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Métodos Quantitativos
DOCENTE
 Unidade de Ensino: 1
 Competência da Unidade: Identificar e representar a 
função quadrática de várias maneiras e aplicar o estudo 
da função quadrática na descrição de fenômenos e 
situações.
 Resumo: Nesta aula será identificado a representação da 
função quadrática de várias maneiras - tabelas, gráficos, 
fórmulas. Ainda, será visto a aplicação em desse 
conceito em fenômenos e situações diversas.
 Palavras-chave: Função; equação; gráfico
 Título da aula: Função quadrática, Máximo e Mínimo.
 Aula nº: 4
Conceitos
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Exemplos:
 f x = x� + 4x − 3
 f � = −2t� + 5t
 h x = x� + 7
 C n = 5��
Função do 2º grau 
Uma função f de ℝ → ℝ recebe o nome de 
função quadrática ou do 2º grau quando 
tem a lei de formação do tipo f x = ax� +
bx + � ��� � ≠ 0. 
Equação do 2º grau
Uma equação do segundo grau é da forma:
ax2 +bx +c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes
da equação, sendo que a deve ser diferente de
zero. Essa equação é também chamada de
equação quadrática, pois o termo de maior grau
está elevado ao quadrado.
 Para resolvermos uma equação do 2º grau 
podemos utilizar a seguinte fórmula:
� =
−� ± ∆
2�
∆= �� − 4��
Ou 
� =
−� ± �� − 4��
2�
Resolução de uma equação do 2º grau
Raízes da função
Os zeros ou raízes da função quadrática 
f x = ax� + bx + c
são os valores de x reais tais que f x = 0 e, 
portanto, a solução da equação do 2º grau 
ax� + bx + � = 0.
 A existência de raízes de uma equação do 
segundo grau está condicionada ao valor do ∆:
Raízes da função
∆> 0 → � ����çã� ����������á ���� ��í��� ����� ���������
∆= 0 → � ����çã� ����������á ���� ��í��� ����� iguais
∆< 0 → � ����çã� �ã� ����������á ��í��� �����
Exemplo
9
Função Quadrática
� � = ��
� � � = �� (�, �)
−2 4 (−2,4)
−1 1 (−1,1)
0 0 (0,0)
1 1 (1,1)
2 4 (2,4)� > 0
∆= 0
Função Quadrática
∆> 0
� � = −�� − 2� + 2
� < 0
Função Quadrática
� > 0
� � = �� + 1
∆< 0
Exemplo
13
 Para construirmos a representação 
gráfica da função � � = �� − 4� + 3
podemos construir um quadro com 
alguns pontos.
Representação gráfica da função do 
2º grau
� � � = � �, �
-1 8 (1,8)
0 3 (0,3)
1 0 (1,0)
2 -1 (2,-1)
3 0 (3,0)
4 3 (4,3)
5 8 (5,8)
Conceitos
VÉRTICE
Exemplo
Qual a concavidade 
da função f e da g?
�  o vértice A e o ponto mais alto da 
parábola
�  o vértice B e o ponto mais baixo da 
parábola 
Vértice
� � = �� − � − 2
Vértice
Vértice
�� = −
�
2�
�� = −
∆
4�
Vértice
� � = −�� + � + 2
Vértice
Vértice
�� = −
�
2�
�� = −
∆
4�
Situação-
problema
ALTURA DE UM 
PROJÉTIL
Suponha que você é um estagiário de uma
empresa de desenvolvimento de jogos e um
desses jogos envolve o lançamento de objetos em
alvos. Como parte do seu trabalho você deverá
fazer um estudo de um desses lançamentos, cuja
curva é dada por
ℎ � = −5�� + 120�
Em que � é o tempo (s) e ℎ(�) a altura em metros.
Determine qual o alcance que esse projétil atinge.
https://bit.ly/2FXuXka
(Acesso 05 jul. 2019)
ℎ � = −5�� + 120�
 A altura máxima é dada por:
ℎ = −
Δ
4�
= −
120 � − 4 ⋅ −5 ⋅ 0
4 ⋅ −5
= 720 m
https://bit.ly/2FXuXka
(Acesso 05 jul. 2019)
A altura máxima é de 720 
metros.
Conceitos
MÁXIMO E MÍNIMO
� � = −�� + � + 2
Ponto de 
Máximo
Ponto de 
Mínimo
� � = �� − � − 2
Dada a função �(�) = �� + 6� + 5, determine se 
� possui um valor máximo ou um mínimo e 
especifique esse valor.
Situação-
problema
PRODUÇÃO DE SOJA
 O custo para a produção de soja de uma
determinada fazenda é dado pela seguinte
função
� � = 3�� − 60� + 1.300 , em que �
refere-se as toneladas de soja produzida.
Com base nessas informações, qual a
quantidade de soja (em toneladas) a ser
produzida para que o custo seja mínimo?
Produção de soja 
Fonte: https://goo.gl/XjPTpZ
Acesso em: 03 dez. 2018
 � � = 3�� − 60� + 1.300
 Determinando o � vértice:
�� = −
�
2�
= −
−60
2 � 3
= 10
Produção de soja 
Para o custo ser mínimo
devem ser produzidas 10
toneladas.
31
32Atividade 1
Dada a função f(x) = x2 +5x + 12 = 0 encontre o valor de f(3) e f(0).
33
f(3) = 32 + 5. 3 + 12 = 0
f(3) = 9 + 15 + 12
f(3)= 36
f(0) = 02 + 5. 0 + 12 = 0
f(0) = 0 + 0 + 12
f(0)= 12
34Atividade 2
 Uma empresa produz um determinado produto com o custo 
definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. 
Considerando o custo C em reais e x a quantidade de 
unidades produzidas, determine a quantidade de unidades 
para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.
35
Temos uma parábola com a concavidade voltada 
para cima. Nessa função os coeficientes são � =
1, � = −80, � = 3000
A quantidade de unidades vendidas para que o 
custo seja mínimo será dada pelo x do vértice.
�� = −
�
2�
= − 
−80
2
= 40
36
Para que o custo seja mínimo, a empresa deverá 
produzir somente 40 unidades do produto. O valor 
do custo mínimo será dado pelo y do vértice.
�� = −
Δ
4�
= −
�� − 4��
4�
= −
−80 � − 4 1 3000
4 1
= −
−5600
4
= 1400
Situação-
problema
LUCRO MÁXIMO
38
Em determinada empresa foi solicitado aos 
analistas de produção que fizessem um estudo a 
respeito do lucro obtido com a produção de um 
dos seus principais produtos. Ao analisarem os 
custos e o faturamento (receita) chegaram as 
seguintes funções: R(x) = 1.500x – x² e C(x) = x2 –
500x. Diante dessas informações, qual o lucro 
máximo dessa empresa?
39Determinando inicialmente a função lucro: 
L(x) = R(x) – C(x) = 1.500x – x² - (x² - 500x)
L(x) = -2x² + 2.000x. 
Como quer saber o lucro máximo, calcula-se o y 
vértice, assim:
�� =
−∆
4�
�� =
−[2.000� − 4. −2 . 0]
4(−2)
= 500.000
40
Dúvidas?!
RECAPITULANDO
41
Recapitulando
Função Quadrática
� � = ��� + �� + �
� =
−� ± ∆
2�
∆= �� − 4��
Recapitulando
Gráfico é uma 
parábola
� > 0
concavidade 
voltada para 
cima
� < 0
concavidade 
voltada para 
baixo
∆> 0
∆= 0
∆< 0
� −
�
2�
, −
∆
4�