Lista 04 - Cálculo II

Prévia do material em texto

Lista 04 – Cálculo II (Prof. Dr. Caritá) 
1) Verifique se a função dada é uma solução para a equação 
diferencial 
a) 𝑦′ + 4𝑦 = 32 ; 𝑦 = 8 
b) 2𝑦′ + 𝑦 = 0 ; 𝑦 = 𝑒−
𝑥
2 
c) 𝑦′ = 25 + 𝑦2 ; 𝑦 = 5 𝑡𝑔(5𝑥) 
d) 𝑦′ −
1
𝑥
 𝑦 = 1 ; 𝑦 = 𝑥 ln(𝑥) , 𝑥 > 0 
e) 𝑦′′′ − 𝑦′′ + 9𝑦′ − 9𝑦 = 0 ; 𝑦 = 𝑘1 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑘2 cos(3𝑥) + 4𝑒
𝑥 
f) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑦 = 0 ; 𝑦 = 𝑒2𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥 
g) 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 1 ; 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
∫ 𝑒𝑡
2
𝑑𝑡 + 𝑘. 𝑒−𝑥
2𝑥
0
 
 
2) Encontre valores de 𝑚 para que 𝑦 = 𝑥𝑚 seja uma solução de 
𝑥2𝑦′′ − 𝑦 = 0. 
 
3) Considere a equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑦2 
a) Determine uma região do plano 𝑥𝑦 tal que a equação tenha uma 
única solução passando por um ponto (𝑥0, 𝑦0) da região 
b) Formalmente, mostre que 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥) satisfaz a equação 
diferencial e a condição 𝑦(0) = 0 
c) Explique por que 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥) não é uma solução para o problema 
de valor inicial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑦2 com 𝑦(0) = 0 no intervalo ] − 2,2[ 
d) Explique por que 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥) é uma solução para o problema de 
valor inicial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑦2 com 𝑦(0) = 0 no intervalo ] − 1,1[ 
 
4) Resolva por separação de variáveis 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 
b) 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1+2𝑦2
𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
c) 𝑥2𝑦2𝑑𝑦 = (𝑦 + 1)𝑑𝑥 
d) 
𝑑𝑆
𝑑𝑟
= 𝑘𝑆 
e) sec(𝑥) 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑦)𝑑𝑥 
f) (𝑦 − 𝑦𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑦 + 1)2 
Rectangle
FreeText
ECA - Prof Antonio C.
Stamp
g) (𝑒−𝑦 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = (1 + cos (𝑥))𝑑𝑦 com 𝑦(0) = 0 
h) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑡𝑦 = 𝑦 com 𝑦(1) = 3 
 
5) Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique 
um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso. 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 5𝑦 
b) (1 + 𝑒𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒𝑥𝑦 = 0 
c) (1 − 𝑥3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2𝑦 
d) 𝑥2𝑦′ + 𝑥(𝑥 + 2)𝑦 = 𝑒𝑥 
e) 𝑦′ + 𝑡𝑔(𝑥)𝑦 = cos2(𝑥) com 𝑦(0) = −1 
f) 𝑥𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 2𝑦 − 2𝑒−𝑥)𝑑𝑥 = 0 com 𝑦(1) = 0 
 
6) Encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação 
diferencial e a condição inicial dada. (Lembre-se que a solução 𝑦 
deve ser contínua!) 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑓(𝑥) em que 𝑓(𝑥) = {
1 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 , 𝑥 > 1
 e 𝑦(0) = 0 
b) (1 + 𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥) em que 𝑓(𝑥) = {
𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < 1
−𝑥 , 𝑥 ≥ 1
 e 
𝑦(0) = 0 
 
7) Verifique se a equação é exata e, se for, resolva. 
a) (2𝑥 − 1)𝑑𝑥 + (3𝑦 + 7)𝑑𝑦 = 0 
b) (1 + ln(𝑥) +
𝑦
𝑥
) 𝑑𝑥 = (1 − ln(𝑥))𝑑𝑦 
c) (5𝑦 − 2𝑥)𝑦′ − 2𝑦 = 0 
d) (1 − 2𝑥2 − 2𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥3 + 4𝑥𝑦 
e) (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 + 6𝑦)𝑑𝑦 = 0 
f) (𝑡𝑔(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦))𝑑𝑥 + cos(𝑥) cos(𝑦) 𝑑𝑦 = 0 
g) (𝑒𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (2 + 𝑥 + 𝑦𝑒𝑦)𝑑𝑦 = 0 com 𝑦(0) = 1 
h) (𝑦2 cos(𝑥) − 3𝑥2𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥 + (2𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥3 + ln(𝑦))𝑑𝑦 = 0 
com 𝑦(0) = 𝑒 
 
 
8) Verifique que as seguintes equações não são exatas. Transforme-as 
em exatas através de um fator integrante e encontre as soluções. 
a) (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑦 = 0 
b) 6𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥2)𝑑𝑦 = 0 
 
9) Mostre que qualquer equação diferencial separável de primeira 
ordem na forma ℎ(𝑦)𝑑𝑦 − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 0 é também exata. 
 
10) Resolva as equações por meio de uma substituição 
apropriada. 
a) 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 =
1
𝑦2
 
b) (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦2 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− (𝑥 + 𝑦 + 1)2 = 0 
e) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑡𝑔2(𝑥 + 𝑦) 
f) (𝑦2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = 0 
 
11) Prove que é sempre possível expressar qualquer equação 
diferencial homogênea 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 na forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐹 (
𝑦
𝑥
) 
 
12) A equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑦 + 𝑅(𝑥)𝑦2 é 
conhecida como Equação de Ricatti. 
a) Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas 
substituições em sequência desde que conheçamos uma solução 
particular 𝑦1 da equação. O processo, para isso, é o que segue: 
 A substituição 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢 transforma a equação de Ricatti 
em uma equação de Bernoulli com 𝑛 = 2. 
 A equação de Bernoulli, por sua vez, pode então ser 
reduzida para uma equação linear pela substituição 
𝑤 = 𝑢−1. 
Sendo assim: 
I. Mostre que, de fato, a substituição 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢 reduz a 
equação de Ricatti para uma equação de Bernoulli com 
𝑛 = 2. 
II. Mostre que a consecutiva substituição 𝑤 = 𝑢−1, por sua 
vez, transforma a equação de Bernoulli em uma equação 
linear da seguinte forma: 
𝑑𝑤
𝑑𝑥
+ (𝑄(𝑥) + 2𝑅(𝑥)𝑦1)𝑤 = −𝑅(𝑥) 
b) Ache uma família de soluções a um parâmetro para a equação 
diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
4
𝑥2
−
1
𝑥
𝑦 + 𝑦2, onde 𝑦1 =
2
𝑥
 é uma solução 
conhecida da equação. 
 
13) Em uma cultura, há inicialmente 𝑃0 bactérias. Uma hora 
depois, 𝑡 = 1, o número de bactérias passa a ser 
3
2
𝑃0. Se a taxa de 
crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes 𝑃(𝑡) 
no instante 𝑡, determine o tempo necessário para que o número de 
bactérias triplique. 
 
14) Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 
300°F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200°F. A 
temperatura do ambiente externo é de 70°F. Quanto tempo levará 
para o bolo resfriar até 100°F? 
 
15) O modelo 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃, onde 𝑘 > 0 é chamado de lei 
malthusiana (ou lei exponencial) para o crescimento de uma 
população 𝑃(𝑡). Ele nos diz que a taxa na qual uma população 
cresce em um determinado instante é proporcional a população 
total naquele instante. Este é o modelo mais simples utilizado para 
o estudo de crescimento populacional e sua eficiência é maior para 
populações pequenas. Usando a lei malthusiana, estime a 
população norte-americana em função do tempo, sabendo que em 
1790 a população dos Estados Unidos era de 3,93 milhões e em 
1890 era de 62,98 milhões. 
 
16) Em um modelo de variação populacional 𝑃(𝑡) de uma 
comunidade, é suposto que 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑁
𝑑𝑡
−
𝑑𝑂
𝑑𝑡
, em que 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
 e 
𝑑𝑂
𝑑𝑡
 são as 
taxas de nascimento e de óbito, respectivamente. 
a) Resolva para 𝑃(𝑡) se 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝑘1𝑃 e 
𝑑𝑂
𝑑𝑡
= 𝑘2𝑃 
b) Analise os casos: 
I. 𝑘1 > 𝑘2 
II. 𝑘1 = 𝑘2 
III. 𝑘1 < 𝑘2 
 
17) Outro modelo famoso para o crescimento populacional é a 
equação logística, dada por 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃(𝑎 − 𝑏𝑃), onde 𝑎 e 𝑏 são 
constantes positivas. Encontre uma expressão para 𝑃(𝑡) levando 
em conta que a equação logística é uma equação de Bernoulli.