Assunto 3 - Teorema fundamental do cálculo

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CÁLCULO INTEGRAL: TEOREMA FUNDAMENTAL DO 
CÁLCULO 
Lara Kimberlly Gomes da Silva 
Estudante de Engenharia de Produção – Centro Universitário Eniac 
@larakimberlly_ (11) 95419-5489 RA: 237622017 
 
Teorema fundamental do Cálculo - Parte 1 
Mostra a ligação entre derivada e integral, e como consequência a relação entre integral 
definida e primitiva. 
Sendo f(t) uma função contínua em um intervalo l, tomemos x desse intervalo, e 
consideremos a função F(x), tendo l por domínio, dada por: 
𝑭(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕
𝒙
𝒂
 
Suponha que f(t) ≥ 0 para todo x em l. 
Se x ≥ a, F(x) é a área sob o gráfico de f(t) de a a x. 
 
𝑭(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕
𝒙
𝒂
 
 
 
 
Exemplo 1 
𝒈(𝒙) = ∫ 𝒕 𝒅𝒕
𝒙
𝟎
 
𝑡1+1
1 + 1
= 
𝑡2
2
 |0
𝑥 
01+1
1 + 1
= 
02
2
 |0
𝑥 = 
𝑡2
2
−
02
2
=
𝑥2
2
 𝑔(𝑥) =
𝑥2
2
 
a x b 
𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑜𝑢 𝑔(𝑥) = 
𝑥2
2
 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎. 
Se f: [a,b] → ℝ é uma função contínua, então a função: 
𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,
𝑥
𝑎
 
É contínua em [a,b], derivável em (a,b) e satisfaz: 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
Ou equivalente: 𝑑 ∫
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥).
𝑥
𝑎
 
Exemplo 2 – Encontre a derivada da função: 
𝒈(𝒙) = ∫ √𝟏 + 𝒕𝟐 𝒅𝒕
𝒙
𝒂
 
 
𝑔′(𝑥) = 𝑑 ∫ √
1 + 𝑡2
𝑑𝑥
 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
= √1 + 𝑥2 
Teorema fundamental do Cálculo - Parte 2 
Se f:[a,b] → ℝ é uma função contínua, então: 
∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
𝒃
𝒂
 
Em que F(x) é a primitiva de f: 
Exemplo 1 – Calcule a integral 
∫
𝟏
𝒕
 𝒅𝒕
𝟔
𝟑
 
ln(t) |3
6 = ln(6) − ln(3) 
ln (
6
3
) = ln (2) 
Exemplo 2 – Um objeto que move ao longo de uma reta apresenta a função da 
velocidade em função do tempo dada por 𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡 − 6 (medida em metros por 
segundo). Determine o deslocamento do objeto durante o período de 1 ≤ t ≤ 4 e a 
distância percorrida nesse intervalo de tempo. 
O deslocamento é dado por: 
𝑥(4) − 𝑥(1) = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ (𝑡2 − 𝑡 − 6) 𝑑𝑡
4
1
4
1
 
= ∫ 𝑡2 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡 𝑑𝑡
4
1
− 6 ∫ 𝑑𝑡
4
1
4
1
 
= 
𝑡3
3
|1
4 − 
𝑡2
2
|1
4 − 6𝑡|1
4 
= (
4
3
− 
4
2
− 6.4) − (
1
3
−
1
2
− 6.1) = 4,5𝑚