Material de geometria ensino fundamental maior

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Material de geometria 
6°Ano 
1. Introdução a geometria 
Há indícios de que os babilônios, desde 2000 anos ac, desenvolveram a 
geometria, que era muito comum no Egito devido aos agrimensores usar para medir 
terrenos, construtores para fazer edificações, como exemplo podemos citar a pirâmide 
do Egito próximo do rio Nilo. 
Antigamente os matemáticos gregos saiam de suas terras para ver o que existia 
de novo na geometria. Por volta de 600 ac eles passaram a sistematizar seus 
conhecimentos fazendo com que a geometria deixasse de ser puramente experimental. 
Por volta de 300 ac surgiu Euclides conhecido como pai da geometria, ele deu a 
ordem lógica a esse conhecimentos e trabalhou a fundo nessas propriedades das figuras 
geométricas, Esse matemático fez esse estudo juntado seu conhecimento sobre 
geometria e publicou um livro muito conhecido chamado “Elementos de Euclides” 
livro que contém 13 volumes e perdura até hoje. 
Os gregos consideram a geometria tão importante que nas escolas gregas o aluno 
que não tiver vontade de aprender geometria não pode se matricular na escola, tanto é 
que eles escreveram as seguintes frases. “Não entre nessa escola se você não quiser 
aprender geometria”. 
1.1 Ponto 
Quando olhamos para uma estrela estamos localizando um ponto. Sua indicação 
é dada em letra maiúscula do alfabeto português e tem como característica não possuir 
dimensão. Para representar um ponto basta fazer uma marca no papel, quadro negro ou 
qualquer outro material. 
EX: A 
 ● 
 Atividade 1- construa um ponto em seu caderno. 
 
2 
 
1.2 Reta 
Quando olhamos para linha de uma quadra, campo de futebol, do piso de nossa 
casa, fios de redes elétricas esticadas, por exemplo, podemos visualizar a ideia de reta. 
Em geometria a reta é uma espessura sem começo e sem fim, ilimitada nos dois 
sentidos e é indicado por letra minúscula do nosso alfabeto português. Devido a reta não 
possuir começo e fim fica impossível construí-la em papel, quadro e outros matérias 
escritos e por este motivo representamos apenas parte da reta. 
Ex: r 
Atividade 2- construa uma reta na folha de desenho 
1.3 Plano 
Quando olhamos para um campo de futebol, um lago ou um piso de uma sala, por 
exemplo, surge a ideia de plano. Em geometria, o plano é imaginado sem fronteiras, 
ilimitado em todas as direções e é indicado por uma letra grega, e assim como a reta é 
impossível desenhar o plano todo é por isso que representamos apenas uma parte do 
plano. 
Obs: na geometria a reta e o plano são imaginados como conjuntos infinitos de 
pontos. 
Ex: α 
 
 
 Atividade 3 - desenhe um plano em seu caderno 
1.4 Figura geométrica 
É qualquer conjunto de pontos. A figura geométrica planas possui 
todos os seus pontos em um mesmo plano, como exemplo: quadrado, 
triângulo e retângulo. Se uma figura geométrica não possuir seus pontos no 
mesmo plano ela é dita não plana. Em nosso cotidiano podemos citar como 
exemplo de construções que possuem figuras geométricas planas são eles: 
campo de futebol e um edifício. 
 Atividade 4 - Em seu caderno cite outros exemplos de 
construção que possui forma de figura plana 
 
α 
 
3 
 
1.5 A reta 
 Paralela- não se intercepta. 
 
 Concorrentes- se interceptam em um único ponto. 
 
 
1.5.1 posições relativas das retas 
 Por um ponto de um plano passam infinitas retas 
 A 
 
 Por dois pontos de um plano passa uma única reta 
A B 
Obs: não conseguimos passar uma reta por três pontos que não sejam alinhados. 
Como mostra as figuras abaixo; 
 A ● A● B ● C● 
 ●C figura 2 
 B●figura 1 
Na figura um não foi possível traçar uma única reta pois os três pontos não esta 
alinhados, já na figura 2 podemos traçar uma única reta pois os pontos estão alinhados. 
 Atividade 5 - Em seu caderno construa dois exemplos, no 
primeiro exemplo represente a possibilidade das retas naõ 
poder ser traçada nos mesmos pontos como na figura 1, e 
no segundo exemplo com as retas sendo traçadas no 
mesmo ponto como na figura 2 
1.5.2 Posições de uma reta em relação à Terra 
 O mastro de uma bandeira nos dá a ideia de reta. Em relação à 
Terra, esta reta ocupada a posição vertical. 
 O encontro do tampo com a parte lateral de uma mesa nos dá a 
ideia de reta. Em relação à Terra, esta ocupada a posição 
horizontal. 
4 
 
 A beirada da frente da frente do telhado de uma casa nos dá a 
ideia de reta. Em relação à terra, esta reta ocupa a posição 
inclinada. 
1.5.3 Posições relativas de duas retas em um plano 
 Duas retas são ditas paralelas quando não possuírem pontos em comum. 
 
Ex: a Rua sete de setembro com a Avenida Castelo Branco do estado de São 
Paulo. 
 Duas retas são ditas concorrentes ou secantes quando possuírem apenas um 
ponto em comum. 
 
Ex: a Rua Liberdade com a Rua 7 de Setembro do estado de São Paulo. 
Observações: 
1- A reta é imaginada sem começo e sem fim. 
 
2- Duas retas podem coincidir e ocupar a mesma posição no plano. 
 
 
1.5.4 Semirreta (AB) 
É uma reta que tem inicio e é infinita apenas em um só sentido. 
Ex: ● 
1.5.5 Segmento de reta ( AB) 
É uma reta que possui inicio e fim. ● ● 
Ex: as linhas laterais de um campo de futebol, de uma quadra de basquete, quadra de 
vôlei entre outros. 
1.5.6 classificação dos segmentos 
 Consecutivos- possui uma extremidade em comum. 
 A B C AB é consecutivo com BC 
5 
 
 Não Consecutivos- Não possui extremidade comum. 
A B C D E AB não é consecutivo com DE porém 
são colineares. 
 Colineares- Estão na mesma reta. 
 Não colineares- Estão em retas distintas. 
 Congruentes- possuem a mesma medida. 
1.5.6 Medida de um Segmento 
É o número que obtemos de um segmento quando comparamos o 
segmento considerado com o outro tomado como padrão, ou seja, que é 
determinado. 
Quando as medidas dos dois segmentos comparados são iguais dizemos 
que eles são congruentes. 
 Atividade 6 – construa no papel milimetrado um segmento 
de reta e semirreta, em seguida classifique-os. 
2. Geometria e Medidas 
2.1 Introdução a Geometria 
O vidro traseiro de um carro tem a forma de um trapézio, os laterais a 
forma de um triângulo ou de um paralelogramo. 
As janelas de nossas casas podem ter a forma de: quadrado, retângulo e 
circulo. Nas turbinas de um avião você encontra um contorno esse contorno 
chama-se circunferência. O mostrador de relógio tem a forma de um círculo e o 
seu contorno de circunferência. 
2.2 Régua graduada e Segmento de Reta 
As réguas graduadas é o instrumento utilizado para traçar parte da reta e 
medir os segmentos de retas. 
 Pontos- não se definem 
 Segmentos – são partes da reta determinados por dois de seus 
pontos. 
 São partes da reta determinado por um de seus pontos. 
2.3 Par de esquadros 
Esquadro é o material utilizado para traçar linhas com precisão, é 
orientado que se utilize os pares e que se mantenha o olhar fixo quando for 
6 
 
utiliza-lo. Com ele você pode traçar: retas paralelas, e perpendiculares por 
exemplo. 
2.4 Transferidor 
É um instrumento utilizado para medir os arcos da circunferência e mede 
no máximo 360° cada transferidor. O arco corresponde a grau. 
2.5 Ângulo e suas medidas 
É formado por duas semirretas da mesma origem. Seus elemento são 
lados (as semirretas que os geraram) e vértice (o ponto em comum). 
Podemos utilizar o transferidor também para construir e tirar as 
medidas dos ângulos e a réguas para medir o cumprimento das figuras e tirar 
as medidas do segmento de reta. 
Notação Aôb ângulo o 
2.6 Classificação dos Ângulos Reto- é aquele que mede 90°. 
 Raso- é aquele que mede 180°, sua característica é possuir 
semirretas opostas. 
 Nulo- é aquele que mede 0°. 
 Agudo- um ângulo é agudo quando ele for menor que 90°. 
 Obtuso- um ângulo é obtuso quando ele for maior que 90°. 
2.7 Figuras planas e seus elementos 
 Trapézio - seus elementos são: vértices, lados, base 
maior, base menor, altura, ângulo e diagonais. No caso do trapézio 
retângulo ângulo retângulo e no caso do trapézio isóscele lados 
não paralelos com medidas iguais. 
 Triângulos- é a região formada por três retas, seus elementos são: 
lados, ângulos internos, altura. 
2.8 Polígonos 
 Linha poligonal- é a região que contém os pontos comuns a todos 
os ângulos determinados por dois lados consecutivos. 
 Linha simples- se cruzam. 
 Linha não simples- não se cruzam. 
 Linhas fechadas- suas extremidades se coincidem. 
 Linha abertas- suas extremi9dades não se coincidem. 
7 
 
 Polígono- é toda figura fechada simples formada apenas por 
segmentos de retas. 
 Polígono convexo- o segmento de reta está contido inteiramente 
dentro do polígono. 
 Polígono côncavo- parte do segmento não estará contido 
inteiramente dento do polígono. 
 Vértices- são os pontos comuns a três ou mais arestas. 
 Arestas- é determinado pela quantidade de segmento de retas que 
resultam do encontro de duas faces. 
 Faces- é a superfície plana que limita o sólido. 
 Relação de Euler - V – A + F = 2 
Obs: o nome dos polígonos varia de acordo com a quantidade de lados, 
vale destacar que um polígono deve conter no mínimo 3 lados. Podemos dizer 
que as faces dos poliedros são polígonos. Os elementos do polígono são: vértice, 
lados e ângulos internos. 
Quadro 1: Nomenclatura dos polígonos 
Números de lados Nome 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
 
2.9 Triângulos 
 Equilátero – três lados iguais. 
 
 
 Isósceles – dois lados iguais. 
 
 
8 
 
 Escaleno- três lados diferentes 
 
 
 Retângulo- um dos seus ângulos mede 90°. 
 
 
2.10 Quadriláteros 
É um polígono de quatro lados. 
 Retângulo- todos os Ângulos retos e dois lados iguais, lados 
opostos paralelos com medidas iguais. 
 Trapézio- possui dois lados paralelos e dois lados não 
paralelos. 
 Paralelogramo- lados opostos paralelos e com medidas 
iguais. 
 
 
 Quadrado- é o paralelogramo onde todos os ângulos são retos 
e os lados possuem a mesma medida com os lados opostos 
paralelos. 
 Losango- todos os lados e ângulos possuem a mesma medida 
e tem formato de um paralelogramo 
 
 
Obs: O perímetro de um polígono são as somas dos seus lados. 
3. Conceito de medida e sistema de medidas 
3.1 Padrões de medidas 
Para medir uma grandeza devemos estabelecer alguns padrões, esses 
padrões podem ser escolhidos ao acaso, porém existem alguns padrões que já 
existem e são determinados pelo SI(Sistema Internacional de Unidaes). 
3.2 Metro linear ou medidas de comprimento (m) 
É um padrão internacional de medidas de comprimento equivalente à 
décima milionésima parte da distancia que vai de um pólo a linha do equador. 
Múltiplos: quilômetros (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam) 
9 
 
Submúltiplos: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm) 
1km=100m 1 dm = 0,1m 
1hm=100m 1cm = 0,01 m 
1dam= 10m 1 mm = 0,001m 
Obs: alguns instrumentos utilizados para medir a medida de 
comprimento são: a trena do pedreiro e a régua graduada, Cada unidade de 
comprimento é dez vezes maior ou menor imediatamente ao lado e a 
mudança de unidade se faz com o deslocamento da vírgula para direita pra ou 
para esquerda. 
 Quadro 2: transformação das medidas de comprimento 
km Hm dam m Dm cm mm 
 
 
3.3 Perímetro de figuras planas (p) 
É a soma dos lados. 
Existem algumas figuras que possuem fórmulas especiais para 
calcular o perímetro, alguns exemplos; 
Triângulo e quadrado- p=2L, considerando L como sendo o número 
de lados. 
Retângulo- p= 2a + 2b 
Circunferência- é o raio da própria circunferência. 
Obs: a diferença de círculo para circunferência é que círculo é a parte 
do plano limitada e a circunferência é a reunião de uma curva fechada com 
todos os pontos na mesma distância. Seu raio é a distância do centro a 
qualquer ponto da extremidade e seu diâmetro é o segmento que une dois 
pontos passando pelo centro da circunferência. 
Obs: o raio é a metade do diâmetro 
3.4 Metro quadrado (m²) 
Equivale a superfície do quadrado. 
1km²=1000000m² 1 dm² = 0,01m² 
1hm²=10000m² 1cm² = 0,0001 m² 
1dam²= 100m² 1 mm = 0,000001m² 
10 
 
Múltiplos: quilômetros quadrado (km ²), hectômetro quadrado (hm²) 
e decâmetro quadrado (dam²) 
Submúltiplos: decímetro quadrado (dm²), centímetro quadrado (cm²) 
e milímetro quadrado (mm²) 
Quadro 3- transformação de áreas 
Km² Hm² Dam² M² Dm² Cm² Mm² 
 
 
3.5 Áreas de figuras planas (A) 
Retângulo- A= b.h= base. Altura 
Quadrado- A= a²= lado ao quadrado= lado. Lado. 
Paralelogramo- A= b.h 
Triangulo – A= 
1
2
 .b.h= A= 
1
2
 .base. Altura 
Círculo- A= πr² 
Losango- 𝐴 =
𝐷𝑑
2
, 
Trapézio- 𝐴 =
𝐵+𝑏
2
ℎ 
Obs unidade de medida é o metro quadrado (m²) 
3.6 Figuras do espaço e suas medidas 
 Vértices- são os pontos. 
 Arestas- é determinado pela quantidade de segmento de retas. 
 Faces- determinadas pela quantidade de figuraras idênticas 
formada em cada lado. 
Tipos de figuras espaciais: cubo, prisma e pirâmide 
3.7 Metro cúbico(m³) 
Equivale ao volume de um cubo. 
1km²=1000000000m³ 1 dm³ = 0,001m³ 
1hm²=10000000m³ 1cm³ = 0,000001 m³ 
1dam²= 1000m³ 1 mm³ = 0,000000001m³ 
Múltiplos: quilômetros cúbicos (km³), hectômetro cúbicos (hm³) e decâmetro 
cúbicos (dam³) 
Submúltiplos: decímetro cúbico (dm³), centímetro cúbico (cm³) e milímetro 
cúbico (mm³) 
11 
 
Quadro 3- transformação da unidade de volume 
Km³ Hm³ Dam³ M³ Dm³ Cm³ Mm³ 
 
 
3.8 Litro (l) 
Equivale a capacidade do cubo. 
1kl=1000l 1dm³= 1l 1ml= 0,001l 
1hl=100l 1dl= = 0,1l 
1dal= 10l 1l= 0,01l 
Múltiplos: quilolitro (kl), hectolitro (hl) e decalitro (dal) 
Submúltiplos: decilitro (dl), centilitro (cl) e mililitro (ml) 
Quadro 4- transformação da capacidade do cubo 
kl hl dal ml Dl Cl Ml 
 
 
3.9 Grama (g) 
Bastante utilizado para massa e peso. 
1kg=1000g 1mg= 0,001g 
1hg=100g 1dg = 0,1g 
1dag= 10g 1g= 0,01g 
Múltiplos: quilograma (klg), hectograma (hg) e decagrama (dag) 
Submúltiplos: decigrama (dg), centigrama(cg) e miligrama (mg) 
Quadro 5- transformação das unidades de massa. 
kg Hg Dag mg Dg Cg Mg 
 
 
4. Medindo a capacidade de um solido 
4.1 Sólidos geométricos 
São exemplos de sólidos geométricos: cubo, esfera, prisma, cone, 
pirâmide, cilindro e paralelepípedo. Os sólidos geométricos que possuir todas 
as suas faces planas são chamadas de poliedros, caso alguma superfície tenha 
curva chamaremos de não poliedro. 
12 
 
4.2 Cálculos de volume (v) 
Paralelepípedo retângulo- v= a.b.c= comprimento.largura.altura 
Cubo- v= a.a.a= arestas ao cubo 
Cilindro- v= π.r².h= pi. O raio ao quadrado. Altura. 
Exercícios de fixação 
1) Responda o que se pede usando uma das palavras: ponto, reta ou plana. 
i) Olhando o mapa do seu estado a cidade que você mora tem a ideia de qual 
representação? ____________ 
ii) Quando você olha o vidro colocado em uma janela tem a ideia de que 
representação? ___________ 
iii) A linha divisória de uma quadra de basquete tem a ideia de qual 
representação? __________ 
2) Dentre os seguintes elementos: porta de geladeira, superfície de uma pscina, 
uma cabeça de parafuso, uma corda esticada, uma parede, o encontro entre suas 
paredes, a marca do giz no quadro negro, identifique quais deles nos dão a ideia 
de: 
a) Ponto 
________________________________________________________________________________________________________________________ 
b) Reta 
________________________________________________________________
________________________________________________________________ 
c) Plano 
_____________________________________________________________
____________________________________________________________ 
3) Observe a sala de aula e identifique algo que de a ideia de : 
a) Reta 
___________________ 
b) Ponto 
___________________ 
c) Plano 
 
 
 
13 
 
4) Identifique as figuras geométricas planas ou não planas: 
a) 
 
 
___________ 
 
b) 
 
__________ 
5) O professor de geografia pediu para você desenhar, numa folha de papel, o mapa 
do seu estado. O desenho que você fez é alguma figura geométrica plana ou não 
plana? 
6) Você tem uma caixa onde guarda seus lápis e canetas. Essa caixa é uma figura 
plana ou não plana? 
7) Dê exemplos dois de figuras planas e não planas que você conhece. 
 
8) A linha de fundo de uma quadra de basquete nos dá a ideia de que? 
 
 
 
9) Quantos segmentos de retas são possíveis enxergar em cada figura: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
10) Se considerarmos um ponto C quantas retas é possível traçar? 
11) Qual a diferença de semirreta para segmento de reta? 
12) Os suportes laterais de uma rede de voleibol nos dão a ideia de qual tipo de 
reta? 
14 
 
13) Quantas semirretas estão representadas na figura abaixo: 
● 
 
14) Apresentamos a reta r=AB e alguns pontos nessa reta e fora dela . 
A ● B● C● 
 
D● E● 
Marque em seu caderno V ou F: 
a) A reta r contém AB 
b) A ϵ r D ϵ r 
c) AB=BC 
15) Identifique quantas semirretas são determinadas com origem em A? 
 A 
16) Com um esquadro trace uma reta AB, em seguida trace retas perpendiculares a 
AB e verifique se essas retas são paralelas entre si. 
 
17) Trace uma reta perpendicular a AB pelo seu ponto médio. Construa AB com 
6cm. 
 
18) Construa um triângulo com três ânulos agudos. 
 
19) Construa um triângulo com um ângulos obtuso. 
 
20) Construa um triângulo com um ângulo reto. 
 
21) Construa um trapézio isósceles e um trapézio retângulo. 
 
22) Classifique os triângulos que você desenhou nas questões 5, 116 e 18. 
 
23) Julgue v ou f: 
a) Um quadrilátero sempre possui quatro lados 
b) Todo paralelogramo é um quadrilátero 
c) Todo retângulo é um paralelogramo 
d) Todo paralelogramo é um retângulo 
e) Todo quadrado é um retângulo 
15 
 
f) Todo retângulo é um quadrado 
g) Todo quadrado também é um losango 
h) Todo quadrado também é um paralelogramo 
24) Quantos centímetros de renda necessito para aplicar numa toalha quadrada de 
100 cm de lado? 
25) Qual o perímetro em centímetro da face de um tijolo de base 8cm e altura 0,6 
dm? 
26) Qual o comprimento de uma circunferência de 15cm de raio em metros? 
27) Num triângulo retângulo, cuja altura mede o quádruplo da base, o semiperímetro 
mede 75 dm. Encontre sua base e sua altura. 
28) Qual a área de um paralelogramo com 11,5metros de base e 30 cm de altura? 
29) Sabendo que a área de um terreno retangular é 360 metros quadrados e sua 
largura é 10cm calcule o seu comprimento. 
7°Ano. 
1. Ângulos 
1.1 Conceito de ângulo 
É a região convexa do plano em que duas semieretas da mesma origem divide 
esse plano. Qualquer uma das quatro regiões que resultam da divisão de um plano por 
um pá de retas que se cruzam num ponto. 
1.2 Ângulos e seus elementos 
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. 
 vertice Lado 
1.3 Medidas de Ângulos 
Reto- é aquele que mede 90°. 
 
 . 
Raso ou meia volta- é aquele que mede 180°, sua característica é possuir 
semirretas opostas. 
Nulo- é aquele que mede 0°. 
Agudo- um ângulo é agudo quando ele for menor que 90°. 
Obtuso- um ângulo é obtuso quando ele for maior que 90°. 
Uma volta é o Ângulo de 360°. 
16 
 
Obs: o ângulo raso é formado por duas semirretas opostas e o ângulo nulo 
por duas semirretas iguais ou coincidentes. 
Atividade 1- construa utilizando transferidor, esquadro e régua cada 
tipo dos ângulos citados acima. 
1.4 Submúltiplos das medidas de ângulos 
Os submúltiplos são minutos e segundos. Usamos ° para representar o 
valor eem graus, ‘ para minutos e ‘’ para segundos. 
1.5 Transformação em unidades 
1°= 60’ 
1°=3600’’ 
1’=60’’ 
Para transformar de minutos para graus divide-se por 60. 
Para transformar de segundos para graus divide-se por 3600 ou divide 
duas vezes por 60. 
Obs: casos nos exercício encontraram os valores expressos nessa 
forma n°n’n’’, considerando n um número, para que seja feito a 
transformação basta transforma de minutos para graus e de segundo 
para graus e em seguida multiplicar os valores dos resultados 
encontrados, assim encontramos o valor do respectivo resultado 
desejado em graus. 
1.6 Operações com medidas de ângulos 
 Adição- somamos os valores que estão na mesma medida. 
 Subtração-subtrairmos os valores que estão na mesma medida. 
 Multiplicação- multiplicamos os valores que estão na mesma 
medida. 
 Divisão- dividimos os valores que estão na mesma medida. 
1.7 Ângulos congruentes 
Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida. 
1.8 Ângulos consecutivos 
Dois Ângulos são consecutivos quando tem o mesmo vértice, um lado em 
comum. 
 
 
17 
 
1.9 Ângulos adjacentes 
Dois Ângulos são adjacentes quando tem o mesmo vértice, um lado em 
comum e não possuir pontos internos em comuns. 
1.10 Ângulos retos 
Forma um ângulo de 90° 
1.11 Ângulos agudos 
É formado por retas perpendiculares 
1.12 Ângulos complementares 
Dois Ângulos são complementares quando a soma entre eles for igual 
é 90°. 
1.13 Ângulos suplementares 
Dois Ângulos são complementares quando a soma entre eles for igual é 
180°. 
1.14 Ângulos oposto pelo vértice 
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles 
são semirretas opostas ao lado do outro. 
Obs: os Ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
1.15 Bissetriz do ângulo 
É a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que divide em 
dois ângulos congruentes. 
Obs: os pontos colineares estão na mesma reta. 
2. Polígonos e seus elementos 
2.1 Conceito 
É a união entre uma linha poligonal fechada e o conjunto dos seus 
pontos interiores. 
2.2 Regiões do plano 
Côncavo- segmento contido inteiramente 
Convexo- segmento contido não inteiramente 
2.3 Classificação dos polígonos 
Regular- possuem a mesma medida 
Irregular-não possui a mesma medida. 
 
 
18 
 
2.4 Construção de polígonos regulares 
Para construí utiliza-se transferidor, régua, compasso e outros 
materiais. 
2.5 Elementos do triângulo 
Vértice, lados e ângulos internos. 
2.6 Classificação dos triângulos 
Equilátero- 3 lados iguais 
Isósceles- 2 lados iguais 
Escaleno- 3 lados diferentes 
2.7 Soma dos ângulos internos do triângulo 
A soma dos ângulos internos de um triângulo mede 180° 
Exercício 
1) Transforme para graus as seguintes medidas? 
a) 120’ 
b) 900’ 
c) 25200’’ 
d) 433665’’ 
2) Transforme as seguintes medidas? 
a) 25°12’13’’ 
b) 40°50’60’’ 
8°Ano 
1. Geometria 
1.1 Tangaram 
É um quebra cabeça inventado na china com set peças na forma de figura 
geométricas planas. 
1.2 Ângulos correspondentes 
É determinado por duas retas paralelas e uma transversal. 
1.3 Ângulos colaterais internos 
Dois ângulos são colaterais quando estão na mesma reta transversal e são 
internos por se posicionarem entre duas retas. 
 
 
19 
 
1.4 Ângulos alternos internos 
Os ângulos alternos são aqueles que mudam de lado com relação a reta 
transversal. 
Obs: duas retas paralelas e uma transversal determinam os Ângulos 
colaterais internos suplementares e os Ângulos alternos internos 
congruentes. Os ângulos são formados por duas semirretas da mesma 
origem. 
Obs: a bissetriz de um ângulo divide ele ao meio e é geradoa partir do 
vértice do ângulo. Se a soma dos Ângulos for igual a 90° dizemos que são 
complementares e se a somo for 180° dizemos que são suplementares. Dois 
ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um forem semirretas 
opostas ao lado do outro. 
Propriedades de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas 
por uma transversal: 
 Ângulos correspondentes, alternos internos e alternos externos 
congruentes. 
 Ângulos colaterais suplementares. 
1.5 Soma dos ângulos internos de um polígono convexo 
A soma dos ângulos internos de um polígono é igual a 360°. 
1.6 Propriedades do quadrilátero 
 Qualquer paralelogramo os lados são opostos e congruentes. 
 Qualquer paralelogramo as diagonais corta-se ao meio. 
 Qualquer retângulo as diagonais são congruentes 
 Todo losango é uma paralelogramo. 
 No losango as diagonais são perpendiculares. 
 No quadrado as diagonais cortam-se ao meio e são perpendiculares. 
1.7 Teorema recíproco 
 Todo triângulo que tem dois ângulos congruentes é isósceles. 
 Em todo triângulo equilátero os ângulos internos são congruentes. 
 Todo triângulo equiângulo é equilátero. 
 Todo quadrilátero com lados opostos congruentes é um 
paralelogramo. 
20 
 
1.8 Construções com réguas e compassos 
É bastante utilizado para desenhos de figuras geométricas, o compasso se 
utiliza bastante para desenhar uma circunferência ou um círculo. O ideal é 
utilizar papel milimetrado ou caderno de desenho par fazer uso desse 
material. 
1.9 Construção de mediatriz e bissetriz 
1.10 Circunferência 
É o conjunto de pontos no contorno dos círculos. Seus elementos são: 
 Raio (r)- o segmente que une o ponto central a um ponto qualquer da 
circunferência. 
 Corda- é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência. 
 Diâmetro (D)- é o segmento que une dois pontos distintos passando 
pelo centro. 
 D=2r 
 Comprimento- π= 
𝑐
𝑑
 tamanho da circunferência. 
 
1.11 Secantes e tangentes 
Secante- Toca a circunferência em um único ponto. 
 
 
 
 
Tangente externa- possui um ponto em comum entre as duas 
circunferências. 
 
 
 
Tangente interna- uma circunferência está dentro da outra e possui um 
único ponto comum. 
 
 
 
 A mediatriz de qualquer corda passa pelo centro da circunferência. 
21 
 
 Qualquer tangente é perpendicular ao raio que possuir extremo no 
ponto da tangência, 
 Quando duas circunferências são tangentes, os seus centros e pontos 
de tangência estão todos em linha reta. 
 
1.12 Ângulos centrais 
É qualquer Ângulo que contém o vértice no centro. 
Obs: numa circunferência, ângulos centrais congruentes determinam cordas 
congruentes. 
1.13 Ângulos inscritos 
É aquele ângulo que possui vértice na circunferência e lados secantes a ela. 
Obs: os ângulos centrais medem o dobro dos ângulos inscrito que determina 
o mesmo arco, 
2. Triângulos 
2.1 Definição 
Chamamos de triangulo três retas que se encontram duas a duas e não 
passam por um mesmo ponto determinando uma região convexa no plano. 
Obs: para que o triângulo possa existir qualquer deve ser menor que a soma 
dos outros dois. 
2.2 Mediana, bissetriz e altura de um triângulo. 
Altura- -é o segmento de reta determinado por um vértice e pela reta suporte 
do lado oposto. 
Mediana- é o segmento determinado pelo vértice e pelo ponto médio do 
lado oposto. 
Bissetriz- é o segmento da reta determinado por um vértice e o lado oposto 
dividindo o ângulo interno ao meio. 
Obs: baricentro é o encontro das medianas, encentro encontro das bissetrizes 
e ortocentro encontro das alturas. 
 
2.3 Ângulo externo de um triângulo 
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual a soma das 
medidas dos ângulos internos não- adjacentes a ele, ou seja, somando dois 
ângulos internos não adjacentes temos um ângulo externo. 
22 
 
Obs: a bissetriz externa de um triângulo é gerada pela bissetriz de uns dos 
seus ângulos externos. 
 Todo ângulo externo de um triângulo é sempre maior que qualquer 
um dos internos não adjacentes. 
 A soma dos ângulos externos do triângulo vale 360°. 
 Obs: o maior Ângulo está oposto ao maior lado e o menor ângulo 
está oposto ao menor lado. 
2.4 Congruência de triângulo 
Dizemos que dois triângulos são congruentes quando possuírem a mesma 
medida. 
 Se dois triângulos são congruentes, então os três lados e ângulos de 
um são congruentes aos três lados e ângulos do outro. 
 Se dois triângulos possuírem três lados e três ângulos congruentes 
dizemos que eles são congruentes. 
2.5 Casos de congruência 
 LAL (Lado, Ângulo, Lado) - se dois triângulos possuírem 
respectivamente dois lados congruentes e o ângulo compreendidos 
entre eles forem congruentes dizemos que são congruentes. 
 ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) - se dois triângulos possuírem dois 
ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles forem 
congruentes então dizemos que são congruentes. 
 LLL (Lado, Lado, Lado) - se dois triângulos tem os três lados 
congruentes então eles são congruentes. 
 LLA0 (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) - se dois triângulos tem um 
lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto ao mesmo lado 
congruentes então são congruentes. 
2.6 Consequência da congruência 
 Em todo triângulo isósceles, ângulos da base são congruentes. 
 Se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então os lados 
opostos a esses Ângulos são congruentes. 
 Em todo triângulo isósceles, a bissetriz do ângulo do vértice é 
também a altura da mediana relativa ao lado opostas. 
 Todo triângulo equilátero é equiângulo. 
23 
 
2.7 Desigualdades de lados e Ângulos 
 Se dois ângulos de um triângulo são desiguais, então ao maior lado 
opõe-se o maior Ângulo. 
 Se dois ângulos de um triângulo são desiguais, então ao maior 
Ângulo opõe-se o maior lado. 
3. Paralelismos e perpendicularíssimo 
3.1 Retas coplanares 
Duas retas são coplanares quando estão contidas em um mesmo plano. 
 Duas retas paralelas quando são coplanares e não tem ponto em 
comum. 
 Duas retas são concorrentes quando possuir apenas um ponto em 
comum. 
 Duas retas são perpendiculares quando se encontram formando um 
ângulo de 90°, caso contrário chamamos de retas oblíquas. 
3.2 Propriedades do perpendicularíssimo 
 O segmento perpendicular de um ponto fora da reta é menor que 
qualquer reta obliqua. 
 Duas reatas obliqua afastadas igualmente do pé da perpendicular 
possuem a mesma medida. 
 Duas retas obliquas afastas desigualmente do pé da perpendicular 
possuem medidas diferentes e a que tem maior medida é aquela que 
estar mais afastada. 
3.3 Ângulos formados por duas retas coplanares e uma transversal 
 Correspondentes- estão situados do mesmo lado da transversal. 
 Alternos internos- estão situadas na região interna as coplanares e 
alternados em relação a transversal e não adjacente. 
 Alternos externos- estão situadas na região externa as coplanares e 
alternados em relação a transversal e não adjacente. 
 Colaterais internos- situados na região interna do mesmo lado da 
reta transversal. 
 Colaterais externos- situados na região externa do mesmo lado da 
reta transversal. 
 
24 
 
3.4 Propriedade do paralelismo 
 Quando duas retas coplanares cortadas por uma transversal 
possuírem ângulos correspondentes congruentes então elas são 
paralelas. 
 Obs: se duas retas coplanares são cortadas por uma transversal e 
ocorrer: 
i. Ângulos alternos internos congruentes. 
ii. Ângulos alternos externos congruentes. 
iii. Ângulos colaterais internos suplementares. 
iv. Ângulos colaterais externos suplementares 
Dizemos que são paralelas, 
3.5 Postulado dos ângulos ou de Euclides 
 Ângulos cujos lados são paralelos e do mesmo sentido são 
congruentes. 
3.6 Recíproca da propriedade do paralelismo 
 Se duas retas são paralelas e cortadas por uma transversal o Ângulo 
formado entre elas são congruentes. 
 Obs: se duas retas são cortadas por uma transversal,então: 
i. Os ângulos alternos internos são congruentes. 
ii. Os ângulos alternos externos são congruentes. 
iii. Os ângulos colaterais são suplementares. 
Obs: Quadriláteros é um polígono de quatro lados podendo ser 
convexo caso o segmento de reta estiver contida nele e côncavo 
se o segmento de reta não estiver inteiramente contida nele. Seus 
elementos são diagonais (segmento que une dois vértices não 
consecutivos), vértices, lado, lados opostos, ângulos internos e 
ângulos opostos. A soma de seus ângulos internos é igual a 360º. 
 Propriedades do paralelogramo- lados e ângulos 
opostos congruentes, ângulos consecutivos suplementares. 
 Tipos de trapézio- isósceles (lados não paralelos 
congruentes), retângulo (dois ângulos retos) e escaleno 
(lados não paralelos não congruentes). No trapézio o 
25 
 
segmento que une os pontos médios dos lados não 
paralelos é paralelo as bases para obter suas medida 
somamos a base e dividimos por dois. Se o trapézio for 
isósceles os ângulos da base são congruentes. 
 Polígonos convexos- a soma dos Ângulos internos de um 
hexágono vale 720°, de um pentágono vale 540°. 
Percebesse-se assim que para calcular a soma dos 
Ângulos internos de um polígono vale a seguinte fórmula 
s=(n-2)180 sendo n o número de lados. 
4. Posições relativas de uma reta a uma circunferência. 
4.1 Externa- não possui ponto tocando na circunferência. 
 
 
 
4.2 Tangente-toca a circunferência em apenas um ponto. 
 
 
 
4.3 Secante- toca a circunferência em dois ponto 
 
 
5. Posições relativas de uma reta a duas circunferências 
5.1 Secante- dois pontos em comum 
 
 
 
 
5.2 Não secante- não possui ponto em comum. 
 
 
 
 
26 
 
 
5.3 Tangente- possui apenas um ponto em comum. 
 
 
Obs: duas circunferências com o mesmo centro são chamadas de 
concêntricas e são congruentes. Quando as extremidades da circunferência 
coincidirem com o diâmetro chamaremos de semicircunferência. O ângulo 
cujo vértice estiver no centro da circunferência é chamado de ângulo central. 
A medida do Ângulo inscrito é igual à metade da mediada do arco 
correspondente 
9°Ano 
1. Noções de geometria 
Seno= 
𝑐𝑎𝑡𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 , cosseno=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 e 
tangente=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
Obs: a hipotenusa é o lado maior do triângulo. 
1.1 Razões trigonométricas (30°,45°,60°) 
Ângulos notáveis 
Razões trigonométricas 30° 45° 60° 
Seno 𝟏
𝟐
 
√𝟐
𝟐
 
√𝟑
𝟐
 
Cosseno √𝟑
√𝟐
 
√𝟐
𝟐
 
𝟏
𝟐
 
Tangente √𝟑
𝟑
 
1 √3 
 
 
 
 
27 
 
1.2 Aplicações das razões trigonométricas 
 Cálculo da distância a um ponto não acessível 
 x C 
 
 
 A d B 
Â= sendo o Ângulo reto 
X= ponto conhecido da outra margem 
AB=d = distância conhecida 
Tangente do ângulo b =
𝐴𝑋
𝐴𝐵
=
𝑝𝑜𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑟𝑔𝑒𝑚
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎
 
 Calculo da altura de um objeto 
A mesma fórmula do anterior. 
2. Semelhança de triângulo 
2.1 Definição 
Dois triângulos são semelhantes quando possuírem ângulos 
respectivamente congruentes e lados proporcionais congruentes. 
Propriedades: 
 Reflexiva- 
▲ ABC ~ ▲ ABC 
 Simétrica- 
▲ ABC ~ ▲DEF então ▲ DEF~ ▲ ABC 
 Transitiva 
▲ ABC ~ ▲DEF e ▲ DEF ~ ▲ MNP então ▲ ABC ~ ▲MNP 
 Teorema fundamental da semelhança- se uma reta paralela a um 
dos lados do triângulo intercepta os outros dois lados em pontos 
distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao 
primeiro. 
28 
 
 
2.2 Lema 
Toda paralela que um lado do triângulo intersecciona os outros lados 
do outro triângulo forma um triângulo semelhante. 
2.3 Casos de semelhanças 
 Caso 1 – dois triângulos que possuírem dois ângulos congruentes são 
semelhantes. 
 Caso 2- dois triângulos que tenham dois lados proporcionais 
respectivamente determinando ângulos congruentes são semelhantes. 
 Caso 3- dois triângulos que possuírem os lados ordenadamente 
proporcionais são semelhantes. 
2.4 Razão de semelhança 
A razão de semelhança de dois triângulos semelhantes ABC A’B’C’ 
é igual a razão de semelhança de qualquer um dos seus lados 
homólogos, ou seja: 
𝑇
𝑇′
=
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
 
3. Relações métricas do triângulo retângulo 
3.1 Projeção ortogonal (Po) 
Dado à reta r e um ponto P chamado de projeção sobre essa reta, 
chamamos de projeção ortogonal Po o pé da perpendicular 
baixado de P até essa reta. 
3.2 Relações métricas 
 Primeira relação – em todo triângulo retângulo, o 
produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa 
pela sua altura relativa, ou seja: b.c = a.h 
 Segunda relação-em todo triângulo retângulo a altura 
relativa a hipotenusa é a média proporcional entre os 
segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, ou 
seja: h²=m.n. 
 Terceira relação- em todo triângulo retângulo, cada 
cateto é a média proporciona l entre a hipotenusa e a 
projeção desses catetos sobre a hipotenusa, ou seja: 
b²= a.n , c²= a.m 
29 
 
3.3 Aplicações do teorema de Pitágoras 
Podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura do triângulo 
equilátero e a diagonal do quadrado. Sendo h a altura e l o lado temos: 
ℎ =
𝑙√𝟑
2
 Para encontrar a altura do triângulo equilátero e d = √2 para calcular a 
diagonal do quadrado. 
Obs: esse teorema nos diz que a hipotenusa ao quadrado é soma 
dos quadrados de seus catetos. 
4. Relações métricas em um triângulo qualquer 
4.1 Relações métrica 
 Primeira relação- O quadrado do lado oposto a um 
ângulo agudo de um triângulo qualquer é igual a soma 
dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes 
o produto de um dos lados pela sua projeção, ou seja,: 
a²= c²+b² -2bm, considera-se m como sendo a 
projeção. 
 Segunda relação- O quadrado do lado op a um 
ângulo obtuso de um triângulo qualquer é igual a 
soma dos quadrados dos outros dois lados mais duas 
vezes o produto de um dos lados pela sua projeção, ou 
seja, a²= c²+b² +2bm, considera-se m como sendo a 
projeção. 
 Terceira relação Lei dos senos- em todo triângulo, as 
medidas dos lados são proporcionais aos senos dos 
ângulos opostos, ou seja: 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑎
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝑏
. 
 Quarta relação Lei dos cossenos- em todo triângulo, 
o quadrado da medida de um dos lados é igual a soma 
dos quadrados das medidas dos outros dois lados 
menos duas vezes o produto das medidas desses dois 
lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado, 
ou seja; 
a²= b²+c²- 2bc cos a 
b²= a²+c²- 2ac cos b 
c²= a²+b²- 2ab cos c 
30 
 
4.2 Natureza 
a² = b²+c² temos um triângulo retângulo 
a² > b ²+c² temos um triângulo obtusângulo 
a² < b²+c² temos um triângulo ocutângulo. 
5. Relações métricas nos polígonos inscritos na circunferência 
5.1 Potência de um ponto em relação a uma 
circunferência 
Chamamos de potência de P em relação ao produto das 
medidas dos segmentos PA e PB denotado por Ᵽ. Sendo 
A e B os pontos que uma reta qualquer contenha P 
intercepta a circunferência, sendo assim, temos: 
𝑃𝐴′
𝑃𝐴
=
𝑃𝐵′
𝑃𝐵
 
 Quando P é externo temos: PA.PB= PC. PD 
 Quando P é interno temos que o produto é igual a 
0 pois PA=PC. 
5.2 Relações métricas na circunferência 
 Primeira relação (secante- secante) - quando 
temos duas retas secantes interceptando a 
circunferência então: PA.PB=PA’.PB’ e o ponto P 
é externo. 
 Segunda relação (corda-corda) - o ponto P é 
interno e temos também a seguinte relação: 
PA.PB=PA’.PB’ 
 Terceira relação -(secante- tangente)- 
(PT)²=PA.PB 
 Quarta relação (potência de um ponto em 
relação a circunferência) – pot (p)=d²-r². Sendo d 
a distância e r o raio. 
5.3 Quadriláteros inscritos na circunferência 
Se um quadrilátero é tal que: PA.PC=PB.PD, sendo P o encontro das duas 
diagonais AC e BD então esses quadriláterosé inscritível numa circunferência. 
 
31 
 
5.4 Quadriláteros circunscritos na circunferência 
Se um quadrilátero é tal que: PA.PC=PB.PD, não sendo P o encontro das duas 
diagonais AC e BD então esses quadriláteros é circunscritível numa circunferência. 
5.5 Polígonos regulares 
É aquele polígono que possui os lados e os Ângulos todos 
congruentes. 
 Obs: o centro de um polígono regular é igual ao 
centro da circunferência podendo estar inscrito ou 
circunscrito, ou seja por dentro ou por fora. 
 Para encontramos a soma de seus ânglos internos 
usaremos a seguinte fórmula 𝑖 =
(𝑛−2).180°
𝑛
, 
considere n como sendo o número de lados. 
 Seus elementos são: centro (é o mesmo centro da 
circunferência), raio (é o mesmo raio da 
circunferência), apótema, ângulo interno (dois 
lados contém dois lados consecutivos) e ângulo 
central (distância do centro a cada um dos lados). 
 Para encontrar o Ângulo central temos: ac=
360°
𝑛
 
 Para encontrarmos o valor do seu Ângulo basta 
pegar o resultado da somo dos ângulos internos e 
dividir pela o número de lados, ou seja: 
α =
𝑖
𝑛
. 
5.6 Cálculo de lados e apótema dos polígonos regulares 
Apótema- é o segmento de reta perpendicular a um dos 
lados dos polígonos e determinando o centro do polígono, 
ou seja a distância do centro de cada um dos lados. 
Segue no quadro abaixo a fórmula para cálculos de lados 
e apótemas. 
 
 
 
32 
 
Polígono inscrito Lado Apótema 
Quadrado L4= r√2 A4=
r√2
2
 
Hexágono L6= r A6=
r√3
2
 
Triângulo L3= r√3 A3=
𝑟
2
 
 
5.7 Comprimento da circunferência 
C= 2πr A= πr² 
Obs: a corda de uma circunferência é um segmento em 
que as extremidades pertencem à circunferência. 
5.8 Comprimento de um arco da circunferência 
L1°=
𝛼𝜋𝑟
180°
 
 Obs: o perímetro do polígono regular inscrito 
cresce quando o número de lado é menor que o o 
comprimento da circunferência e decresce quando 
o número de lados for maio que o comprimento, 
ou seja: 2p< c, 2p > c. 
 As medidas da circunferência em graus são 
diferentes proporcionais ao seu comprimento, ou 
seja:
360°
𝑔
=
2𝜋𝑟
𝑙
 sendo g a medida do arco em graus 
e l a medida do arco em unidade de comprimento. 
 1 radiano (rad) = 180° e é denotado por π. 
Usaremos essa relação pra transformar de graus 
pra radiano e vice versa. 
6. Áreas de figuras planas 
6.1 Extensão 
Uma figura plana possui área quando obedece a 
seguinte relação: 
 α≥ 0 
6.2 Retângulo 
É a base multiplicada pela altura. A= b.h 
 
33 
 
6.3 Quadrado 
É o lado ao quadrado. A= l² 
6.4 Paralelogramo 
É a medida da base pela altura. A=b.h 
6.5 Triangulo 
É a medida da base pela altura e dividido por 2. A= 
𝒃𝒉
𝟐
 
Obs: podemos utilizar para encontrarmos o perímetro 
do triângulo quando conhecemos os lados a seguinte 
fórmula: SABC=√𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) essa 
fórmula é conhecida como fórmula de Heron. 
6.6 Losango 
A área do losango É o semiproduto das medidas da 
diagonais ou seja, multiplica-se as diagonais e divide 
por dois: A= 
1
2
.d.d’ sendo d a diagonal. 
6.7 Trapézio 
A área do trapézio é igual ao produto da semi- soma 
das medidas da base pela medida da altura, ou seja: 
A=
𝑏+𝑏′
2
h 
6.8 Polígonos regulares 
Para encontrar a área dos polígonos regulares é 
preciso decompor os lados dos triângulos congruentes 
entre si e depois somar o resultados das áreas obtidas 
em cada triângulo. 
Obs sendo a a apótema e P seu semicomprimento a 
área desse polígono será dado por: 
S=P.a 
Medida do Ângulo externo-αi=
𝑠
𝑛
 medida do ângulo 
externos αe=
360°
𝑛
 
6.9 Círculo 
A área do círculo é igual o produto do quadrado do 
raio pelo número π, ou seja: 
A= Πr² 
34 
 
6.10 Setor circular 
A área do setor circular é igual ao semiproduto do 
comprimento do arco pelo o raio do círculo no qual o 
setor está inscrito, 
Setor no qual o círculo está inscrito = 
𝑙√𝐴𝐵𝑟
2
 . A= 
𝜋𝑟²𝛼
360
 
6.11 Coroa circular 
Também conhecida como coroa circular. Para encontramos sua área é preciso realizar a 
diferença entre as áreas do círculo circunscrito pelo o círculo inscrito, assim 
Coroa circular=πr
2 
raio do círculo circunscrito- πr
2
raio do círculo inscrito