EP_AULAS_7_8_9_ME_II_TUTOR

Prévia do material em texto

Métodos Estatísticos II − 2o. Semestre de 2011
Intervalos de Confiança
Exercício Programado - Aulas 7, 8, 9
Profa. Ana Maria Farias (UFF)
Nas duas últimas provas presenciais (AP2 e AP3) serão dadas questões sobre Inferência Estatís-
tica, envolvendo cosntrução de intervalos de confiança e testes de hipóteses. As seguintes fórmulas
são apresentadas nas provas:
_____________________________________________________
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1) (1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1) (2)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande) (3)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)
2
n
#
_____________________________________________________
Nos resultados (1) e (2), o parâmetro de interesse é a média populacional. O resultado (1) deve
ser usado para populações normais com variância conhecida (Aula 7), enquanto o resultado (2) se
aplica a populações normais com variância desconhecida (Aula 9). No resultado (3), o parâmetro de
interesse é a proporção populacional (Aula 8). Como ele é consequência do Teorema Limite Central,
é necessário que a amostra seja grande (n > 30). Vamos ver agora como usar esses resultados na
resolução de questões.
• Questões sobre intervalos de confiança
Vamos denotar por bθ o estimador do parâmetro de interesse. No nosso caso, bθ pode ser a média
amostral X ou a proporção amostral bP. A forma geral do intervalo de confiança éhbθ − ;bθ + i
1
onde o erro amostral é definido como
= k ·EP (bθ)
O erro padrão do estimador, EP (bθ), é obtido diretamente das fórmulas dadas - ele é o desvio padrão
da distribuição amostral:
EP (X) =
σ√
n
caso (1) - população normal com variância conhecida - Aula 7
EP (X) =
S√
n
caso (2) - população normal com variância desconhecida - Aula 9
EP ( bP ) = rp(1− p)
n
caso (3) - estimação da proporção populacional -Aula 8
No caso (3), é necessário substituir p por algum valor. Se não for dada qualquer informação, use a
proporção amostral encontrada, ou então, p = 0, 5 que dá o maior intervalo de confiança possível.
Com relação à constante k, para intervalos de confiança com nível de confiança 1 − α, ela é a
abscissa da distribuição amostral que deixa área α/2 acima dela (veja a Figura.1). Nos casos (1)
e (3), a distribuição amostral é normal; assim, você deve usar a tabela da normal. No caso (2), a
distribuição amostral é a t de Student com n− 1 graus de liberdade.
Figura 1: Determinação do valor crítico para intervalos de confiança
Se o nível de confiança é de 80% e o tamanho da amostra é n = 18, por exemplo, nos casos (1) e
(3) você deve procurar na tabela da normal o valor k tal que tab(k) = 0, 40. No caso (2), você tem
que olhar a tabela da t de Student na linha correspondente a 17 graus de liberdade (n− 1 = 17) e a
coluna correspondete a 10%. Lembre-se: o nível de confiança é a área central da distribuição. Em
cada cauda fica α/2. Note que se 1− α = 0, 80, então α = 0, 2.
• Exercício 1
De uma população normal com média μ,extrai-se uma amostra de tamanho 16. Construa um
intervalo de confiança para μ sabendo que
1. α = 10%;x = 6, 4;σ = 1, 3
2. α = 5%;x = 3, 75; s = 0, 8
Solução
2
(1) É dado o valor de σ, desvio padrão populacional. Logo, estamos no caso (1), em que a
variância é conhecida.
α = 10% =⇒ zα/2 = z0,05 = 1, 64. A margem de erro é
= 1.64× 1.3√
16
= 0, 533
e o intervalo de confiança é
(6.4− 0.533; 6.4 + 0.533) = (5, 867; 6, 933)
(2) É dado o valor de s, desvio padrão amostral. Logo, estamos no caso (2), em que a variância
é desconhecida.
α = 5% =⇒ t15;0,025 = 2, 131. A margem de erro é
= 2.134× 0.8√
16
= 0, 4268
e o intervalo de confiança é
(3.75− 0.4268; 3.75 + 0.4268) = (3, 3232; 4, 1768)
• Exercício 2
Construa o intervalode confiança para a média μ de uma população normal com base nos
seguintes dados:
1. n = 25;x = 27, 32; s2 = 7, 29; 1− α = 80%
2. n = 32;x = 14, 1;σ2 = 2, 56; 1− α = 0, 85
3. n = 20;x = 7, 2; s2 = 2, 89;α = 6%
Solução
(1) É dado o valor de s2, variância amostral. Logo, estamos no caso (2), em que a variância
é desconhecida.
1− α = 80% =⇒ α/2 = 10% =⇒ t24;0,10 = 1, 318. A margem de erro é
= 1.318×
r
7.29
25
= 0, 7117
e o intervalo de confiança é
(27.32− 0.7117; 27.32 + 0.7117) = (26, 608; 28, 032)
(2) É dado o valor de σ2, variância populacional. Logo, estamos no caso (1), em que a variância
é conhecida.
1 − α = 85% =⇒ α/2 = 7, 5% =⇒ tab(z0,075) = 0.5 − 0.075 = 0.425 =⇒ z0,075 = 1, 42 A
margem de erro é
= 1.42×
r
2.56
32
= 0, 4016
3
e o intervalo de confiança é
(14.1− 0.4016; 14.1 + 0.4016) = (13, 698; 14, 502)
(3) É dado o valor de s2, variância amostral. Logo, estamos no caso (2), em que a variância
é desconhecida.
α = 6% =⇒ α/2 = 3% =⇒ t19;0,03 = 2, 000. A margem de erro é
= 2.000×
r
2.89
20
= 0, 7603
e o intervalo de confiança é
(7.2− 0.7603; 7.2 + 0.7603) = (6, 4397; 7, 9603)
• Exercício 3
Um estudo com 25 proprietários de automóvel de uma determinada cidade revelou que cada
automóvel roda, em média, 22.000 km por ano, com um desvio padrão de 3800 km. Supondo
que a rodagem possa ser aproximadamente descrita por uma distribuição normal, construa um
intervalo de confiança com nível de confiança de 98% para a rodagem anual média dos carros
desta cidade.
Solução
Tem-se a informação de que a população é aproximadamente normal e são dadas a média e o
desvio padrão amostrais: x = 22000, s = 3800. Isso significa que não conhecemos a variância
populacional. Assim, estamos no caso (2).
n = 25 1− α = 98%
Temos que olhar na tabela da t de Student, na linha de 24 gl e coluna correspondendo à área
de 1% na cauda superior. Isso resulta em k = 2, 492.
= 2.492× 3800√
25
= 1893, 9
O intervalo de confiança é
[22000− 1893.9; 22000 + 1893.9] = [20106, 1; 23893, 9]
• Exercício 4
Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de
eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma pesquisa anterior revelou que 60% dos eleitores eram
favoráveis ao candidato em questão.
1. Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de,
no máximo, 0,01, com probabilidade de 80%.
2. Se na amostra final, de tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que 55% dos eleitores eram
favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança de 95% de confiança
para a proporção populacional p.
Solução
(1) O parâmetro de interesse é a proporção populacional; logo, estamos no caso (3). Note
que é dada uma informação sobre o valor do parâmetro. Assim, usamos essa informação para
calcular o tamanho da amostra.
4
(a) 1−α = 0, 8⇒ α/2 = 0, 1. Na tabela da normal, procuramos k tal que tab(k) = 0, 4. Isso
nos dá k = 1, 28
= k ×
r
p(1− p)
n
0, 01 = 1, 28×
r
0, 6× 0, 4
n
⇒
√
n =
1.28
0.01
×
√
0.6× 0.4⇒
√
n = 62, 707⇒
n = 62.7072 = 3932, 2
Logo, n = 3933.
Se não tivéssemos a informação da pesquisa anterior, usaríamos p = 0, 5, que corresponde
ao pior caso e, assim, teríamos
0, 01 = 1, 28×
r
0, 5× 0, 5
n
⇒
√
n =
1.28
0.01
× 0.5 = 64⇒ n = 4096
(2) 1−α = 0, 95⇒ α/2 = 0, 025. Na tabela da normal, procuramos k tal que tab(k) = 0, 475.
Isso nos dá k = 1, 96
= 1.96×
r
0.55× 0.45
3933
= 0, 015548
e o intervalo é
[0.55− 0.0155; 0.55 + 0.0155] = [0, 5345; 0, 5655]
Note que a margem de erro é maior que 10%, pois aumentamos o nível de confiança para 95%
(na letra (a), trabalhamos com 80%)!
5
Tabela 1
Distribuição normal padrão
Valores de p
Casa inteira 2a decimal
e 1a. Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,23890,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,50000
)0Pr( zZp ≤≤=
Valores Críticos da t-Student
0,150 0,100 0,060 0,050 0,040 0,030 0,025 0,020 0,010 0,005 0,0025 0,002 0,001
1 1,963 3,078 5,242 6,314 7,916 10,579 12,706 15,895 31,821 63,657 127,321 159,153 318,309
2 1,386 1,886 2,620 2,920 3,320 3,896 4,303 4,849 6,965 9,925 14,089 15,764 22,327
3 1,250 1,638 2,156 2,353 2,605 2,951 3,182 3,482 4,541 5,841 7,453 8,053 10,215
4 1,190 1,533 1,971 2,132 2,333 2,601 2,776 2,999 3,747 4,604 5,598 5,951 7,173
5 1,156 1,476 1,873 2,015 2,191 2,422 2,571 2,757 3,365 4,032 4,773 5,030 5,893
6 1,134 1,440 1,812 1,943 2,104 2,313 2,447 2,612 3,143 3,707 4,317 4,524 5,208
7 1,119 1,415 1,770 1,895 2,046 2,241 2,365 2,517 2,998 3,499 4,029 4,207 4,785
8 1,108 1,397 1,740 1,860 2,004 2,189 2,306 2,449 2,896 3,355 3,833 3,991 4,501
9 1,100 1,383 1,718 1,833 1,973 2,150 2,262 2,398 2,821 3,250 3,690 3,835 4,297
10 1,093 1,372 1,700 1,812 1,948 2,120 2,228 2,359 2,764 3,169 3,581 3,716 4,144
11 1,088 1,363 1,686 1,796 1,928 2,096 2,201 2,328 2,718 3,106 3,497 3,624 4,025
12 1,083 1,356 1,674 1,782 1,912 2,076 2,179 2,303 2,681 3,055 3,428 3,550 3,930
13 1,079 1,350 1,664 1,771 1,899 2,060 2,160 2,282 2,650 3,012 3,372 3,489 3,852
14 1,076 1,345 1,656 1,761 1,887 2,046 2,145 2,264 2,624 2,977 3,326 3,438 3,787
15 1,074 1,341 1,649 1,753 1,878 2,034 2,131 2,249 2,602 2,947 3,286 3,395 3,733
16 1,071 1,337 1,642 1,746 1,869 2,024 2,120 2,235 2,583 2,921 3,252 3,358 3,686
17 1,069 1,333 1,637 1,740 1,862 2,015 2,110 2,224 2,567 2,898 3,222 3,326 3,646
18 1,067 1,330 1,632 1,734 1,855 2,007 2,101 2,214 2,552 2,878 3,197 3,298 3,610
19 1,066 1,328 1,628 1,729 1,850 2,000 2,093 2,205 2,539 2,861 3,174 3,273 3,579
20 1,064 1,325 1,624 1,725 1,844 1,994 2,086 2,197 2,528 2,845 3,153 3,251 3,552
21 1,063 1,323 1,621 1,721 1,840 1,988 2,080 2,189 2,518 2,831 3,135 3,231 3,527
22 1,061 1,321 1,618 1,717 1,835 1,983 2,074 2,183 2,508 2,819 3,119 3,214 3,505
23 1,060 1,319 1,615 1,714 1,832 1,978 2,069 2,177 2,500 2,807 3,104 3,198 3,485
24 1,059 1,318 1,612 1,711 1,828 1,974 2,064 2,172 2,492 2,797 3,091 3,183 3,467
25 1,058 1,316 1,610 1,708 1,825 1,970 2,060 2,167 2,485 2,787 3,078 3,170 3,450
26 1,058 1,315 1,608 1,706 1,822 1,967 2,056 2,162 2,479 2,779 3,067 3,158 3,435
27 1,057 1,314 1,606 1,703 1,819 1,963 2,052 2,158 2,473 2,771 3,057 3,147 3,421
28 1,056 1,313 1,604 1,701 1,817 1,960 2,048 2,154 2,467 2,763 3,047 3,136 3,408
29 1,055 1,311 1,602 1,699 1,814 1,957 2,045 2,150 2,462 2,756 3,038 3,127 3,396
30 1,055 1,310 1,600 1,697 1,812 1,955 2,042 2,147 2,457 2,750 3,030 3,118 3,385
31 1,054 1,309 1,599 1,696 1,810 1,952 2,040 2,144 2,453 2,744 3,022 3,109 3,375
32 1,054 1,309 1,597 1,694 1,808 1,950 2,037 2,141 2,449 2,738 3,015 3,102 3,365
33 1,053 1,308 1,596 1,692 1,806 1,948 2,035 2,138 2,445 2,733 3,008 3,094 3,356
34 1,052 1,307 1,595 1,691 1,805 1,946 2,032 2,136 2,441 2,728 3,002 3,088 3,348
35 1,052 1,306 1,594 1,690 1,803 1,944 2,030 2,133 2,438 2,724 2,996 3,081 3,340
Obs.: Para n > 35, use a tabela da distribuição normal padronizada N(0;1
Área p na cauda superiorg.l. 
n
Tabela 2
Pr( t(n) > t p ) = p
	mestii_ep_aulas_7_8_9_tutor
	TabNormal
	TabNormal
	TabelaT-unicaudal