Prova AV1 e AV2 calculo numerico

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Exercícios 1 
1 - O sistema de numeração de base dois é também conhecido como sistema de numeração 
binário, em que são utilizados os símbolos: zero (0) e um (1), que são traduzidos por: (1) 
"passa corrente", (0) "não passa corrente". Este sistema de numeração é utilizado 
principalmente em computadores, para se comunicarem, facilitando o trabalho de estocagem, 
organização e difusão de informações. Exemplo: nas caixas de discos magnéticos, vêm 
impressas informações referentes aos cuidados básicos e necessários a serem tomados, 
quanto ao manuseio e estocagem dos referidos discos. Assinale a alternativa CORRETA que 
efetua a mudança de base do número 151 para a base dois: 
 
Somente a alternativa II está correta. 
Somente a alternativa IV está correta. 
Somente a alternativa I está correta. 
Somente a alternativa III está correta. 
2 - No campo das ciências exatas, os sistemas de equações são utilizados na organização de 
informações, que são agrupadas em linhas e colunas, formando agrupamentos retangulares, 
chamados de matrizes. Estas matrizes, em geral, são tabelas de dados numéricos oriundos de 
observações físicas que ocorrem em vários contextos das diversas áreas do conhecimento, 
como: Matemática, Física, Química, Engenharia etc. Na sequência, será apresentado um 
estudo de caso envolvendo uma empresa que trabalha com a realização de eventos festivos: 
 
O sr. Geraldo pertence ao grupo de empresários que atuam no ramo de organização de 
eventos. Segundo o sr. Geraldo, os eventos festivos movimentam bilhões de reais por ano e, 
nesse caso, pedir ajuda para um especialista é investir para não ficar estressado. De acordo 
com a opinião do sr. Geraldo, prestar uma consultoria completa para que os clientes não 
fiquem perdidos em meio a tantas ofertas e detalhes não é mais uma novidade no mercado de 
serviços. A GL Organização de Eventos entra em jogo para organizar os custos de cada cliente 
e para apresentar fornecedores, centralizar contratos, negociar pagamentos etc. Minutos antes 
do evento, a empresa certifica-se de que todas as encomendas chegaram (das flores aos 
doces), cuida da organização e da festa. O sr. Geraldo e toda sua equipe adoram esse 
trabalho, tendo em vista que a recompensa de ver o evento animado, o cliente feliz, não tem 
preço. É dessa forma que cada evento é feito sob medida, com atendimento personalizado, 
flexibilidade e organização, tudo para que o sonho se torne realidade. Em contato com o sr. 
Geraldo, foi possível obter informações referentes aos seguintes eventos: festa de batizado, 
debutantes e casamento. Os gastos por evento estão relacionados na tabela a seguir: 
 
O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de R$80.000,00. E o 
casamento tem o valor de R$60.000,00. 
O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de R$75.000,00. E o 
casamento tem o valor de R$60.000,00. 
O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de R$75.000,00. E o 
casamento tem o valor de R$65.000,00. 
O batizado tem o valor de R$35.000,00. Os debutantes tem o valor de R$70.000,00. E o 
casamento tem o valor de R$65.000,00. 
3 - O modelo matemático para uma situação-problema deve representar de forma eficiente o 
fenômeno que está ocorrendo no mundo físico. Normalmente, isso exige simplificações no 
modelo físico para que se possa obter um problema matemático viável de ser resolvido. O 
processo de simplificação é, inevitavelmente, uma fonte de erros, o que pode, ao final da 
resolução do problema, implicar na necessidade de reconstruir o seu modelo. Baseado nos 
tipos de erros que podem ocorrer durante o processo de resolução numérica de uma situação-
problema, analise as seguintes sentenças: 
 
I- Os erros de modelagem podem ser evitados, desde que se faça a escolha correta do modelo 
matemático a ser adotado. 
II- Os erros de arredondamento e os erros de truncagem surgem durante o processo de 
resolução numérica do problema. 
III- A propagação dos erros se deve ao fato de um ou mais erros cometidos durante o processo 
ser carregado até o final, interferindo nos cálculos intermediários. 
IV- A classificação dos tipos de erros pode ser diferente, dependendo da forma como a 
situação-problema é analisada. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As sentenças III e IV estão corretas. 
As sentenças I e II estão corretas. 
As sentenças I e IV estão corretas. 
As sentenças II e III estão corretas. 
 
4 - Equação fracionária é aquela que possui, pelo menos, um termo que é uma fração 
algébrica, ou seja, pelo menos um termo que apresente incógnita no denominador. Com 
relação à equação fracionária a seguir, o que podemos afirmar? 
 
Possui mais de duas raízes. 
Possui duas raízes complexas. 
Possui duas raízes reais iguais. 
Possui duas raízes reais distintas. 
5- Os sistemas lineares de pequena dimensão raramente são resolvidos através das técnicas 
iterativas, a não ser que o tempo requerido para uma exatidão suficiente exceda o tempo 
requerido por técnicas diretas, como o método de eliminação de Gauss. No entanto, para 
grandes sistemas que exigem a mais baixa porcentagem de erros, estas técnicas são 
eficientes em termos de armazenamento de informações no campo da computação. Os 
sistemas lineares com estas características, frequentemente, surgem na realização da análise 
de circuito, nas soluções numéricas de problemas de fronteiras e nas equações diferenciais 
parciais. Efetue o cálculo a seguir e, segundo o critério de linhas, método de Jacobi, verifique o 
sistema linear dado pelas equações. 
 
 
O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida. 
O sistema é convergente e divergente ao mesmo tempo. 
O sistema não satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida. 
O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência garantida. 
6 - Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um 
conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de 
variáveis. Sobre sistemas lineares, estudamos em Álgebra Linear um método de resolução, e 
agora aprendemos mais algumas formas de encontrar sua solução. Com relação a este 
assunto, associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- Método Iterativo. 
II- Método Direto. 
 
( ) Fatoração LU. 
( ) Método de Jordan. 
( ) Método de Gauss-Siedel. 
( ) Método de Cramer. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
II - I - II - I. 
I - II - II - I. 
I - II - I - I. 
II - II - I - II. 
7 - Gabriel Cramer foi um matemático suíço, sendo famosa a regra para solução de sistemas 
de equações lineares que tem o seu nome, a regra de Cramer. A regra ou método de Cramer 
consiste em encontrar a solução do sistema linear A.X = B através de determinantes. Neste 
contexto, para o sistema a seguir, assinale a alternativa CORRETA: 
 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
8 - A equação fracionária diferencia-se das demais equações pelo fato de que pelo menos um 
dos termos é uma fração algébrica, isto é, a incógnita aparece no denominador de uma fração. 
Sabendo que uma fração jamais pode ter denominador zero, devemos sempre analisar os 
denominadores para verificar em quais casos a equação não é definida. Sobre as equações 
reais fracionárias, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) As equações reais fracionárias são, na verdade, equações reais de segundo grau. 
( ) O maior expoente que aparece em uma equação real fracionária determina seu grau. 
( ) As equações reais fracionárias podem ter raízes complexas. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
V - V - F. 
F - F - V. 
V - F - V. 
F - V - F. 
9 - Estamos acostumados a trabalhar no Cálculo Numérico com variáveis que podem assumir 
valores reais. Porém, em algumas aplicações naengenharia, principalmente na teoria das 
ondas eletromagnéticas, é necessária a aplicação de valores imaginários (complexos), daí a 
necessidade da implementação dos Sistemas Lineares Complexos. Neste sentido, sobre os 
Sistemas Lineares Complexos, assinale a alternativa CORRETA: 
Podem ser reduzidos a sistemas lineares reais, com o dobro de equações e incógnitas. 
Se o número complexo z for uma solução, seu conjugado também será. 
Exigem métodos próprios de resolução. 
Apenas possuem como soluções números reais. 
10 – Para que uma equação do segundo grau apresente como raízes apenas números 
complexos, o discriminante deve ser negativo. Dada a equação x² - 6x + 3t = 0, determine o 
valor de t para que a equação tenha como raízes apenas números complexos e assinale a 
alternativa CORRETA: 
t < -3. 
t < 3. 
t > 3. 
t > -3. 
 
Exercícios 2 
1 - No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria 
à prática, os logaritmos são trabalhados em diversas áreas do conhecimento. O trabalho com 
uma função logarítmica tem como objetivo facilitar os cálculos, bem como ampliar os 
conhecimentos em assuntos específicos, como: a) na Química, quando o trabalho envolve 
radioatividade, para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa é 
utilizada a fórmula: Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q representa a massa da substância, qº a 
massa inicial, r a taxa de redução da radioatividade e a variável t o tempo. Equações com essa 
tipologia podem ser resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos; b) no ano de 1935, os 
sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram uma escala para 
quantificar o nível de energia liberada por um sismo. A escala Richter, que também é 
conhecida por escala de magnitude local, é uma função logarítmica. Assim, é possível 
quantificar em Joules a quantidade de energia liberada por um movimento tectônico; c) na 
Medicina, quando é ministrado um tratamento, o paciente recebe o medicamento, que entra na 
corrente sanguínea, que passa por órgãos como fígado e rins. Neste caso, é possível obter o 
tempo necessário para que a quantidade desse medicamento presente no corpo do paciente 
seja menor ou maior que uma determinada quantidade, e para isso é necessário trabalhar com 
uma equação logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma margem de erro menor ou 
igual a (0,1), calcule o valor aproximado da função: f(x) = x.log(x+1) - 2, sabendo que a função 
tem apenas uma raiz real, que está contida no intervalo. 
 
 
A função tem sua raiz real em 3,25. 
A função tem sua raiz real em 3,3. 
A função tem sua raiz real em 3,2. 
A função tem sua raiz real em 3,5. 
2 - O método de Lagrange é um dos métodos de interpolação linear que estudamos. Com base 
neste método e utilizando os dados a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
polinômio: 
 
A opção II está correta. 
A opção IV está correta. 
A opção I está correta. 
A opção III está correta. 
3 - Às vezes, torna-se difícil encontrar graficamente os zeros de uma função f. Nesses casos, 
vimos que uma alternativa é tentar separar f em duas funções, g e h, mais simples, sob certas 
condições, cujos gráficos conseguimos traçar. Os zeros de f são exatamente os pontos em 
que: 
As funções g e h se anulam. 
As funções g e h se interceptam. 
As funções g e h interceptam o eixo X. 
As funções g e h interceptam o eixo Y. 
4 - Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de 
Lagrange) é o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos. Com os dados no quadro a 
seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o polinômio interpolador obtido via 
método de Lagrange para a função a seguir: 
 
0,9845x² + 0,6125x + 1. 
0,9845x² + x + 0,6125. 
0,6125x² + 0,9845x + 1. 
x² + 0,9845x + 0,6125. 
5 - Em matemática, denomina-se interpolação linear o método de interpolação que se utiliza de 
uma função linear f(x) (um polinômio de primeiro grau) para representar, por aproximação, uma 
suposta função f(x), que originalmente representaria as imagens de um intervalo descontínuo 
contido no domínio de f(x). Portanto, pela interpolação linear é possível determinar o valor da 
função para um ponto intermediário entre dois pontos distintos. Assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta um enunciado coerente com este contexto: 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (0,1) e (2,9). Determine aproximadamente o valor de 
f(1). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (0,1) e (1,2). Determine aproximadamente o valor de 
f(7). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (2,4) e (4,5). Determine aproximadamente o valor de 
f(5). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (1,3) e (2,9). Determine aproximadamente o valor de 
f(3). 
6 - As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e 
constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem 
o nome de polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,6x² + 0,9x + 1, determine seu valor para x = 
0,4 e assinale a alternativa CORRETA: 
1,6. 
1,324. 
2,104. 
1,456. 
7 - Um dos métodos de resolver um sistema linear é por meio da interpolação de Lagrange. De 
acordo com os dados no quadro a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
polinômio interpolador obtido via método de Lagrange para a função f(x) = ln x: 
 
- 0,9807x² + 1,1245x - 0,1438. 
1,1245x² - 0,9807x - 0,1438. 
1,1245x² - 0,1438x - 0,9807. 
- 0,1438x² + 1,1245x - 0,9807. 
8 - Raiz de uma função consiste em determinar pontos de intersecção da função com o eixo 
das abscissas. Para determinarmos as raízes de uma função f, além do método gráfico, 
podemos aplicar algum método numérico. Neste contexto, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Os métodos numéricos nos fornecem com exatidão a raiz da função f pertencente a um dado 
intervalo, desde que ela exista. 
II- Antes de aplicar um método numérico, precisamos definir o erro máximo que estamos 
dispostos a aceitar. 
III- O valor que o método numérico escolhido retornar é uma aproximação para a raiz da função 
f. 
IV- O valor encontrado para a raiz de f independe do método numérico escolhido. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As sentenças II e III estão corretas. 
As sentenças I e II estão corretas. 
As sentenças I e IV estão corretas. 
As sentenças III e IV estão corretas. 
9 - A matemática fornece métodos formais que permitem a determinação exata das raízes de 
uma função em diversos casos. Os métodos mais conhecidos permitem a determinação das 
raízes de polinômios de até quarto grau, ou grau maior em certas condições. Em muitas 
situações, a resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas 
em casos resolvíveis através dos métodos conhecidos. Sobre zeros de funções, classifique V 
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Chamamos de zero de uma função f ao ponto f(0). 
( ) Zero de uma função e raiz de uma função são nomes diferentes para o mesmo conceito. 
( ) Toda função real possui pelo menos um zero. 
( ) Toda função polinomial real tem, pelo menos, um zero. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - F - F. 
V - F - V - V. 
F - F - V - F. 
V - V - F - V. 
10 - Existem várias formas de interpolar uma função. Cada uma delas requer habilidades de 
reconhecimento dos dados oferecidos, para em seguida obter-se o método mais adequado. 
Uma das formas mais rápidas de obtermos uma interpolação polinomial é o método de Newton. 
Com base na interpolação polinomial de Newton, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Utiliza um número menor de operações em relação ao método de Lagrange. 
II- Depende da construção de uma tabela de diferenças divididas finitas (DDF). 
III- É eficiente quando, para o mesmo conjunto de valores de x, queremos interpolar duas 
funções distintas. 
IV- É utilizado quando estamos interessados no valor de f em apenas um ponto x.Assinale a alternativa CORRETA: 
As sentenças I e II estão corretas. 
As sentenças III e IV estão corretas. 
As sentenças I e III estão corretas. 
As sentenças II e IV estão corretas.