Limite_02_Formas_indeterminadas

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Resumo do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
1 
 
Limite – Formas Indeterminadas 
Cálculo de Limite 
Muitos limites podem ser calculados pela simples substituição, por 
exemplo: 
 lim
𝑥→3
(4𝑥 − 1) = 4(3) − 1 = 12 − 1 = 11 
Mas observe esses casos: 
𝐶1) lim
𝑥→−2
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
=
(−2)2 − 4
−2 + 2
=
4 − 4
0
=
0
0
=? 
𝐶2) lim
𝑥→−1
5
𝑥 + 1
=
5
−1 + 1
=
5
0
=? 
Esses tipos de Limites são mais difíceis de resolver. Vamos estudar 
alguns. 
1) lim
𝑥→−2
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
=
(−2)2 − 4
−2 + 2
=
4 − 4
0
=
0
0
 
É uma forma indeterminada. Vamos simplificar pela fórmula F3 
(diferença de dois quadrados). Ver notas sobre fatoração. 
lim
𝑥→−2
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
𝑥 − 2 = −2 − 2 = −4 
 
Resposta: 
lim
𝑥→−2
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
= −4 
 
2) lim
𝑥→3
𝑥3 − 27
𝑥 − 3
=
33 − 27
3 − 3
=
27 − 27
3 − 3
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F6 (diferença de dois cubos). Ver notas sobre 
fatoração. 
lim
𝑥→3
𝑥3 − 27
𝑥 − 3
=
(𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥2 + 3𝑥 + 9) 
lim
𝑥→3
(𝑥2 + 3𝑥 + 9) = 32 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 
 
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Resposta: 
lim
𝑥→3
𝑥3 − 27
𝑥 − 3
= 27 
 
3) lim
𝑥→−2
𝑦3 + 8
𝑦 + 2
=
(−2)3 + 8
−2 + 2
=
−8 + 8
0
=
0
0
 
lim
𝑥→−2
𝑦3 + 8
𝑦 + 2
= lim
𝑥→−2
𝑦3 + 23
𝑦 + 2
 
Simplificar pela fórmula F7 (soma de dois cubos). Ver notas sobre 
fatoração. 
lim
𝑥→−2
𝑦3 + 8
𝑦 + 2
= lim
𝑥→−2
𝑦3 + 23
𝑦 + 2
= lim
𝑥→−2
(𝑦 + 2)(𝑦2 − 2𝑦 + 22)
𝑦 + 2
 
lim
𝑥→−2
𝑦3 + 8
𝑦 + 2
= lim
𝑥→−2
(𝑦2 − 2𝑦 + 4) = (−2)2 − 2(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 
Resposta: 
lim
𝑥→−2
𝑦3 + 8
𝑦 + 2
= 12 
 
4) lim
𝑥→9
𝑥 − 9
√𝑥 − 3
=
9 − 9
√9 − 3
=
0
3 − 3
=
0
0
 
Racionalizar o denominador. 
lim
𝑥→9
𝑥 − 9
√𝑥 − 3
= lim
𝑥→9
(𝑥 − 9)(√𝑥 + 3)
(√𝑥 − 3)(√𝑥 + 3)
= lim
𝑥→9
(𝑥 − 9)(√𝑥 + 3)
𝑥 − 9
= lim
𝑥→9
(√𝑥 + 3) 
lim
𝑥→9
𝑥 − 9
√𝑥 − 3
= lim
𝑥→9
(√𝑥 + 3) = √9 + 3 = 3 + 3 = 6 
Resposta: 
lim
𝑥→9
𝑥 − 9
√𝑥 − 3
= 6 
 
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3 
 
5) lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
=
22 − 4
2 − 2
=
4 − 4
0
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F3, diferença de quadrados (ver notas sobre 
fatoração). 
lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4 
 
6) lim
𝑥→3
2𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑥 − 3
=
2(33) − 6(32) + 3 − 3
3 − 3
=
54 − 54 + 3 − 3
0
=
0
0
 
Não dá para resolver por fatoração, mas como 3 é raiz do numerador e 
do denominador dá para reescrever o numerador como uma 
multiplicação de polinômios da seguinte forma:(𝑥 − 3)(2𝑥2 + 1). 
 
Para reescrever, primeiro faça a divisão (2𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 − 3) (𝑥 − 3)⁄ . O 
resultado da divisão é 2𝑥2 + 1. A partir desse resultado podemos 
reescrever o polinômio original da seguinte maneira: 
2𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 − 3 = (𝑥 − 3)(2𝑥2 + 1) 
O cálculo do limite fica assim: 
lim
𝑥→3
2𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
 
(𝑥 − 3)(2𝑥2 + 1)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(2𝑥2 + 1) = 2(22) + 1 
lim
𝑥→3
2𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(2𝑥2 + 1) = 2(22) + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9 
Resposta: 
lim
𝑥→3
2𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑥 − 3
= 9 
 
7) lim
𝑟→1
𝑟2 − 𝑟
2𝑟2 + 5𝑟 − 7
=
12 − 1
2(12) + 5(1) − 7
=
0
2 + 5 − 7
=
0
0
 
Com esses resultados verifica-se que 𝑟 = 1 é raiz do numerador e do 
denominador e podemos reescrever os polinômios como múltiplos do 
polinômio (𝑟 − 1). 
Dá para reescrever o numerador colocando r em evidência e fica assim: 
𝑟2 − 𝑟 = 𝑟(𝑟 − 1). 
No denominador dá para fazer o mesmo que se fez no exercício 6. 
Fazendo a divisão 2𝑟2 + 5𝑟 − 7 𝑟 − 1⁄ . O resultado da divisão é 2𝑟 + 7. 
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O denominador pode ser reescrito assim 2𝑟2 + 5𝑟 − 7 = (𝑟 − 1)(2𝑟 + 7). 
Voltando ao limite. 
 lim
𝑟→1
𝑟2 − 𝑟
2𝑟2 + 5𝑟 − 7
= lim
𝑟→1
𝑟(𝑟 − 1)
(2𝑟 + 7)(𝑟 − 1)
= lim
𝑟→1
𝑟
2𝑟 + 7
=
1
2(1) + 7
=
1
9
 
8) lim
𝑥→−3
𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥2 + 7𝑥 + 12
=
(−3)2 + 2(−3) − 3
(−3)2 + 7(−3) + 12
=
9 − 6 − 3
9 − 21 + 12
=
9 − 9
21 − 21
 
lim
𝑥→−3
𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥2 + 7𝑥 + 12
=
0
0
 
Dá para fazer o mesmo que se fez nos exercícios 6 e 7. Tem que dividir 
numerador e denominador por 𝑥 − (−3) = 𝑥 + 3 
(x – a raiz do polinômio). 
Numerador: 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1). 
Denominador: 𝑥2 + 7𝑥 + 12 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 4). 
Substituindo no limite: 
lim
𝑥→−3
𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥2 + 7𝑥 + 12
= lim
𝑥→−3
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
(𝑥 + 3)(𝑥 + 4)
= lim
𝑥→−3
𝑥 − 1
𝑥 + 4
=
−3 − 1
−3 + 4
=
−4
1
 
Resposta: 
lim
𝑥→−3
𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥2 + 7𝑥 + 12
= −4 
 
9) lim
𝑘→4
𝑘2 − 16
√𝑘 − 2
= 
42 − 16
√4 − 2
=
16 − 16
2 − 2
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F3, diferença de dois quadrados (ver notas 
sobre fatoração). 
 lim
𝑘→4
𝑘2 − 16
√𝑘 − 2
= lim
𝑘→4
(𝑘 + 4)(𝑘 − 4)
√𝑘 − 2
 
Como ainda não dá para simplificar, use a mesma fórmula outra vez 
assim: (𝑘 − 4) = (√𝑘 + 2)(√𝑘 − 2). Substituindo no limite: 
lim
𝑘→4
𝑘2 − 16
√𝑘 − 2
= lim
𝑘→4
(𝑘 + 4)(𝑘 − 4)
√𝑘 − 2
= lim
𝑘→4
(𝑘 + 4)(√𝑘 + 2)(√𝑘 − 2)
√𝑘 − 2
 
lim
𝑘→4
𝑘2 − 16
√𝑘 − 2
= lim
𝑘→4
(𝑘 + 4)(√𝑘 + 2)(√𝑘 − 2)
√𝑘 − 2
= lim
𝑘→4
(𝑘 + 4)(√𝑘 + 2) 
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lim
𝑘→4
𝑘2 − 16
√𝑘 − 2
= lim
𝑘→4
(𝑘 + 4)(√𝑘 + 2) = (4 + 4)(√4 + 2) = 8(2 + 2) = 8(4) 
Resposta: 
lim
𝑘→4
𝑘2 − 16
√𝑘 − 2
= 32 
 
10) lim
𝑡→−5
𝑡2 + 10𝑡 + 25
𝑡 + 5
=
(−5)2 + 10(−5) + 25
−5 + 5
=
25 − 50 + 25
−5 + 5
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F1, quadrado da soma de dois termos (ver notas 
sobre fatoração). Pela fórmula F1: (𝑡2 + 10𝑡 + 25) = (𝑡 + 5)2. 
Substituindo no limite: 
 lim
𝑡→−5
𝑡2 + 10𝑡 + 25
𝑡 + 5
= lim
𝑡→−5
(𝑡 + 5)2
𝑡 + 5
= lim
𝑡→−5
𝑡 + 5 = −5 + 5 = 0 
 
11) lim
𝑥→3
𝑥2 − 6𝑥 + 9
𝑥 − 3
=
32 − 6(3) + 9
3 − 3
=
9 − 18 + 9
0
=
18 − 18
0
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F2, quadrado da diferença de dois termos (ver 
notas sobre fatoração). Pela fórmula F2: (𝑥2 − 6𝑥 + 9) = (𝑥 − 3)2 
Substituindo no limite: 
lim
𝑥→3
𝑥2 − 6𝑥 + 9
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)2
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
𝑥 − 3 = 3 − 3 = 0 
 
12) lim
𝑥→−1
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
(𝑥 + 1)2
=
(−1)3 + 3(−1)2 + 3(−1) + 1
(−1 + 1)2
 
 lim
𝑥→−1
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
(𝑥 + 1)2
=
−1 + 3 − 3 + 1
02
=
4 − 4
0
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F4, cubo da soma (ver notas sobre fatoração). 
Pela fórmula F4: 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)3. Substituindo no limite: 
lim
𝑥→−1
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
(𝑥 + 1)2
= lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)3
(𝑥 + 1)2
= lim
𝑥→−1
𝑥 + 1 = −1 + 1 = 0 
 
 
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13) lim
𝑦→2
𝑦3 − 6𝑦2 + 12𝑦 − 8
𝑦 − 2
=
23 − 6(22) + 12(2) − 8
2 − 2
=
8 − 24 + 24 − 8
0
 
lim
𝑦→2
𝑦3 − 6𝑦2 + 12𝑦 − 8
𝑦 − 2
=
32 − 32
0
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F5, cubo da diferença (ver notas sobre 
fatoração). Pela fórmula F5: 𝑦3 − 6𝑦2 + 12𝑦 − 8 = (𝑦 − 2)3. Substituindo 
no limite: 
lim
𝑦→2
𝑦3 − 6𝑦2 + 12𝑦 − 8
𝑦 − 2
= lim
𝑦→2
(𝑦 − 2)3
𝑦 − 2
= lim
𝑦→2
(𝑦 − 2)2 = (2 − 2)2 = 02 = 0 
 
14) lim
𝑥→25
√𝑥 − 5
𝑥 − 25
=
√25 − 5
25 − 25
=
5 − 5
0
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F3, diferença de dois quadrados (ver notas 
sobre fatoração). Pela fórmula F3: 𝑥 − 25 = (√𝑥 + 5)(√𝑥 − 5). 
Substituindo no limite: 
 lim
𝑥→25
√𝑥 − 5
𝑥 − 25
= lim
𝑥→25
√𝑥 − 5
(√𝑥 + 5)(√𝑥 − 5)
= lim
𝑥→25
1
√𝑥 + 5
=
1
√25 + 5
=
1
5 + 5
 
lim
𝑥→25
√𝑥 − 5
𝑥 − 25
= 
1
10
 
 
15) lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
=
(𝑥 + 0)2 − 𝑥2
0
=
𝑥2 − 𝑥2
0
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F1, quadrado da soma de dois termos(ver notas 
sobre fatoração). Pela fórmula F1: (𝑥 + ℎ)2 = 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2. 
Substituindo no limite 
 lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
 
lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ = 2𝑥 
 
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16) lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3
ℎ
=
(𝑥 + 0)3 − 𝑥3
0
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F4, cubo da soma (ver notas sobre fatoração). 
Pela fórmula F4 (𝑥 + ℎ)3 = 𝑥3 + 3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3. Substituindo no 
limite: 
 lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3
ℎ
=
𝑥3 + 3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥3
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3
ℎ
 
 
lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(3𝑥2 + 3𝑥ℎ + ℎ2)
ℎ
 
= lim
ℎ→0
ℎ(3𝑥2 + 3𝑥ℎ + ℎ2)
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑥2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 = 3𝑥2 + 3𝑥(0) + 02 
Resposta: 
lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3
ℎ
= 3𝑥2 
 
17) lim
ℎ→−2
ℎ3 + 8
ℎ + 2
=
(−2)3 + 8
−2 + 2
=
−8 + 8
−2 + 2
=
0
0
 
Simplificar pela fórmula F7, soma de dois cubos (ver notas sobre 
fatoração). Pela fórmula F7 ℎ3 + 8 = ℎ3 + 23 = (ℎ + 2)(ℎ2 − 2ℎ + 4). 
Substituindo no limite: 
lim
ℎ→−2
ℎ3 + 8
ℎ + 2
= lim
ℎ→−2
(ℎ + 2)(ℎ2 − 2ℎ + 4)
ℎ + 2
= lim
ℎ→−2
(ℎ2 − 2ℎ + 4) 
lim
ℎ→−2
ℎ3 + 8
ℎ + 2
= lim
ℎ→−2
(ℎ2 − 2ℎ + 4) = (−2)2 − 2(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 
Resposta: 
lim
ℎ→−2
ℎ3 + 8
ℎ + 2
= 12 
 
 
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18) lim
ℎ→2
ℎ3 − 8
ℎ2 − 4
=
23 − 8
22 − 4
=
8 − 8
4 − 4
=
0
0
 
Simplificar o numerador pela fórmula F6, diferença de dois cubos (ver 
notas sobre fatoração). 
Pela fórmula F6: ℎ3 − 8 = ℎ3 − 23 = (ℎ − 2)(ℎ2 + 2ℎ + 4) 
Simplificar o denominador pela fórmula F3, diferença de dois quadrados 
(ver notas sobre fatoração). 
Pela fórmula F3: ℎ2 − 4 = (ℎ + 2)(ℎ − 2). 
Substituindo no limite: 
 lim
ℎ→2
ℎ3 − 8
ℎ2 − 4
= lim
ℎ→2
(ℎ − 2)(ℎ2 + 2ℎ + 4)
(ℎ + 2)(ℎ − 2)
= lim
ℎ→2
ℎ2 + 2ℎ + 4
ℎ + 2
=
22 + 2(2) + 4
2 + 2
 
lim
ℎ→2
ℎ3 − 8
ℎ2 − 4
= lim
ℎ→2
ℎ2 + 2ℎ + 4
ℎ + 2
=
22 + 2(2) + 4
2 + 2
=
4 + 4 + 4
4
=
12
4
= 3 
Resposta: 
lim
ℎ→2
ℎ3 − 8
ℎ2 − 4
= 3 
 
19) lim
𝑠→1
𝑠3 − 1
𝑠 − 1
=
13 − 1
1 − 1
=
0
0
 
Simplificar o denominador pela fórmula F6, diferença de dois cubos (ver 
notas sobre fatoração). 
Pela fórmula F6: 𝑠3 − 1 = (𝑠 − 1)(𝑠2 + 𝑠 + 1). 
Substituindo no limite: 
lim
𝑠→1
𝑠3 − 1
𝑠 − 1
= lim
𝑠→1
(𝑠 − 1)(𝑠2 + 𝑠 + 1)
𝑠 − 1
= lim
𝑠→1
(𝑠2 + 𝑠 + 1) = 12 + 1 + 1 = 3 
 
20) lim
𝑥→0
√𝑥 + 2 − √2
𝑥
=
√0 + 2 − √2
0
=
0
0
 
Racionalizar o numerador: 
√𝑥 + 2 − √2
𝑥
=
(√𝑥 + 2 − √2)(√𝑥 + 2 + √2)
𝑥(√𝑥 + 2 + √2)
=
𝑥 + 2 − 2
𝑥(√𝑥 + 2 + √2)
=
𝑥
𝑥(√𝑥 + 2 + √2)
=
1
√𝑥 + 2 + √2
 
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Substituindo no limite: 
lim
𝑥→0
√𝑥 + 2 − √2
𝑥
= lim
𝑥→0
 
1
√𝑥 + 2 + √2
=
1
√0 + 2 + √2
=
1
2√2
 
 
21) lim
𝑥→−2
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 10
𝑥2 + 3𝑥 + 2
=
(−2)3 − (−2)2 − (−2) + 10
(−2)2 + 3(−2) + 2
=
−8 − 4 + 2 + 10
4 − 6 + 2
=
−12 + 12
6 − 6
=
0
0
 
Resolver como o exercício 8. Como (– 2) é raiz do numerador e do 
denominador: 
Divisão do numerador: (𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 10)/(𝑥 + 2) = (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
O numerador fica: 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 10 = (𝑥 + 2)( 𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
Divisão do denominador: (𝑥2 + 3𝑥 + 2)/(𝑥 + 2) = (𝑥 + 1) 
O denominador fica: 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) 
Substituindo no limite: 
 lim
𝑥→−2
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 10
𝑥2 + 3𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)( 𝑥2 − 3𝑥 + 5)
(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
= lim
𝑥→−2
𝑥2 − 3𝑥 + 5
𝑥 + 1
=
(−2)2 − 3(−2) + 5
−2 + 1
=
4 + 6 + 5
−1
=
15
−1
 
Resposta: 
 lim
𝑥→−2
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 10
𝑥2 + 3𝑥 + 2
= −15 
 
22) lim
𝑡→0
2 − √4 − 𝑡
𝑡
=
2 − √4 − 0
0
=
2 − 2
0
=
0
0
 
Racionalizar o numerador. 
2 − √4 − 𝑡
𝑡
=
(2 − √4 − 𝑡)(2 + √4 − 𝑡)
𝑡(2 + √4 − 𝑡)
=
4 − (4 − 𝑡)
𝑡(2 + √4 − 𝑡)
=
4 − 4 + 𝑡
𝑡(2 + √4 − 𝑡)
=
𝑡
𝑡(2 + √4 − 𝑡)
=
1
(2 + √4 − 𝑡)
 
Substituindo no limite: 
lim
𝑡→0
2 − √4 − 𝑡
𝑡
= lim
𝑡→0
1
2 + √4 − 𝑡
=
1
2 + √4 − 0
=
1
2 + 2
=
1
4
 
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10 
 
23) lim
𝑥→3
2𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 − 3
4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 − 3
=
2(33) − 5(32) − 2(3) − 3
4(33) − 13(32) + 4(3) − 3
=
2(27) − 5(9) − 6 − 3
4(27) − 13(9) + 12 − 3
=
54 − 45 − 6 − 3
108 − 117 + 12 − 3
=
54 − 54
120 − 120
=
0
0
 
Dá para fazer o mesmo que se fez no exercício 8. Pelas contas feitas, 
𝑥 = 3 é raiz do numerador e do denominador. Tem que dividir 
numerador e denominador por 𝑥 − 3 (x – [a raiz do polinômio]). 
Numerador: (2𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 − 3)/(𝑥 − 3) = (2𝑥2 + 𝑥 + 1) 
Denominador: (4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 − 3)/(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)(4𝑥2 − 𝑥 + 1) 
Substituindo no limite: 
lim
𝑥→3
2𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 − 3
4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(2𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 3)(4𝑥2 − 𝑥 + 1)
= lim
𝑥→3
(2𝑥2 + 𝑥 + 1)
(4𝑥2 − 𝑥 + 1)
= 
2(32) + 3 + 1
4(32) − 3 + 1
=
2(9) + 3 + 1
4(9) − 3 + 1
=
18 + 3 + 1
36 − 3 + 1
=
22
34
=
11
17
 
Resposta: 
lim
𝑥→3
2𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 − 3
4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 − 3
=
11
17
 
 
Mas e o outro caso: 
𝐶2) lim
𝑥→−1
5
𝑥 + 1
=
5
−1 + 1
=
5
0
=? 
 
Divisão por zero? O quê fazer? Como resolver? 
Vamos estudar depois. 
 
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Notas sobre Fatoração. 
Trinômio quadrado perfeito: 
F1) Quadrado da soma de dois termos: 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 
F2) Quadrado da diferença de dois termos: 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 
Como saber se um polinômio é um trinômio quadrado perfeito? 
Faça o seguinte: 
1) Calcular a raiz quadrada dos termos que estão elevados ao 
quadrado. 
2) Multiplicar os valores encontrados por 2. 
3) Comparar o valor encontrado com termo que sobrou. Se forem 
iguais, é um quadrado perfeito. 
Exemplo 1: Fatorar o polinômio 𝑥2 + 4𝑥 + 4. 
√𝑥2 = 𝑥 e √4 = 2. Multiplicando por 2 os termos calculados: 2 ∙ 𝑥 ∙ 2 =
4𝑥. Isso confirma que o polinômio é um trinômio quadrado perfeito. 
Então a fatoração fica assim 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)2 (quadrado da 
soma). 
 
Exemplo 2: Fatorar o polinômio 𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 16𝑦2 
√𝑥2 = 𝑥 e √16𝑦2 = 4𝑦. Multiplicando por 2 os termos calculados: 
2 ∙ 𝑥 ∙ 4𝑦 = 8𝑥𝑦. 
Como 8𝑥𝑦 ≠ 5𝑥𝑦, não é um quadrado perfeito e não se pode fazer a 
fatoração. 
 
Diferença de dois quadrados. 
F3) 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) 
Para fatorar é só calcular a raiz quadrada dos dois termos. 
Exemplo 3: Fatorar o polinômio 9𝑥2 − 16𝑦2. 
√9𝑥2 = 3𝑥 e √16𝑦2 = 4𝑦. Fatoração: 9𝑥2 − 16𝑦2 = (3𝑥 + 4𝑦)(3𝑥 − 4𝑦). 
 
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Cubo perfeito. 
F4) Cubo da soma: 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3. 
F5) Cubo da diferença: 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)3. 
 
Exemplo 4: Fatorar o polinômio 8𝑥3 + 36𝑥2 + 54𝑥 + 27. 
Primeiro, calcular a raiz cúbica: √8𝑥3
3
= 2𝑥 e √27
3
= 3. 
Depois, confirmar os outros termos: 
3 ∙ (2𝑥)2 ∙ 3 = 3 ∙ 4𝑥2 ∙ 3 = 36𝑥2 e 3 ∙ 2𝑥 ∙ 32 = 3 ∙ 2𝑥 ∙ 9 = 54𝑥. É um cubo 
perfeito. 
Fatoração: 8𝑥3 + 36𝑥2 + 54𝑥 + 27 = (2𝑥 + 3)3 
 
Exemplo 5: Fatorar o polinômio 𝑎3 − 9𝑎2 + 27𝑎 − 27. 
Calcular as raízes cúbicas: √𝑎3
3
= 𝑎 e √27
3
= 3. 
Confirmando os outros termos: 3 ∙ 𝑎2 ∙ 3 = 9𝑎2 e 3 ∙ 𝑎 ∙ 32 = 3 ∙ 𝑎 ∙ 9 =
27𝑎. É um cubo perfeito. 
Fatoração: 𝑎3 − 9𝑎2 + 27𝑎 − 27 = (𝑎 − 3)3. 
 
Diferença de dois cubos. 
F6) 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
Exemplo 6: Fatorar 8𝑥3 − 27𝑦3 
Primeiro, calcular as raízes cúbicas: √8𝑥3
3
= 2𝑥 e √27𝑦3
3
= 3𝑦 
Fatoração: 8𝑥3 − 27𝑦3 = (2𝑥 − 3𝑦)((2𝑥)2 + 2𝑥 ∙ 3𝑦 + (3𝑦)2) 
8𝑥3 − 27𝑦3 = (2𝑥 − 3𝑦)(4𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 9𝑦2) 
 
Soma de dois cubos. 
F7) 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏+ 𝑏2) 
Exemplo 7: Fatorar 27 + 𝑥3. 
Calcular as raízes cúbicas: √27
3
= 3e √𝑥3
3
= 𝑥. 
Fatoração: 27 + 𝑥3 = (3 + 𝑥)(9 − 3𝑥 + 𝑥2).