ap1 gabarito 2019-2

Prévia do material em texto

Primeira Avaliação Presencial de Equações Diferenciais e Equações Diferenciais Ordinárias –21/09/2019 
Código da disciplina: Matemática/Física EAD 01028 
 Engenharia de produção EAD 01075 
Nome: ______________________________________________ Matrícula: ____________________ 
Polo: _______________________________________________ 
Atenção! 
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha 
(pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina 
(indicado acima em negrito) e o número da folha. 
 
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS 
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova! 
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matrícula e 
 Polo. 
• É expressamente proibido o uso de qualquer intru- 
mento que sirva para cálculo como também qualquer 
material que sirva de consulta. 
• Devolver essa prova e as Folhas de Respostas ao 
Aplicador. 
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou 
preta para registro das resoluções nas Folhas de Respostas. 
• As folhas de Respostas serão o único material conside- 
rado para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste 
espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão ignorados. 
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, 
 pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção 
______________________________________________________________________________________ 
Questão 1 (2,0 pontos) 
Considere a equação linear de primeira ordem 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
3
𝑥
𝑦 = 𝑞(𝑥) 
a) Resolva a equação acima quando 𝑞(𝑥) = 0 (1,0 pontos) 
b) Resolva a equação a cima quando 𝑞(𝑥) = 2𝑥−2𝑒𝑥
2
 (1,0 pontos) 
Solução 
a) Sabemos que a solução de uma equação linear de primeira ordem da forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) 
é dada por 𝑦(𝑥) = 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥[∫ 𝑞(𝑥)𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶] 
Assim para nós 𝑝(𝑥) =
3
𝑥
 , 𝑞(𝑥) = 0. Logo 
𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫
3
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒3𝑙𝑛𝑥 = (𝑒𝑙𝑛𝑥)
3
= 𝑥3 e 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥3)−1 = 𝑥−3 
Assim 
𝑦(𝑥) = 𝑥−3 [∫ 0 𝑑𝑥 + 𝐶] = 𝐶𝑥−3 
b) Neste caso 𝑝(𝑥) =
3
𝑥
 , 𝑞(𝑥) = 2𝑥−2𝑒𝑥
2
. Assim 
𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥3 e 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥−3 
Logo 
𝑦(𝑥) = 𝑥−3 [∫ 2𝑥−2𝑒𝑥
2
𝑥3𝑑𝑥 + 𝐶] 
= 𝑥−3[∫ 2𝑥𝑒𝑥
2
+ 𝐶] 
= 𝑥−3[𝑒𝑥
2
+ 𝐶] 
= 𝑥−3𝑒𝑥
2
+ 𝐶𝑥−3 
Questão 2 (2,0 pontos) 
Resolver o problema de valor inicial 
{
𝑦′′ − 4𝑦′ + 13𝑦 = 0
𝑦(0) = − 1 , 𝑦′(0) = 2
 
Solução 
Achando as raízes de 𝑟2 − 4𝑟 + 13 = 0 tem-se 𝑟1 = 2 + 3𝑖 e 𝑟2 = 2 − 3𝑖 logo a 
solução geral é dada por 
y(𝑥) = 𝑐1𝑒
2𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝑐2𝑒
2𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 
Como y(0) = − 1 e y′(0) = 2 logo − 1 = y(0) = 𝑐1 isto é 𝑐1 = − 1 também 
y′(𝑥) = 2𝑐1𝑒
2𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 3𝑐1𝑒
2𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 2𝑐2𝑒
2𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 3𝑐2𝑒
2𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 
Assim como y′(0) = 2 logo 
2 = 2𝑐1 + 3𝑐2 → 𝑐2 =
4
3
 
assim a solução buscada é 
y(𝑥) = − 𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 +
4
3
𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 
Questão 3 (2,0 pontos) 
Considere a família de curvas 
𝑦 = 𝑐𝑒2𝑥 
a) Determine a equação diferencial da família de elipses 
b) Determine as trajetórias ortogonais desta família de curvas 
Solução 
a) Temos que 
𝑦
𝑒2𝑥
= 𝑐 derivando tem-se 
𝑦′(𝑥)𝑒2𝑥 − 2𝑒2𝑥𝑦
(𝑒2𝑥)2
= 0 
de onde 𝑦′(𝑥)𝑒2𝑥 − 2𝑒2𝑥𝑦 = 0 
assim 𝑦′(𝑥) − 2𝑦(𝑥) = 0 é a equação diferencial da família de curvas 
b) Fazendo 𝑦′(𝑥) = − 
1
𝑦′(𝑥)
 tem-se 
− 
1
𝑦′(𝑥)
 − 2𝑦(𝑥) = 0 
de onde 𝑦′ = − 
1
2𝑦
 
isto é 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑑𝑥 = 0 integrando tem-se 
∫ 2𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑐 
isto é, 𝑦² + 𝑥 = 𝑐 
Questão 4 (2,0 pontos) 
Considere a seguinte equação diferencial ordinária 
(𝑥² + 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0 
a) Determine um fator integrante para a equação diferencial 
b) Resolva a equação 
Solução 
a) Seja a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 
(I) Se 
𝜕𝑀
𝜕y
 − 
𝜕𝑁
𝜕x
 
𝑁
 é uma função que depende somente de x, então 𝜇(𝑥) = 𝑒∫
𝜕𝑀
𝜕y
 − 
𝜕𝑁
𝜕x
 
𝑁
𝑑𝑥
 é um 
fator integrante da equação. 
(II) Se 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 − 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
 
𝑀
 é uma função que depende somente de y, então 𝜇(𝑦) = 𝑒∫
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 − 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
 
𝑀
𝑑𝑦
 é um 
fator integrante da equação 
Para nós 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦 , 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 𝑦. Assim 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 , 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 0, logo 
estamos no caso I pois 
𝜕𝑀
𝜕y
 − 
𝜕𝑁
𝜕x
 
𝑁
=
− 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝑦
= − 1 que é função de x logo 
𝜇(𝑥) = 𝑒∫
𝜕𝑀
𝜕y
 − 
𝜕𝑁
𝜕x
 
𝑁
𝑑𝑥 = 𝑒∫ − 1 = 𝑒 − 𝑥 
é um fator integrante da equação 
b) Pelo item (a) 𝜇(𝑥) = 𝑒 − 𝑥 é um fator integrante logo 
𝑒 − 𝑥(𝑥² + 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑒 − 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0 
é exata logo existe uma função potencial ϕ(x, y) tal que 
i) 
∂ϕ
∂x
= 𝑒 − 𝑥(𝑥² + 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦) 
ii) 
∂ϕ
∂y
= 𝑒 − 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 
Integrando (ii) com respeito a y tem-se 
ϕ(x, y) = ∫ 𝑒 − 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = − 𝑒 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐(𝑥) 
Derivando esta última expressão de ϕ com respeito a x e igualando a (i) tem-se 
𝑒 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐′(𝑥) = 𝑒 − 𝑥𝑥² + 2𝑥𝑒 − 𝑥 + 𝑒 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 
de onde 𝑐′(𝑥) = 𝑒 − 𝑥(𝑥² + 2𝑥) assim 𝑐(𝑥) = ∫ 𝑒 − 𝑥(𝑥² + 2𝑥)𝑑𝑥 = − 𝑒 − 𝑥(𝑥 + 2)² 
Assim ϕ(x, y) = − 𝑒 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑒 − 𝑥(𝑥 + 2)² , logo 
− 𝑒 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑒 − 𝑥(𝑥 + 2)² = 𝐾 
é a solução 
 
Questão 5 (2,0 pontos) 
a) Resolva as equações de Bernouilli seguintes 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 − 
1
𝑥
𝑦 = − 
1
𝑥
𝑦³ 
b) Do item a determine a solução que satisfaz 
𝒚(𝟏) =
𝟏
√𝟐
 
Solução 
a) Uma equação de Bernoulli é uma equação da forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦𝑛 
Onde n é um número real qualquer. Se n=0 ou n=1 a equação é linear de primeira 
ordem, se n≠0 e n≠1 fazendo a mudança de z = 𝑦1 − 𝑛 a equação se transforma na 
seguinte equação linear de primeira ordem 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ (1 − 𝑛)𝑝(𝑥)𝑧 = (1 − 𝑛)𝑞(𝑥) 
Neste caso p(x) = − 
1
𝑥
 , q(x) = − 
1
𝑥
 e n=3. Logo fazendo a mudança z = 𝑦1 − 3 = 𝑦 − 2, 
tem-se 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ (1 − 3) (− 
1
𝑥
) 𝑧 = (1 − 3) (− 
1
𝑥
) 
De onde 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+
2
𝑥
𝑧 =
2
𝑥
 
Assim, �̃�(𝑥) =
2
𝑥
 , �̃�(𝑥) =
2
𝑥
. 
Logo 
𝑒∫ �̃�(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫
2
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒2𝑙𝑛𝑥 = (𝑒𝑙𝑛𝑥)
2
= 𝑥2 
 𝑒 − ∫ �̃�(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥2) − 1 = 𝑥 − 2 
Assim, 
z(x) = 𝑒 − ∫ �̃�(𝑥)𝑑𝑥 [∫ �̃�(𝑥)𝑒∫ �̃�(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶] 
 = 𝑥 − 2 [∫
2
𝑥
𝑥² + 𝐶] = 𝑥 − 2(𝑥² + 𝐶) 
Logo como z =
1
𝑦2
 tem-se 
1
𝑦2
= 1 + 𝑐𝑥 − 2 
b) Tem -se 
𝟏
(
𝟏
√𝟐
)
𝟐
= 𝟏 + 𝒄. 𝟏 
de onde 2 = 1 + 𝑐, assim 𝑐 = 1 
Logo, 
1
𝑦2
= 1 + 𝑥 − 2