Equações Diferenciais Ordinárias

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Professor: Juan Límaco 
AP1 – Equações Diferenciais e Equações Diferenciais Ordinárias - Gabarito 
Questão 1 (2,0 pontos) 
Resolva a seguinte equação linear de primeira ordem 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
2
𝑥
𝑦 = 𝑥−2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
Solução 
Sabemos que a solução de uma equação linear de primeira ordem da forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) 
é dada por 𝑦(𝑥) = 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥[∫ 𝑞(𝑥)𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶] 
Nesse caso, 𝑝(𝑥) =
2
𝑥
 , 𝑞(𝑥) = 𝑥−2𝑠𝑒𝑛(3𝑥). Logo 
𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫
2
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒2𝑙𝑛𝑥 = (𝑒𝑙𝑛𝑥)
2
= 𝑥2 e 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥−2 
Assim 
𝑦(𝑥) = 𝑥−2 [∫ 𝑥−2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) . 𝑥2 𝑑𝑥 + 𝐶] = 𝑥−2 [∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶] 
= 𝑥−2 (
 − 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥)
3
+ 𝐶) 
Questão 2 (2,0 pontos) 
Considere a equação de Ricatti 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 − 𝑥 − 𝑥2 + (2𝑥 + 1)𝑦 − 𝑦2 
Sando 𝑦1(𝑥) = 𝑥 é uma solução particular. 
a) Determine a solução geral (1,5 pontos) 
b) Determine uma solução que satisfaz 𝑦(0) = 2 (0,5 pontos) 
Solução 
a) Uma equação de Ricatti é uma equação diferencial não linear da forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑎0(𝑥) + 𝑎1(𝑥)𝑦 + 𝑎2(𝑥)𝑦
2 
Se nós conhecemos uma solução particular 𝑦1(𝑥) então a solução é dada por 
𝑦(𝑥) = 𝑦1(𝑥) +
1
𝑣(𝑥)
 
 onde 𝑣(𝑥) é a solução da equação linear de primeira ordem 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ (𝑎1(𝑥) + 2𝑦1(𝑥)𝑎2(𝑥))𝑣 = −𝑎2(𝑥) 
Neste caso 𝑎0(𝑥) = 1 − x − 𝑥
2 , 𝑎1(𝑥) = 2𝑥 + 1 , 𝑎2(𝑥) = − 1 e 𝑦1(𝑥) = 𝑥. Assim 𝑣 
satisfaz: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (2𝑥 + 1 − 2𝑥)𝑣 = 1 
que é uma equação linear de primeira ordem com 𝑝(𝑥) = 1, 𝑞(𝑥) = 1 
Assim, 
𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 e 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥 
Logo 
𝑣(𝑥) = 𝑒−𝑥 [∫ 1 . 𝑒𝑥 + 𝐶] 
 = 𝑒 − 𝑥( 𝑒𝑥 + 𝐶) 
= 1 + 𝐶 𝑒−𝑥 
Assim a solução é 
𝑦(𝑥) = 𝑥 +
1
1 + 𝐶𝑒−𝑥
 
b) Como 𝑦(0) = 2 ⇒ 2 =
1
1+𝐶
 → 1 + 𝐶 =
1
2
 → 𝐶 = − 
1
2
 
assim a solução desejada é 
𝑦(𝑥) = 𝑥 +
1
1 − 
1
2 𝑒
−𝑥
 
Questão 3 (2,0 pontos) 
Considere a família de parábolas y = 𝑐x2 
a) Determine a equação diferencial da família de parábolas. (1,0 ponto) 
b) Determine as trajetórias ortogonais destas famílias de parábolas. (1,0 pontos) 
Solução 
a) Como y = 𝑐x2 logo 
y
x2
= c, derivando esta expressão tem-se (
y
x2
)
'
= 0, de onde usando 
a fórmula da derivada de um quociente, obtemos 
2𝑥 . y - y' . x²
x4
= 0 
assim, 
- y' . x² + 2xy = 0 
b) Substituindo y' =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 por −
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 tem-se 
- (−
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) x² + 2xy = 0 → x²dx + 2xy dy = 0 
dividindo a última equação por x tem-se 
𝑥𝑑x + 2𝑦𝑑y = 0 
 integrando tem-se 
x²
2
+ y² = c 
Questão 4 (2,0 pontos) 
Considere a seguinte equação diferencial 
(𝑥² + yn)𝑑𝑥 + (𝑥² − x𝑦m)𝑑𝑦 = 0 
a) Determine o valor de n e m para que a equação seja homogênea (1,0 ponto) 
b) Resolver a equação (1,0 ponto) 
Solução 
a) Como 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + yn e 𝑵(𝑥, 𝑦) = 𝑥² − x𝑦m assim para ser homogênea a equação 
M e N tem que ser homogênea do mesmo grau logo 
𝑀(t𝑥, t𝑦) = tk𝑀(𝑥, 𝑦) e 𝑵(t𝑥, t𝑦) = tkN(𝑥, 𝑦) 
assim 
(tx)2 + (ty)n = tk(𝑥² + yn) ⇒ t²(x²) + tnyn = tkx2 + tkyn 
⇒ t2 = tk e tn = tk 
logo n = k = 2 
também 
(tx)2 - tx(ty)m = tk(x² - xym) 
com k = 2 tem-se, 
t2x2 - tm+1xym = t2x2 - t2xym ⇒ 
tm+1xym = t2xym → m + 1 = 2 → m = 1 
assim n = 2 e m = 1 
 
b) Tem-se a equação homogênea 
(x2 + y2)dx + (x2 - xy)dy = 0 
fazendo a mudança v =
y
x
 de onde y = xv, logo dy = v dx + x dv, assim da equação 
diferencial tem-se 
(x2 + (vx)2)dx + (x2 - x(vx))(v dx + x dv) = 0 
de onde 
x2(1 + v)dx + x3(1 - v)dv = 0 
dividindo por x3(1 + v) e integrando, obtemos 
∫
1
x
dx + ∫
1 - v
1 + v
dv = c 
como 
∫
1 - v
1 + v
dv = ∫ - 1 +
2
1 + v
dv = - v + 2ln(1 + v) 
assim tem-se, 
ln(x) + 2ln(1 + v) - v = c 
isto é, 
ln(x(1 + v)2) - v = c 
como v =
y
x
, tem-se 
ln (
(x + y)2
x
) = c +
y
x
 
Aplicando exponencial na última igualdade, tem-se 
(x + y)2
x
= e
ln(
(x+y)2
x
)
= ec+
y
x = c1e
y
x 
Assim, finalmente a solução é 
(x + y)2 = c1xe
y
x 
 
Questão 5 (2,0 pontos) 
Considere a equação 
(3𝑦² + 3𝑥² + 2)𝑑𝑥 + (6𝑥𝑦 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 
a) Determine se a equação é exata (0.5 pontos) 
b) Se a equação for exata, ache uma solução que satisfaz 𝑦(0) = 1 (1,5 
pontos) 
Solução 
a) Tem-se M(x, y) = 3y² + 3x² + 2, N(x, y) = 6xy + 2y 
Como 
∂M
∂y
= 6𝑦 =
∂N
∂x
 logo a equação é exata. 
b) Como a equação é exata, existe uma função potencial ϕ(x, y) tal que 
i) 
∂ϕ
∂x
= 3y² + 3x² + 2 
ii) 
∂ϕ
∂y
= 6xy + 2y 
Integrando (i) em x tem-se 
ϕ(x, y) = ∫ 3y² + 3x² + 2dx = 3xy² + x³ + 2x + c(y) 
Derivando esta última expressão de ϕ com respeito a y e igualando com (ii) tem-se 
6𝑥𝑦 + 2𝑦 = 6𝑥𝑦 + 𝑐′(𝑦) 
de onde 𝑐′(𝑦) = 2𝑦. Logo 𝑐(𝑦) = ∫ 2𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦². Assim 
Assim ϕ(x, y) = 3xy² + x³ + 2x + y² = c 
Como 𝑦(0) = 1, isto é, se 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 tem-se 1 = 𝑐 
Logo a solução é 3xy² + x³ + 2x + y² = 1