GRA1594 CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - atividade 2

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Usuário FRANCISCO WAGNER SABOIA DA SILVA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-
8769.04
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 22/02/21 20:43
Enviado 24/02/21 19:44
Status Completada
Resultado da
tentativa
9 em 10 pontos  
Tempo decorrido 47 horas, 0 minuto
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis 
 temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados
  pertencentes ao plano  que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para
determinar o domínio da função  precisamos verificar se não há restrições para os valores
que  e  podem assumir. 
  
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
  
  
O domínio da função  é o conjunto .
O domínio da função  é o conjunto 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os
valores de  e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 2
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções das variáveis
  e , isto é,  e . A derivada da função  com relação à
variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de 
 com relação à variável  é obtida por meio da expressão . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
  com relação às variáveis  e , sabendo que  e . 
  
  
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada
parcial de  com relação a  é: . Já a derivada parcial de 
 com relação a  é: .
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a
função  o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o
vetor gradiente da função  no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão
 . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função  no ponto
 . 
  
  
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De modo simpli�cado, temos que o
vetor gradiente da função  é dado por , sendo suas derivadas parciais dadas por
 e . Assim, .
Pergunta 4
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo
0 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas
variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e
a variável dependente. Sabemos que podemos escrever . Se  e
  e . 
  
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
  
  
As variáveis  e  são as variáveis independentes.
As variáveis  e  são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável  depende das variáveis  e ,
pois . No entanto, as variáveis  e  dependem das variáveis  e  e essas últimas não
possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis  e
 são as variáveis independentes.
Pergunta 5
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu
domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis 
, precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. 
  
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
II. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
 
  
III. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
  
  
I, apenas.
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Veri�cando as restrições para a função, temos que
apenas a a�rmativa I é verdadeira, pois: 
A�rmativa I: Correta. A função  tem as seguintes restrições  e
, portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região dada na a�rmativa.
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da
variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o
domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no
caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o
denominador. 
  
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
  
I - O domínio da função  é o conjunto . 
II - O domínio da função  é o conjunto . 
III - O domínio da função  é o conjunto . 
IV - O domínio da função  é o conjunto . 
  
  
  
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função,
concluímos que: 
A�rmativa I: Correta. O domínio da função  é o conjunto
. 
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função  é o conjunto
.
Pergunta 7
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso,
a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor
que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
seguinte situação: O potencial elétrico num ponto  do espaço tridimensional é expresso
pela função . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de
variação do potencial elétrico  no ponto . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico
ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, 
Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e sua norma é
, temos que a direção procurada é
.
Pergunta 8
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
Suponha que  seja uma função diferenciável de  e , tal que . No entanto,  e
  são funções de  expressas por  e . Para se obter a derivada de  com
relação a variável  devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de  em
relação a , isto é, , para quando . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que ,
onde . Assim,
. Dado que , temos
.
Pergunta 9
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções da variável ,
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio da
regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que
precisamos das derivadas parciais da função  com relação às variáveis  e  e precisamos das
derivadas das funções  e  com relação à variável . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
  com relação à variável , sabendo que  e . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: ,
,  e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da
derivada desejada: . Trocando as
expressões de  e  temos
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto
pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível  que
passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função  no ponto P,
precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano
tangente pode ser escrita como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano
tangente à função  no ponto P(1,-1). 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são: 
 e .  Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos:
,  e . Assim, trocando essas informações na equação
do plano  obtemos 
.
1 em 1 pontos
Quarta-feira, 24 de Fevereiro de 2021 19h46min30s BRT