Cálculo numérico apol 3

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Questão 1/10 - Cálculo Numérico 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre integração numérica pelo método dos retângulos com altura tomada 
pela direita, assinale a alternativa cujo valor aproximado é da integral definida, obtida 
pelo método dos retângulos, com 3 subintervalos, dada por: 
 
∫3011+xdx∫0311+xdx. 
 
Dado: 
∫baf(x)dx≈h[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]∫abf(x)dx≈h[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 
 
Nota: 10.0 
 
A 1,083333 
Você acertou! 
Dado 
que ∫baf(x)dx≈h[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]h=3−03=1∫baf(x)dx≈1.[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]∫baf(x)dx≈1.[1+0,5+0,33333+0,25]=1,083333∫abf(x)dx≈h[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]h=3−03=1∫abf(x)dx≈1.[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]∫abf(x)dx≈1.[1+0,5+0,33333+0,25]=1,083333 
 
 
(livro-base p.58-60) 
 
B 1,386294 
 
C 1,235896 
 
D 1,592857 
 
E 1,217857 
 
Questão 2/10 - Cálculo Numérico 
Leia o fragmento de texto: 
"O Método da bissecção consiste em dividir os subintervalos de [a,b] ao meio sucessivas 
vezes, localizando o subintervalo que contém pp." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0100-2-12/aula8-bisseccao.pdf. Acesso em 
02 jun. 2018. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre o método da bissecção e a função f(x)=2x−3|x|f(x)=2x−3|x|, assinale 
a alternativa que apresenta o zero da função pertencente ao intervalo [0,1], pelo método 
da bissecção, com critério de parada |f(xn)||f(xn)| e precisão ϵ=0,05ϵ=0,05. 
 
 
Utilize a tabela a seguir para os cálculos (não necessariamente utilize todas as linhas). 
nabf(a)f(b)xf(x)01234nabf(a)f(b)xf(x)01234 
 
Nota: 10.0 
 
A 0,43750,4375 
Você acertou! 
Comentário: Construindo a tabela, pelo método da bissecção, temos: 
 
nabf(a)f(b)xf(x)0011−10,5−0,085786438100,51−0,0857864380,250,43920711520,250,50,439207115−0,0857864380,3750,17183955530,3750,50,171839555−0,0857864380,43750,0417555474nabf(a)f(b)xf(x)0011−10,5−0,085786438100,51−0,0857864380,250,43920711520,250,50,439207115−0,0857864380,3
750,17183955530,3750,50,171839555−0,0857864380,43750,0417555474 
 
 
A raiz é d=0,4375d=0,4375 e o erro absoluto é igual 0,06250,0625. 
(livro-base p. 38-39) 
 
B 0,4450,445 
 
C 0,3330,333 
 
D 0,3650,365 
 
 
E 0,3550,355 
 
Questão 3/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho sobre o método iterativo linear: 
 
"[...] para 
o caso de uma variável queríamos: f(x)=0f(x)=0. Reescreveríamos na forma x=ψ(x)x=
ψ(x) e obtínhamos o seguinte processo iterativo: xk+1=ψ(xk)xk+1=ψ(xk)." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0301-1-11/MILSistemas.pdf. Acesso em 03 
jun. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre o método iterativo linear e 
a função f(x)=x2−sen(x)+1f(x)=x2−sen(x)+1, assinale a alternativa cujo valor é o 
zero da função com valor inicial x0=1.3x0=1.3, pelo método iterativo linear com proces
so iterativo definido por xn+1=√ sen(x)+1 xn+1=sen(x)+1, com critério de parada |xn−xn+1|
xn+1|xn−xn+1|xn+1 e precisão ϵ=0,001ϵ=0,001. 
 
 
 
Complete a tabela a seguir (utilize 
as primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada). 
 
nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101234nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101234 
Nota: 10.0 
 
A 1,500012441,50001244 
 
 
B 1,39992161,3999216 
 
 
C 1,493256261,49325626 
 
 
D 1,555566111,55556611 
 
 
E 1,4095961961,409596196 
 
Você acertou! 
Comentário: Construindo a tabela, pelo método MIL, temos: 
 
nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101,31,4012702040,0722702911,4012702041,4091361990,0055821421,4091361991,4095961960,00032633234nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101,31,4012702040,0722702911,4012702041,4091361990,0055821421,4091361991,4095961960,00032633234 
 
A raiz é x=1,409596x=1,409596 e o erro absoluto é igual 0,000326.0,000326. 
(Livro-base p. 41-44) 
 
Questão 4/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho sobre o método de Newton-Raphson: 
 
"Em análise numérica, o método de Newton (ou Método de Newton-Raphson), 
desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes 
de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, 
calcula-se a equação da reta tangente (por meio da derivada) da função nesse ponto e 
a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação 
para a raiz". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton-Raphson. Acesso em 02 jun. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre o método da Newton-Raphson, assinale a alternativa cujo valor é a raiz 
da função f(x)=x−2sen(x)f(x)=x−2sen(x), pelo método de Newton-Raphson, com 
critério de parada |xn−xn+1||xn−xn+1|, precisão ϵ=0,001ϵ=0,001 e valor 
inicial x0=1,7x0=1,7. 
 
 
 
Complete a tabela a seguir e utilize como critério de parada o erro absoluto (utilize as 
primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada). 
 
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234 
 
Nota: 10.0 
 
A 1,97522221,9752222 
 
 
B 1,925277961,92527796 
 
 
C 1,89500071,8950007 
 
 
D 1,8954944071,895494407 
 
Você acertou! 
Comentário: 
 
Construindo a tabela, pelo método de Newton, temos: 
 
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,7−0,2833296211,257688989∗11,9252779690,0496248911,6942085640,22527796921,8959870710,0008074651,6389790770,02929089831,8954944072,30009E−071,6380453140,000492663nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,7−0,2833296211,257688989∗11,9252779690,0496248911,6942085640,2
2527796921,8959870710,0008074651,6389790770,02929089831,8954944072,30009E−071,6380453140,000492663 
 
A raiz é x=x= 1,895494 e o erro absoluto é igual 0,000493.0,000493. (livro-base p. 44-46) 
 
E 1,99540751,9954075 
 
 
Questão 5/10 - Cálculo Numérico 
A seguir o teorema de Bolzano: 
 
"Se f(x)f(x) assume valores de sinais opostos no intervalo [a,b][a,b], isto é, 
f(a).f(b)<0f(a).f(b)<0, então existe ao menos uma raiz no intervalo." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: https://www.ppgia.pucpr.br/~jamhour/Pessoal/Graduacao/MatComputacional/Aula2.pdf. Acesso em 30 mai. 
2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre zeros de função e o problema a seguir: 
Assinale a alternativa cujo o intervalo [a,b][a,b], com a e b inteiros consecutivos, 
para x>0 e x<6x>0 e x<6, contêm a raiz da função f(x)=√ x −5e−xf(x)=x−5e−x. 
 
x0,112345f(x)x0,112345f(x) 
 
Nota: 10.0 
 
A [4,5] 
 
B [3,4] 
 
C [2,3] 
 
D [0,1;1] 
 
E [1,2] 
Você acertou! 
Comentário: A tabela deve ser completada com valor da função para cada x. 
 
x0,112355f(x)−4,20796−0,83940,73753741,4831151,9084222,202378x0,112355f(x)−4,20796−0,83940,73753741,4831151,9084222,202378 
 
O intervalo é : [1,2].[1,2]. 
 
Justificativa: Pelo teorema de Bolzano, quando a função "muda de sinal" , existe no intervalo pelo menos uma raiz para a função. 
 
(livro-base, p. 33-37). 
 
Questão 6/10 - Cálculo Numérico 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico e os conteúdos da Aula 
1, Videoaula 6, tema 5 - Erro de arredondamento, assinale a alternativa que dá a 
forma binária do número decimal 13,251013,2510. 
Nota: 10.0 
 
A 13,2510=1101,01213,2510=1101,012 
Você acertou! 
dividimos a parte inteira: 
13÷2=6resto=16÷2=3resto=03÷2=1resto=11310=110113÷2=6resto=16÷2=3resto=03÷2=1resto=11310=1101 
 
parte decimal 
 
0.1/2+1/4=1/4 
0,25×2=0,50,5×2=10,2510=0,0120,25×2=0,50,5×2=10,2510=0,012 
 
(Aula 1 - tema 5 - Erro de Arrendondamento - instante -16 segundos.) 
 
B 13,2510=1110,01213,2510=1110,012 
 
 
C 13,2510=1101,110213,2510=1101,1102 
 
 
D 13,2510=1101,22213,2510=1101,222 
 
 
E 13,2510=1101,101213,2510=1101,1012 
 
 
Questão 7/10 - Cálculo Numérico 
Considerando
os conteúdos da Aula 3, Videoaula 6 - Tema 5 -integração numérica, 
assinale a alternativa que dá a aproximação da integral ∫20√2x2+1 dx∫022x2+1dx, pelo 
método 1/3 de Simpson com 8 subintervalos. 
 
Dado: Tabela com os valores da função f(x).f(x). 
 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 3,800143,80014 
 
 
B 3,669903,66990 
 
 
C 3,6301713,630171 
Você acertou! 
 
 
Calculamos o valor de hh: 
 
h=b−a6=2−08=0,25h=b−a6=2−08=0,25 
Calculamos a aproximação, pelo método 1/3 de Simpson: 
 
∫20√2x2+1 dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x3)+f(x5)+f(x7))++2(f(x2)+f(x4)+f(x6))+f(x8))∫022x2+1dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x3)+f(x5)+f(x7))++2(f(x2)+f(x4)+f(x6))+f(x8)) 
 
∫20√2x2+1 dx≈0,253(1+4(1,060660+1,457738++2,031010+2,669270)+2(1,224745+1,732051+2,345208)+3)≈3,630171∫022x2+1dx≈0,253(1+4(1,060660+1,457738++2,031010+2,669270)+2(1,224745+1,732051+2,345208)+3)≈3,630171 
(Roteiro de estudos - aula 3 - vídeo 6 -tema 5 -integração numérica --3:32 s) 
 
 
 
 
D 3,4569873,456987 
 
E 3,2456013,245601 
 
 
Questão 8/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho a seguir sobre regra do trapézio: 
 
"O que caracteriza as quadraturas newtonianas é o espaçamento constante entre os 
pontos. O caso mais simples é denominado regra do trapézio na qual apenas dois 
pontos são utilizados. De acordo com o sistema, a quadratura com dois pontos é dada 
pela fórmula ∫baf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b).∫abf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b). 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.mat.ufrgs.br/~guidi/grad/MAT01032/calculo_numerico.cap7.pdf}. Acesso em 03 Jul. 2018. 
 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo 
numéricocálculo numérico sobre integração numérica e o método dos trapézios, 
calcule a integral ∫1,80√1+ex dx∫01,81+exdx, empregando o método dos trapézios com 
6 subintervalos. Apresente todo o desenvolvimento. 
Nota: 10.0 
 
A 3,612543,61254 
 
 
B 3,4581891823,458189182 
Você acertou! 
Calculamos o valor de hh: 
 
h=b−a6=1,8−06=0,3h=b−a6=1,8−06=0,3 
 
construímos a tabela com os valores para x e f(x): 
x00,30,60,91,21,51,8f(x)1,4142135621,5329249191,6799163081,8600008362,0784890962,3413007222,655117222x00,30,60,91,21,51,8f(x)1,4142135621,5329249191,6799163081,8600008362,0784890962,3413007222,655117222 
 
Calculamos a aproximação, pela fórmula dos trapézios para 8 subintervalos: 
∫1,80√1+ex dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6))∫01,81+exdx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6))∫1,80√1+ex dx≈0,32(1,414213562+2(1,532924919+1,679916308+1,860000836+2,078489096+2,341300722)+2,655117222)≈3,458189182∫01,81+exdx≈0,32(1,414213562+2(1,5329249
19+1,679916308+1,860000836+2,078489096+2,341300722)+2,655117222)≈3,458189182 
(livro-base p. 64-66) 
 
C 3,330023,33002 
 
 
D 3,78813,7881 
 
 
E 3,66663,6666 
 
 
Questão 9/10 - Cálculo Numérico 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre conversão da base decimal para a binária, assinale a alternativa cujo 
valor é a representação binária do número decimal 19101910. 
Nota: 10.0 
 
A 1910=1110121910=111012 
 
 
B 1910=1100121910=110012 
 
 
C 1910=1001121910=100112 
Você acertou! 
Dividindo 19 por 2, temos 
 
19÷2=9,r=19÷2=4,r=14÷2=2,r=02÷2=1,r=019÷2=9,r=19÷2=4,r=14÷2=2,r=02÷2=1,r=0Juntamos o último resultado da divisão 
com os restos e temos 19_{10}=10011_2. 
 
 
(livro-base p.21-26) 
 
D 1910=1010121910=101012 
 
 
E 1910=0110121910=011012 
 
 
Questão 10/10 - Cálculo Numérico 
Leia trecho de texto a seguir: 
"Toda a produção de um determinado bem tem dois tipos associados de custos: Custo 
Fixo: Custos que não dependem do volume de produção, existem mesmo se a 
produção for zero. Exemplo: custos de instalação, seguro, manutenção, etc. Custos 
Variáveis: Custos que dependem do volume de produção, como por exemplo custo de 
matéria prima, energia, combustível, etc." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em https://pt-static.z-dn.net/files/dee/38aec09f31380e0501fce951d0845288.pdf. Acesso em 20 Mai. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre erros, leia as seguintes informações: 
A função custo total de um produto é dado em função dos seu volume 
de produção, que pode ser fracionário. Se 
a função custo total tem a forma ct(x)=0,5q3−8q2+233q+36,125ct(x)=0,5q3−8q2+233
q+36,125, assinale a alternativa cujo valor é o custo total, quando o volume 
de produção for 
de 42,9542,95, efetuando o arredondamento na primeira casa decimal 
para cada operação. 
Nota: 10.0 
 
A 34900,8 
 
B 34900,84 
 
C 34900,9 
Você acertou! 
Comentário: ct(x)=0,5q3−8q2+233q+36,125=0,5.42,953−8.42,952+233.42,95+36,125=39614,99−14757,6+10007,35+36,125=39615−14757,6+10007,4+36,1=34900,9ct(x)=0,5q3−8q2+233q+36,125=0,5.42,953−8.42,952+233.42,95+36,125=39614,99−14757,6+10007,35+36,125=39615−14757,6+10007,4+36,1=3
4900,9(livro-base, p. 5-12). 
 
D 34900,8411875 
 
E 34901