-1
 10
0
 10
1
 10
2
 10
3
 
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8.4 Logaritmos 
logx ba b a x= ⇔ = 
 
Logaritmo decimal: b = 10 
 
Logaritmo natural: b = e 
 
 
Propriedades: 
 
log1 0
log log log
1
log log
log( ) log log
log logn
a
a b
b
b
b
ab a b
a n a
=
= −
= −
= +
=
 
 
Variação Não−Linear: 
 
x = log 10−2 = −2 
x = log 10−1 = −1 
x = log 100 = 0 
x = log 101 = 1 
x = log 102 = 2 
x = log 103 = 3 
x = log 104 = 4 
x = log 105 = 5 
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Figura 8.5 – Folha de gráfico semilog ou monolog 
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8.5 Decibel 
 
O decibel é usado para medir nível de áudio, mas também é largamente utilizado em eletrônica, 
sinais e comunicações. O dB é uma unidade logarítmica usa para descrever uma razão. Para um 
sistema, a razão entre a potência de um sinal de entrada e a potência de um sinal de saída é 
definida como: 
 
22
2
10 log
10 log 10 log
20 log
dB
dB
Po
G
Pi
Vo R Vo
Vi R Vi
Vo
G
Vi
=
 
= =  
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
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Leitura: 
 
� OGATA (4a ed.) – cap. 8, p.401-405 
� NISE – cap. 10, p.417-422. 
 
Problemas resolvidos: 
 
� NISE – exemplo: 10.1. 
exercício de avaliação: 10.1. 
 
Problemas propostos: 
 
� OGATA (4a ed.) – B.8.1, B.8.2. 
� NISE (cap. 10) – 1. 
 
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Problemas complementares: 
 
1) Considere um sistema com a seguinte função de transferência: 
1s
10
)s(G
+
= 
Determine a saída em regime estacionário do sistema quando estiver sujeito a uma entrada 
)45t2cos(2)t(r °−= . 
 
Para a função de transferência: 
)1ss)(1s(
s
)s(G
2 +++
= 
Calcular: 
a) A resposta em freqüência para uma entrada senoidal de amplitude 5 e freqüência 10 
rad/s; 
b) A saída em regime estacionário para uma entrada sen(2t + π/2); 
c) O valor da freqüência para que a saída tenha amplitude máxima; 
d) As freqüências de corte. 
 
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2) Considere o sistema da Figura 8.6 com função de transferência Y(s)/U(s): 
 
Figura 8.6 
 
a) Determine as expressões de módulo e fase; 
b) Dê os valores do módulo e da fase do sistema nas freqüências de (i) 0 rad/s, (ii) 2 rad/s e 
(iii) ∞ rad/s; 
c) Determinar a resposta em regime permanente quando o sistema é submetido à entrada 
).70t2sen(2)t(u °+= 
 
3) Um sistema linear e invariante no tempo tem função de transferência H( s ) K /( s a )= + , onde 
K > 0 e a > 0. A resposta em estado estacionário para x(t) = 4cos(t) é ss 1y (t) = 20cos(t+ )φ , t ≥ 0. A 
resposta em estado estacionário para x(t) = 5cos(4t) é ss 2y (t) = 10cos(4t+ )φ , t ≥ 0. Os ângulos de 
fase φ1 e φ2 não foram medidos. Encontre K e a.