35. Encuentra los extremos absolutos de la función f(x, y) = x2 + y2 − 3x en el recinto limitado por la parábola y = 12x2 y la recta y = 2.

Para encontrar os extremos absolutos da função f(x, y) = x^2 + y^2 - 3x no recinto limitado pela parábola y = 12x^2 e a reta y = 2, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontre os pontos de interseção entre a parábola e a reta. Para isso, igualamos as duas equações e resolvemos o sistema de equações: 12x^2 = 2 x^2 = 2/12 x^2 = 1/6 x = ± √(1/6) 2. Agora, substitua os valores de x encontrados na função f(x, y) para obter os valores de y correspondentes: Para x = √(1/6): f(√(1/6), y) = (√(1/6))^2 + y^2 - 3(√(1/6)) = 1/6 + y^2 - √(1/2) Para x = -√(1/6): f(-√(1/6), y) = (-√(1/6))^2 + y^2 - 3(-√(1/6)) = 1/6 + y^2 + √(1/2) 3. Agora, precisamos encontrar os valores de y que maximizam e minimizam a função f(x, y) para cada valor de x encontrado. Para isso, podemos derivar parcialmente a função em relação a y e igualar a zero: Para x = √(1/6): ∂f/∂y = 2y - √(1/2) = 0 2y = √(1/2) y = √(1/4) = 1/2 Para x = -√(1/6): ∂f/∂y = 2y + √(1/2) = 0 2y = -√(1/2) y = -√(1/4) = -1/2 4. Agora, temos os pontos críticos (x, y) que podem ser os extremos absolutos. Além disso, precisamos verificar os valores de f(x, y) nos pontos de interseção da parábola e da reta. Os pontos críticos são: (√(1/6), 1/2) (-√(1/6), -1/2) Os pontos de interseção são: (√(1/6), y) e (-√(1/6), y) 5. Agora, substitua os valores de x e y nos pontos críticos e nos pontos de interseção na função f(x, y) para encontrar os valores correspondentes. f(√(1/6), 1/2) = (√(1/6))^2 + (1/2)^2 - 3(√(1/6)) = 1/6 + 1/4 - √(1/2) = 5/12 - √(1/2) f(-√(1/6), -1/2) = (-√(1/6))^2 + (-1/2)^2 - 3(-√(1/6)) = 1/6 + 1/4 + √(1/2) = 5/12 + √(1/2) Substitua também os valores de x nos pontos de interseção para encontrar os valores correspondentes de f(x, y). 6. Compare os valores obtidos para determinar os extremos absolutos da função f(x, y) no recinto limitado pela parábola e pela reta. Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.