4.5. ESPACIO AFÍN 139 • Considerando el espacio af́ın X = R2, y realizando una gráfica sencilla, uno puede observar que sobre cada punto de X, se...

4.5. ESPACIO AFÍN 139
• Considerando el espacio af́ın X = R2, y realizando una gráfica sencilla, uno puede observar que
sobre cada punto de X, se tiene una copia de V = R2.
Proposición 4.5.1
Son propiedades inmediatas las siguientes:
1. Para cualquier punto P , el vector ~PP es el vector nulo.
2. Los vectores ~PQ y ~QP son opuestos entre si.
3. Si ~PQ = ~P 0Q0, entonces ~PP 0 = ~QQ0
4.5.1 Sistemas de referencia y cambio de sistema de referencia
Definición 4.5.2
1. Se dice que los n+ 1 puntos {P0, P1, · · · , Pn} de X son un sistema de referencia de X con origen
el punto P0 si el conjunto de vectores { ~P0P1, · · · , ~P0Pn} es una base de V .
2. Dado un punto P 2 X y un sistema de referencia R = {P0, P1, · · · , Pn}, se llaman coordenadas de
P en R a las coordenadas del vector ~P0P en la base B = { ~P0P1, · · · , ~P0Pn}.
3. El sistema de referencia Rc = {P0; ~e1, · · · , ~en} recibe el nombre de sistema de referencia canónico.
Es inmediato observar que en todo sistema de referencia el origen tiene coordenadas (0, · · · , 0).
Además es conveniente ver que no sólo un sistema de referencia, determina una base, sino que también
dada una base de V {v1, · · · , vn}, y un punto P0 de X, queda determinado un sistema de referencia.
El sistema en cuestión es {P0, P1, · · · , Pn} donde cada Pi es el punto tal que ~P0Pi = vi. Es por ello
que también se llame sistema de referencia al conjunto {P0; ~P0P1, · · · , ~P0Pn}. En algunos textos el
primero es llamado sistema de referencia af́ın, y el segundo sistema de referencia vectorial, pero aqúı
no haremos tal distinción, y nos referiremos a uno u otro según convenga.
A continuación vamos a ver la relación que existe entre las coordenadas de un punto respecto
sistema de referencia distintos, obteniendo lo que se conoce como ecuación matricial de un cambio de
sistema de referencia.
Si R = {P0, P1, · · · , Pn} y R0 = {Q0, Q1, · · · , Qn} son dos sistemas de referencia de X, y P 2 X
tiene coordenadas (x1, · · · , xn) respecto R y coordenadas (y1, · · · , yn) respecto R0, ¿qué relación hay
entre ambas?
Se tiene que ~P0P =
Pn
i=1 xi
~P0Pi y ~Q0P =
Pn
i=1 yi
~Q0Qi.
Supuesto que las coordenadas de P0 en R0 son (a1, · · · , an), y que las coordenadas del vector ~P0Pi
i = 1, · · · , n respecto de la base { ~Q0Q1, · · · , ~Q0Qn} son (a1i, · · · , ani), se tiene
~Q0P = ~Q0P0 + ~P0P =
nX
i=1
ai ~Q0Qi +
nX
i=1
xi ~P0Pi =
nX
i=1
ai ~Q0Qi +
nX
i=1
(
nX
j=1
xiaji) ~Q0Qj =
=
nX
i=1
ai ~Q0Qi +
nX
i=1
(
nX
j=1
xiaji) ~Q0Qj
Puesto que las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas, tenemos que
yi = ai +
nX
j=1
xiaji